ГЛАВА 5. КВАНТОВОЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В ВЫСШИХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ

§ 5.1. Радиационные поправки к электродинамическим функциям Грина

5.1.1. Массовый оператор второго порядка.

Изучив квантовоэлектродинамические процессы в первом неисчезающем приближении теории возмущений, мы перейдем к определению поправок к элементам матрицы рассеяния, которые вносят высшие приближения теории возмущений. Эти поправки называются радиационными поправками.

Начнем с вычисления массового оператора второго порядка [1]. Эта величина, которой соответствует диаграмма рис. 3.11, определяется, согласно правилам Фейнмана, формулой

При регуляризации массового оператора возникает, как мы увидим, расходимость в области малых . Эта так называемая инфракрасная расходимость уже обсуждалась в § 4.4; мы вернемся к ней еще в п. 5.4.4. Для ее устранения можно формально ввести в отличную от нуля «массу фотона» Я, считая, что определяется формулой

    (5.1.2)

Подставляя в (5.1.1) это выражение для и выражение (2.5.32) для получим

Используя далее формулу представим в виде

Воспользовавшись, наконец, формулой (АЛ. 16), получим

    (5.1.3)

Это выражение должно быть теперь регуляризовано. Для этого нужно, согласно (3.7.7), отнять от два первых члена разложения в ряд Тейлора по степеням :

Величина связана, согласно (3.6.18), с константой (во втором приближении теории возмущений) соотно шением

    (5.1.5)

Итак,

    (5.1.6)

Напомним, что, согласно (3.6.5), величина о точностью до множителя — i совпадает с электромагнитной массой электрона (во втором приближении теории возмущений): Из (5.1.3) следует

Выполняя интегрирование и пренебрегая величиной Я по сравнению с получим следующее выражение для электромагнитной массы электрона во втором приближении теории возмущений:

    (5.1.8)

Эта величина, как мы видим, логарифмически зависит от предельного импульса

Дифференцируя (5.1.3), получим

Наконец, подставляя полученные выражения для и формулы (5.1.3) и (5.1.5), получим следующее выражение для

регуляризованного массового оператора во втором приближений теории возмущений:

Это выражение имеет нуль второго порядка при . Обратим внимание на то обстоятельство, что в выражение для регуляризованного массового оператора входит «масса фотона» К, в то время как в исходное выражение для величина X не входила. Таким образом, зависимость от К возникает в результате регуляризации. Величина X входит также в но не входит в

Общее выражение (5.1.10) для сильно упрощается в области больших импульсов:

    (5.1.11)

Можно показать, что если то

    (5.1.12)

где Используя это выражение, можно согласно (3.5.7) найти электронную функцию Грина во втором приближении.