3.1.2. Лагранжиан и гамильтониан взаимодействующих полей.

Уравнениям для произвольного поля может быть придана очень общая — вариационная, или лагранжева, — форма, если принять, что поле как динамическая система характеризуется определенной локальной плотностью функции Лагранжа или лагранжианом L, зависящим от функций поля и их первых производных по координатам и времени не может содержать явно координаты и время в силу однородности пространства и времени). Интеграл от лагранжиана по 4-объему

    (3.1.5)

называемый действием, должен быть экстремальным для действительного движения, т. е. для таких которые удовлетворяют уравнениям поля. Так как эти уравнения должны быть релятивистски инвариантными, то релятивистским инвариантом должна быть и функция

Общая вариация действия, связанная с варьированием как Волновой функции поля, так и границы области интегрирования, равна, очевидно,

где второй интеграл берется по гиперповерхности 2, ограничивающей Q, и обозначает вариацию координат границы. Интегрируя по частям второе слагаемое в объемном интеграле, перепишем в виде

Рассмотрим прежде всего вариацию действия при закрепленных границах, предполагая, что вариация волновых функций на границе равна нулю. При этом второй интеграл обращается в нуль, и мы получим, приравнивая вариацию действия нулю, уравнения Лагранжа для компонент волновой функции поля

    (3.1.7)

Эти уравнения можно рассматривать как уравнения движения поля.

Рассмотрим далее вариацию действия для истинного движения, предполагая, что область интегрирования Q вместе с волновым полем подвергнута как одно целое бесконечно малому смещению Либо бесконечно малому повороту. При этом, очевидно, действие не Изменится, т. е. вариация действия будет равна нулю. В случае бесконечно малого смещения, т. е. бесконечно малого преобразования координат ( — бесконечно малый 4-вектор), волновые функции подвергаются бесконечно малому преобразованию откуда . Подставляя это значение вариации волновой функции вместе с в поверхностный интеграл (3.1.6), получим

    (3.1.8)

где

    (3.1.9)

Величины образуют 4-тензор второго ранга, который называется тензором энергии-импульса поля. Из (3.1.8) следует

Считая, что объем Q ограничен двумя гиперповерхностями, ортогональными к оси времени, получим отсюда законы сохранения

    (3.1.10)

где интегрирование производится по всему объему поля. Величины образуют, очевидно, 4-вектор. Он называется -вектором энергии-импульса поля. Пространственные компоненты определяют импульс поля Р, а временная компонента — энергию поля Н. Плотность энергии поля равна .

Применяя к поверхностному интегралу (3.1.8) теорему Гаусса, получим

    (3.1.11)

Таким образом, -дивергенция тензора энергии-импульса равна нулю.

Обратимся теперь к основным уравнениям квантовой электродинамики. Они также могут быть получены с помощью вариационного принципа, если в качестве лагранжиана взять оператор

    (3.1.12)

и при варьировании действия независимыми переменными считать (или ). Действительно, замечая, что

получим, варьируя и отбрасывая несущественные члены, имеющие вид дивергенций,

откуда и следуют уравнения (3.1.1). (Предполагая при варьировании L независимыми переменными , а не . получим взамен первых двух уравнений (3.1.1), уравнения для зарядовосопряженных операторов

Имея выражения для лагранжиана L, можно построить тензор энергии-импульса поля (3.1.9). Подставляя в (3.1.9) лагранжиан

(3.1.12), мы найдем тензор энергии-импульса электромагнитного и электронно-позитронного полей в гейзенберговском представлении:

Гамильтониан этих полей определяется формулой

В формуле (3.1.13) для можно, используя (3.1.1), выразить временные производные от и через их пространственные производные. Если вспомнить еще определение (3.1.2) плотности тока, то окончательно мы получим для плотности гамильтониана полей выражение

где

    (3.1.14)

Поэтому H приобретает вид

    (3.1.15)

Величина представляет собой гамильтониан свободных полей, а гамильтониан взаимодействия полей. Величина — совпадает с последним слагаемым в лагранжиане (3.1.12), описывающим взаимодействие между полями. Обозначая ее через

    (3.1.16)

можно представить гамильтониан взаимодействия в виде

    (3.1.16)

Таким образом, гамильтониан взаимодействия представляет собой взятый с обратным знаком пространственный интеграл от лагранжиана взаимодействия.

Гейзенберговские операторы F в нерелятивистской квантовой механике удовлетворяют уравнению движения

где Н — гамильтониан системы. Аналогичный закон справедлив и для квантованных полей. Поскольку при этом мы имеем дело с операторами, действующими в пространстве чисел заполнения

и зависящими от координат точки в том же смысле, в каком квантовомеханические гейзенберговские операторы зависят от времени, то возникает обобщение уравнения движения и на пространственные координаты. Именно, любой оператор F, являющийся произвольной функцией переменных поля, т. е. произвольной функцией операторов и удовлетворяет уравнениям

    (3.1.17)

где — -вектор энергии-импульса полей, определяемый формулами (3.1.10) и (3.1.13). В частности, имеют место уравнения

    (3.1.18)

вытекающие также из определения -вектора Р и перестановочных соотношений (3.1.3).

Легко убедиться, что оператор полного заряда системы

коммутирует с каждым из операторов

Это означает, что имеет место закон сохранения заряда.