4.5.6. Распад позитрония.

Полученные выше результата можно применить к задаче о распаде позитрония, т. е. связанной системы, состоящей из электрона и позитрона.

Основным состоянием позитрония является, очевидно, -состояние. При этом следует различать синглетное состояние позитрония, в котором суммарный спин частиц равен нулю, и триплетное состояние, в котором суммарный спин частиц равен единице. Эти состояния мы будем обозначать соответственно через и Позитроний, находящийся в состоянии называется парапозитронием, а позитроний, находящийся в состоянии -ортопозитронием.

Система, состоящая из двух фотонов, не может иметь состояний с моментом, равным единице. Поэтому ортопозитроний не может распадаться на два фотона. Более того, так как состояние 35 позитрония является зарядово-нечетным, то можно утверждать, что вообще невозможен распад ортопозитрония на любое четное число фотонов. Напротив, парапозитроний представляет собой зарядово-четную систему, поэтому невозможен его распад на любое нечетное число фотонов.

Основными процессами, определяющими время жизни позитрония, являются двухфотонная аннигиляция в случае парапозит рония и трехфотонная аннигиляция в случае ортопозитрония [28].

Вероятность распада позитрония можно связать с вероятностью аннигиляции свободной пары. Действительно, рассмотрим волновую функцию позитрония в -состоянии

где а — радиус позитрония, равный удвоенному радиусу первой боровской орбиты водорода, а . Компонента Фурье волновой функции

    (4.5.35)

определяет, очевидно, амплитуду вероятности того, что в позитронии электрон имеет импульс , а позитрон — импульс — . Эта формула показывает, что наиболее вероятны импульсы порядка которые значительно меньше . Поэтому распад позитрония можно приближенно рассматривать как аннигиляцию свободного позитрона и свободного электрона с импульсами, равными нулю, но с определенными ориентациями спинов.

Рис. 4.17.

Обозначим через и вероятности распада орто- и парапозитрония. Пусть далее W обозначает вероятность распада свободной пары с нулевыми импульсами частиц, усредненную по ориентациям их спинов и вычисленную в предположении, что плотность частиц равна плотности частиц в позитронии (т. е. равна ) , а не , где V — нормировочный объем, как это предполагается при вычислении вероятности аннигиляции свободной пары). Так как относительные веса состояний со спинами 1 и 0 равны соответственно и то, очевидно,

    (4.5.36)

Величину можно представить в виде где — усредненная по ориентациям спинов вероятность превращения пары в фотонов. Так как парапозитроний может распадаться только на четное, а ортопозитроний только на нечетное число фотонов, то из (4.5.36) следует, что

Используя формулу (4.5.26) для сечения двухфотонной аннигиляции пары при малых скоростях позитрона, мы получим отсюда

    (4.5.38)

Определим теперь вероятность трехфотонного распада ортопозитрония. Этот процесс представляет собой процесс третьего порядка теории возмущений. Он изображается шестью диаграммами, одна из которых представлена на рис. 4.17 (остальные диаграммы отличаются от приведенной только перестановками импульсов фотонов ). Написав матричный элемент, соответствующий этим диаграммам, можно найти дифференциальную вероятность

трехфотонной аннигиляции пары. Для случая усредненная по спиновым состояниям частиц она определяется формулой [29]

    (4.5.39)

где — единичный вектор в направлении импульса фотона

Интегрирование по и углам (с учетом тождественности фотонов) дает полную вероятность трехфотонной аннигиляции пары при

    (4.5.40)

Функция , определяющая спектр фотонов распада, изображена на рис. 4.18.

Выполнив интегрирование по получим

    (4.5.41)

Воспользовавшись далее соотношениями (4.5.37), найдем отсюда вероятность распада ортопозитрония

    (4.5.42)