§ 3.6. Перенормировка массы и заряда электрона

Макеты страниц

§ 3.6. Перенормировка массы и заряда электрона

3.6.1. Перенормировка массы электрона.

При установлении основных уравнений квантовой электродинамики мы исходили из уравнения Дирака для электрона в заданном электромагнитном поле, в которое входили две константы — . Эти константы мы интерпретировали как массу и заряд электрона. Однако мы должны теперь внести уточнения в эти понятия. Действительно, по самой идее исходных классических уравнений Дирака и Максвелла константы представляют собой массу и заряд «свободного» электрона, т. е. электрона, полностью изолированного от воздействий электромагнитного поля. Иными словами, являются характеристиками некоторого гипотетического объекта (будем называть его «голым» электроном), не взаимодействующего

с электромагнитным полем. Взаимодействие же между полями должно приводить к отличию энергетического спектра взаимодействующих полей от энергетического спектра свободных полей. Поэтому масса «голого» электрона должна отличаться от массы реального электрона. Заряд гипотетического «голого» электрона такжедолжен отличаться от заряда реального электрона [11]. Поэтому возникает важнейшая задача о выяснении связи между массой и зарядом голого электрона и массой и зарядом реального, физического электрона, которые мы будем обозначать в этом параграфе через

Заметим с этой целью, что функция имеет полюс при , поэтому естественно предположить, что электронная функция Грина имеет понос при . В соответствии с определением и соотношением (3.5.3) мы можем считать, что при

(3.6.1)

где — та же константа, которая связывает и и и в (3.5.3). С другой стороны,

(3.6.2)

где — массовый оператор, который можно рассматривать как функцию матрицы . Поэтому

(3.6.3)

Сравнение этой формулы с (3.6.1) дает

Разность масс реального и гипотетического «голого» электронов обусловленную взаимодействием электрона с электромагнитным полем, мы будем называть электромагнитной массой электрона, а величину — массой «голого» электрона. Вводя биспинор удовлетворяющий уравнению Дирака

для реального электрона, можно, очевидно, представить электромагнитную массу электрона в виде

(3.6.5)

Так как электромагнитная масса обусловлена взаимодействием между полями, то естественно рассматривать ее вместе с другими процессами, обусловленными этим взаимодействием, теорию же взаимодействующих полей строить с самого начала таким образом, чтобы в нее входила не фиктивная масса «голого»

электрона, а истинная масса реального электрона. Рассмотрим с этой целью гамильтониан системы полей в представлении взаимодействия

где — гамильтониан свободных полей, в который входит масса «голого» электрона (выражение для приведено в п. 3.1.2). Заменяя в массу голого электрона на перепишем гамильтониан Н в виде

и будем интерпретировать (а не ) как гамильтониан свободных полей и

(3.6.6)

(а не — ) как гамильтониан взаимодействия. Эта процедура носит название перенормировки массы электрона.

Изменив гамильтониан взаимодействия, мы изменим также матрицу рассеяния, которая принимает теперь вид

(3.6.7)

Благодаря дополнительному слагаемому в гамильтониане взаимодействия при графическом представлении элементов -матрицы возникают новые — двухлучевые вершины, в которых сходятся две электронные линии. Эти вершины приводят к дополнительным ЭСЭД, причем существует только одна неприводимая дополнительная ЭСЭД (рис. 3.29; двухлучевая вершина обозначена крестиком). Всякая диаграмма, содержащая неприводимую ЭСЭД, дополняется теперь такой же диаграммой, в которой неприводимая ЭСЭД заменена диаграммой рис. 3.29.

Рис. 3.29.

Очевидно, совокупности двух диаграмм — неприводимой ЭСЭД и диаграммы рис. 3.29 — соответствует величина где — электромагнитная масса электрона во втором приближении теории возмущений. Отсюда следует, что вместо того, чтобы вводить двухлучевые вершины, можно сопоставлять всем внутренним неприводимым ЭСЭД в любой компактной ЭСЭД функцию а не функцию (кроме того, необходимо дополнить всю компактную ЭСЭД в целом диаграммой рис. 3.29).