Херошо известный результат, васходяций к работам Шенберга (см. например [29]), утверждает, что если $l(g)$-комплексная функция на групле $G$, то ${\phi }_t(g)=\exp tl(g),g\in G$, является положительно определенной функцией для всех $t⩾0$ в том и только в том слуғае, когда $l\left(g^{-1}\right)=l(\overline{g})$ и $l(g)$ условно положнтельно определена [2], [21], В теории вероятностей семейство $\{{\phi }_t(g),t⩾0\}$ возникает как преобразование Фурье сверточно полугруппы, тесно связанной с предельными теоремами для серин незавнеямых случайных величнн со значениями в $\hat{G}$ [25], [6]. Функцня $\phi (g)=\exp l(g)$ является характеристіческой функцней безгранично делимого распределения на $\hat{G}$, а $\mathrm{\Phi }(g(\cdot ))=\exp \int l(g(t))dt$ характернстическнм функционалом обобщенного процесса с независимыми в каждой точке значениями [2]. Полное описание условно положительно определенных функций и соответствующих вероятностных объектов дается знаменитой формулой Леви-Хинчина [3], [25].

С другой стороны, изучение необратимых эволюций открытых квантовых еистем [16], [22] приводит к понятию динамическа полугруппы ${\mathrm{\Phi }}_t\exp t\mathcal{L},t⩾0$, которая предетавляет собой полугруппу вполне положительных отображений соответствующей $C^{\ast }$-алгебры наблюдаемых. Необходимое и достаточное условие для генератора $\mathcal{L}$ дннамнческой полугруппы, найденное Линдбдадом [22], состоит в том, что $\mathcal{L}$ является вполне диссипативным. Общий вид таких отображений $\mathcal{L}$ дается формулой, найденной в [22]. Эти результаты послужили одним нз истоков для нового круга ндей, связанного с понятием квантового случайного процесса (см. например, [27]) :

В настояще статье излагвется теория, которая объединяет эти на первый взгляд далекие темы и делает явным внутреннее родство соответствующих математических структур. Статья состонт из двух частей В первой из них излагается функциорона вопроса. В § 1 даются основные определения положительно определенной и условно положительно определенной функций со значениями в пространстве ограниченных линейных отображений $C^{\ast }$-алгебры и формулируется результат типа теоремы Шенберга, В $\mathrm{\$}2$ рассматриваются канонические представления таких функций, основанные на специфическом обобщении конструкции Гельфанда-Наймарка-Сигала. Основным результатом является теорема 1 , дающая общий вид условно положнтельно определенной функции со значениями в алгебре отображений $C^{\ast }$-алгебры. Формулы типа Леви-Хинчина получаются из этой теоремы с помощью известных фактов теории представлений rрупп.

Во второй части рассматриваются приложення к вопросу об описании в квантовой теории вероятностей процессов измерения, длящихся непрерывно в течение определенного промежутка времени [4], [11]. Қак известно из физической литературы, попытки описания непрерывных измерений в квантовой механике, опирающиеся на «проекционный постулат» фон Неймана [5], приводят к парадоксальным выводам — так, непрерывное слежение за состоянием нестабильной частицы «вынуждает» час. тицу никогда не распадаться [23]. Математическая причина этих трудностей кроется в том, что каждое измерение в квантовой механике влечет изменение состояния системы, а при непрерывном «точном» измерении происходит накопление бесконечного числа таких конечных изменений. В недавнем цикле работ [11]-[14] было показано, что этих трудностей можно избежать, если использовать более гибкое математическое описание, допускающее, в частности, рассмотрение кприближенных» измерений [7], [16]. При этом для получения нетривиального предельного результата в последовательности измерений их точность (а вместе с ней и величина изменения состояния) должна убывать пропорционально числу членов последовательности.

Мы дадим здесь математическое описание процесса непрерывного измерения, опирающееся на аппарат, развитый в первой части статьи, и обнаруживающее замечательные аналогии с классической проблемой суммирования независимых случайных величин и функциональными предельными теоремами теории вероятностей. Основной результат второй части работы — теорема 4 — дает условия сходимости серий последовательных измерений к процессам непрерывного измерения. В классическом случае, когда основная $C^{\ast }$-алгебра $\mathcal{A}$ одномерна, эта теорема переходит в известный результат Скорохода о сходимости сумм независимых одинаково распределенных случайных величин к однородному процессу с независимыми приращениями.

Формализм непрерывных квантовых измерений находит приложения, например, в исследованиях потенциальных возможностей детекторов гравитационного излучения [14]). Краткое изложение некоторых результатов работы было опубликовано в [9], [10], [20].