§ 4.3. Тормозное излучение

4.3.1. Сечение тормозного излучения в борновском приближении.

В § 4.1 мы изучали излучение электрона, находящегося в дискретном состоянии. Теперь мы перейдем к изучению излучения электрона, находящегося в состоянии непрерывного спектра. Оно называется тормозным излучением и происходит, например, при столкновении электрона с какой-либо заряженной частицей. Если столкновение электрона происходит с тяжелой частицей (ядром, атомом), то действие последней может учитываться как действие внешнего поля. В этом случае тормозное излучение описывается элементом матрицы рассеяния первого порядка (4.1.1), в котором начальное состояние относится к непрерывному, а конечное — либо к непрерывному, либо к дискретному спектру.

Если внешнее поле таково, что его можно учитывать методами теории возмущений, то для определения вероятности тормозного излучения достаточно вычислить соответствующий элемент матрицы рассеяния второго порядка определяемой формулой (4.2.1). Критерий применимости такого рассмотрения совпадает, очевидно,

с критерием применимости борновского приближения для кулоновского поля где заряд ядра и — скорость электрона. Мы рассмотрим сперва этот относительно простой случай, охватывающий весьма широкую область применений.

Рис. 4.4.

Матричный элемент, определяющий процесс тормозного излучения, может быть написан на основании правил Фейнмана. Соответствующие диаграммы изображены на рис. 4.4; они отличаются от диаграмм, изображающих эффект Комптона, только тем, что первичному фотону с -импульсом соответствует здесь «псевдофотон» с -импульсом , т. е. -компонента Фурье внешнего потенциала, а рассеянному фотону с -импульсом — излучаемый фотон с -импульсом k и поляризацией е. Соответственно этому матричный элемент тормозного излучения отличается от матричного элемента эффекта Комптона заменой и имеет следующий вид:

где

Из законов сохранения энергии и импульса следует, что взятый с обратным знаком -импульс «псевдофотона» q равен -импульсу, получаемому ядром в результате процесса тормозного излучения: . Таким образом, —q представляет собой трехмерный импульс отдачи ядра, а — — энергию, передаваемую ядру.

Если внешнее поле не зависит от времени и описывается статическим потенциалом что имеет место для неподвижного ядра, то

Выражение для матричного элемента (4.3.1) можно получить также, исходя из матрицы рассеяния первого порядка если воспользоваться в качестве волновых функций начального и конечного

состояний волновыми функциями электрона в первом борновском приближении:

Действительно, записав матричный элемент оператора в виде

где

— точные волновые функции электрона во внешнем поле, и подставив вместо волновые функции (4.3.2), мы получим матричный элемент (4.3.1).

Зная матричный элемент и используя правила п. 3.4.3, можно определить дифференциальное сечение тормозного излучения:

где

— скорость электрона в начальном состоянии.

Найдем прежде всего сечение тормозного излучения, усредненное по ориентациям спина падающего электрона и просуммированное по ориентациям спина рассеянного электрона и по поляризациям излученного фотона. Таксе усреднение и суммирование по поляризациям частиц сводится, согласно п. 3.4.2, к следующей замене в (4.3.4):

Полагая

и замечая, что при замене величины и , так же как F и меняются местами: ,

получим . Поэтому для нахождения достаточно вычислить

Подставив выражения для в сечение излучения (4.3.4), получим

    (4.3.5)

где — элементы телесных углов, в которых лежат векторы

Учитывая соотношения

где — углы между векторами к можно переписать в виде

    (4.3.6)

или

— угол между плоскостями . Квадрат переданного ядру импульса связан с углами соотношением

Из (4.3.7) следует, что обращается в нуль при

Формула (4.3.7) сильно упрощается в предельных случаях малых и больших энергий электрона. В предельном случае малых.

энергий, соответствующем задаче о спектре рентгеновских лучей, импульс фотона мал по сравнению с импульсом электрона, так как . Поэтому Замечая далее, что в нерелятивистском случае и сохраняя в фигурных скобках (4.3.6) только первый член, получим

    (4.3.8)

Так как мало отличается от , то в этом выражении можно выделить множитель

    (4.3.9)

который представляет собой борцовское сечение упругого рассеяния электронов. Мы можем поэтому сказать, что в нерелятивистском случае сечение тормозного излучения равняется произведению сечения упругого рассеяния электрона на вероятность излучения фотона

    (4.3.10)

Интенсивность излучения достигает максимума в направлении, перпендикулярном к плоскости движения электрона

Полученное выражение для вероятности излучения находится в соответствии с классической теорией излучения, а именно представляет собой отношение интенсивности дипольного излучения при малых частотах к энергии фотона, т. е. определенное классически среднее число фотонов, излучаемых в единицу времени.

Так как в (4.3.7) входят множители то в случае больших энергий когда сечение тормозного излучения имеет резкий максимум вблизи направления импульса падающего электрона. Излучение сосредоточено при этом, в основном, в узком конусе около этого направления с углом раствора порядка в этом же конусе лежит импульс рассеянного электрона. Дифференциальное сечение излучения (4.3.7) в этом случае можно представить в виде

    (4.3.11)

где