8. Сведение общих уравнений к нормальным

Можно сказать, что самое общее уравнение: третьей степени сводится к уравнению диэдра при четвертой степени сводится к уравнению тетраэдра или октаэдра, пятой степени сводится к уравнению икосаэдра. Этот результат представляет собой самый последний триумф правильных тел, которым с самого начала истории математики все время приходилось играть важную роль.

Чтобы сделать для вас понятнее смысл моего общего утверждения, я приведу его несколько подробнее для простейшего случая — для уравнения третьей степени, — впрочем, без полного доказательства формул. Представим себе кубическое уравнение снова в приведенной форме:

Пусть — его корни; станем искать такую рациональную функцию этих корней, которая при 6 перестановках этих трех величин описывает как раз 6 линейных подстановок диэдра для т. е. принимает значения

Легко видеть, что функция

удовлетворяет этим условиям. Принадлежащая диэдру функция этой величины должна, таким образом, оставаться неизменной при всех перестановках так как она остается без изменений при 6 линейных подстановках ;

следовательно, на основании известной теоремы алгебры ее можно представить в виде рациональной функции коэффициентов уравнения именно, вычисление дает

Если же, наоборот, известно решение этого уравнения диэдра и z — один из его корней, то можно по выражению (2) с помощью известных соотношений

выразить рационально три значения через , а именно, оказывается, что

Таким образом, если решено уравнение диэдра (3), то эти формулы непосредственно дают решение кубического уравнения (1).

Совершенно аналогично получается сведение наиболее общего уравнения четвертой и пятой степени. Уравнения оказываются, конечно, несколько длиннее, но в сущности не более трудными; новым является то, что параметр w нормального уравнения, который прежде выражался рационально через коэффициенты уравнения теперь содержит еще и квадратные корни. Вы можете найти очень подробное изложение этой теории для уравнения пятой степени и соответственно для икосаэдра во второй части моих лекций об икосаэдре и притом в таком виде, что не только приводится вывод формул, но, кроме того, всегда указываются внутренние основания, приводящие к этим уравнениям.

Позвольте мне сказать еще несколько слов о том положении, которое эти построения занимают по отношению к обыкновенно излагаемой теории уравнений третьей, четвертой и пятой степени.

Прежде всего, обычные решения уравнений третьей и четвертой степени можно, конечно, получить из наших формул с помощью соответствующих вычислений, пользуясь решением уравнений диэдра, октаэдра и тетраэдра в радикалах.

Что же касается уравнений пятой степени, то, к сожалению, в учебниках обыкновенно ограничиваются констатированием того отрицательного результата, что такое уравнение невозможно решить с помощью ряда радикалов, присоединяя к этому еще туманное указание на то, что решение становится возможным посредством эллиптических функций — точнее следовало бы сказать «эллиптических модуль-функций». Я отношусь отрицательно к такому изложению, так как оно дает совершенно неправильное противопоставление и служит скорее помехой правильному пониманию положения вещей, чем способствует ему. В действительности, отделяя алгебраическую часть от аналитической, можно резюмировать все, к чему мы пришли, следующим образом.

1. Хотя и невозможно свести уравнение пятой степени, данное в общем виде, к двучленным уравнениям, но зато удается — и в этом именно и заключается собственно задача алгебраического решения — свести его к уравнению икосаэдра как к простейшему нормальному уравнению.

2. Уравнение икосаэдра в свою очередь можно решить посредством эллиптических модуль-функций; это пригодно для численного нахождения корней и является полным аналогом решения двучленных уравнений посредством логарифмов.

Это составляет полное решение проблемы уравнения пятой степени. В самом деле, когда что-либо не удается на обычном пути, не следует сразу отказываться от дальнейших попыток и удовлетворяться констатированием невозможности, но надо стараться подойти к вопросу с такой стороны, чтобы можно было его разрабатывать дальше. Математическая мысль как таковая никогда не имеет конца, и если вам кто-нибудь скажет, что в некотором месте прекращается математическое понимание, то будьте уверены, что там как раз должна найтись наиболее интересная постановка вопроса.

В заключение я хочу указать на то, что эти теории отнюдь не заканчиваются на уравнениях пятой степени; напротив, можно и для уравнений шестой и высших степеней развить вполне аналогичные теории, прибегая к помощи правильных тел в пространстве многих измерений. Если вы желаете ближе ознакомиться с этими теориями, то обратитесь к моей статье «О решении общего уравнения пятой и шестой степени».

Решение уравнений шестой степени соответственно приведенным в тексте принципам сведения уравнений пятой степени к теории икосаэдра было в связи с упомянутой моей работой 1905 г. успешно исследовано Горданом в двух работах Упрощенную и продолженную дальше разработку этой прблемы содержит работа А. Кобля.