1.2.3. Различные представления уравнения Дирака.

Если подвергнуть волновую функцию линейному преобразованию

    (1.2.7)

и одновременно произвести над матрицами преобразование подобия

    (1.2.8)

где — произвольная четырехрядная неособенная матрица, то уравнение Дирака, как легко видеть, не изменит своего вида. При этом, очевидно, матрицы у будут удовлетворять тем же соотношениям (1.1.13), что и матрицы т. е.

Если матрица U унитарна, , то матрицы у будут, как и матрицы эрмитовыми,

Приведем пример унитарных преобразований уравнения Дирака. Выберем U в виде действительной матрицы

(каждый элемент означает двухрядную матрицу). В этом случае

Если записать преобразованную волновую функцию в виде

то будут связаны с соотношениями

и система уравнений, которым удовлетворяют эти двухкомпонентные величины в отсутствие поля, будет иметь вид

    (1.2.12)

Величины , в отличие от обладают следующим замечательным свойством: они преобразуются независимо при преобразованиях собственной группы Лоренца (см. п. 1.2.5).

При эти уравнения распадаются на два независимых уравнения

    (1.2.13)

которые называются уравнениями Вейля [6].

Таким образом, при нулевой массе частица со спином может описываться одним двухкомпонентным спинором, удовлетворяющим уравнению Вейля. Каждое из двух уравнений (1.2.13) в отдельности инвариантно относительно преобразований собственной группы Лоренца, но неинвариантно относительно инверсии (см. п. 1.2.6). Такие уравнения описывают нейтрино.