4. Комплексные числа в преподавании

Покидая теорию кватернионов, я хочу закончить эту главу несколькими замечаниями относительно той роли, какую эти понятия играют в школьном преподавании. Конечно, никому не приходит в голову обучать в школе кватернионам, но зато постоянно заходит речь об обыкновенных комплексных числах х + iy. Быть может, не будет лишено интереса, если я вместо данных рассуждений о том, как это обыкновенно излагают и как следовало бы излагать, покажу вам на примере трех книг из различных эпох, как развивалось исторически преподавание этих вещей.

Я предлагаю вашему вниманию прежде всего книгу Кестнера, который во вторую половину XVIII в. занимал в Гёттингене руководящее положение. В то время его обучали в университете тем вещам из элементарной математики, которые впоследствии, около 30-х годов XIX в., перешли в школу; поэтому и Кестнер читал тогда популярные математические лекции, которые посещались в большом числе и нематематиками. Его учебник, лежащий в основе этих лекций, носит название «Начальные основания математики». Изложение мнимых величин начинается там приблизительно следующими словами: «Тот, кто требует извлечь корень с четным показателем из «отрицаемой» величины («verneint — так тогда говорили вместо «отрицательной», «negativ»), требует невозможного, ибо нет ни одной отрицаемой величины, которая была бы такою степенью». Все это совершенно справедливо, но затем читаем: «Такие корни называются невозможными или мнимыми». Вслед за этим замечанием автор оперирует с ними совершенно спокойно, как с обыкновенными числами, не заботясь особенно об оправдании такого обращения с ними, хотя он только что отрицал их существование, — как будто бы благодаря присвоению определенного имени неразумное внезапно стало годным к употреблению. Вы узнаете здесь отражение точки зрения Лейбница, согласно которой мнимые числа представляют собой в сущности нечто совершенно нелепое, но, тем не менее, они непонятным образом ведут к правильным результатам.

Вообще Кестнер писал весьма забавно; он даже получил известность в литературе своими эпиграммами. Так, во введении к упомянутой книге он распространяется относительно происхождения слова «алгебра», которое принадлежит, конечно, арабам, как показывает начало «а1».

Под алгебраистом надо, по мнению Кестнера, понимать человека, который «делает целыми» дроби, — другими словами, занимается рациональными функциями, приводит их к общему знаменателю и т. д. Первоначально это якобы относилось также к деятельности врача-хирурга, который лечит при переломе костей. Кестнер приводит при этом в виде примера Дон-Кихота, который отправляется к алгебраисту с тем, чтобы последний расправил ему поломанные ребра. Остается открытым вопрос о том, держался ли здесь Сервантес принятого словоупотребления или же здесь надо видеть сатиру.

Вторая книга вышла в свет на много лет позже (в 1828 г.) и принадлежит берлинскому профессору Ому: «Опыт вполне последовательной системы математики»; эта книга имеет то же назначение, что и книга Кестнера, и одно время была очень распространена. Но Ом стоит гораздо ближе к современной точке зрения, так как он ясно высказывает принцип расширения числовой области. «Подобно отрицательным числам, — говорит он, — должно и символ присоединить к вещественным числам как новую вещь». Геометрическое толкование, конечно, не было ему еще известно: это было накануне появления упомянутой выше работы Гаусса (1831).

Наконец, я хочу познакомить вас с одним из многочисленных современных учебников, которым очень часто пользуются: это «Сборник задач» Бардея (Лейпциг, 1907). Здесь на первый план выступает принцип расширения понятия числа, а впоследствии дается и геометрическое истолкование. В этом действительно заключается теперь общепринятая точка зрения школьного преподавания, хотя в отдельных местах развитие и задержалось на предыдущей ступени.

На мой взгляд, такое изложение вопроса является наиболее подходящим для школы: не утомляя ученика систематическим изложением и не вдаваясь, конечно, в абстрактные логические рассуждения, следует истолковывать комплексные числа как расширение уже известного понятия числа, избегая при этом, разумеется, всякой мистической окраски, но прежде всего нужно приучить ученика к наглядному геометрическому истолкованию их в комплексной плоскости!

Мы пришли к концу первой главной части наших лекций, посвященной арифметике. Прежде чем перейти к таким же пояснениям, относящимся к алгебре и анализу, я хотел бы сделать довольно продолжительное отступление исторического характера, которое бросает новый свет на общую постановку современного преподавания, а также на то, что мы решили бы в нем улучшить.