Пусть $\mathcal{H}$ гильбертово пространство, $\mathfrak{Y}(\mathcal{H})$ алтебра всех ограниченных операторов в $\mathcal{C}$. Мы будем использовать обозначения
$$X\circ Y=\frac{1}{2}(XY+YX),[X,Y]=XY-YX$$

для йорданова произведения и коммутатора операторов $X$, $Y\in \mathcal{Z}(\mathcal{C})$. Положим также
$$\mathrm{Re}X=\frac{1}{2}(X+X^{\ast }),\mathrm{Im}X=\frac{1}{2i}(X-X^{\ast })$$

для $X\in \mathcal{F}(\mathcal{C})$. Если $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, то $\mathcal{F}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ обозначает банахово пространство ограниченных операторов из $\mathcal{H}$ в $\mathcal{H}$.

Пусть $C^{\ast }$-подалгебра $\mathfrak{O}(\mathcal{C})$, содержащая единичный оператор I. Будем обозначать ${\mathcal{A}}^h$ пространство эрмитовых элементов $\mathcal{A}$. Через $\mathfrak{f}$ мы обозначаем банахово пространство огра${\mathrm{\Phi }}^{\ast }\in \mathcal{F}$ определяется соотношением
$${\mathrm{\Phi }}^{\ast }[X]={\left(\mathrm{\Phi }\left[X^{\ast }\right]\right)}^{\ast },X\in \mathcal{A}.$$

Через $\mathfrak{F}(\mathcal{A})$ будем обозначать банахову алгебру ограниченных линейных отображений $\mathcal{A}$ в $\mathcal{A}$. Тождественное отображение обозначается символом Id.

Пусть $S$ произвольное множество. Ядром будем называть функцию $\mathrm{\Phi }(r,s);r,s\in S$, со значеннями в $\mathcal{f}$. Ядро назовем эрмитовым, если $\mathrm{\Phi }(s,r)\approx \mathrm{\Phi }(r,s{)}^{\ast }$, положительно определенным, если для любых конечных наборов $\left\{{\psi }_j\right\}\subset \mathcal{H},\left\{s_j\right\}\subset \mathcal{S},\left\{X_j\right\}\subset \mathcal{A}$ выполняется
$$\sum _{j,k}({\psi }_j\mid \mathrm{\Phi }(s_j,s_k)\left[X_j^{\ast }{X}_k\right]{\psi }_k)⩾0,$$

и условно положительно определенным, если (1.1) выполняется для наборов, удовлетворяющих условию
$$\sum _j{X}_j{\phi }_j=0.$$

Предложение 1. Пусть $\mathcal{L}(r,s);r,s\in S$, ядро со значениями в $\mathfrak{f}(\mathcal{A})$. Следующие условия эквивалентны:
1) ядро $\exp t\mathcal{L}(r,s)$ является положительно определенным (п.о.) для всех ;
2) ядро $\mathcal{L}(r,s)$ является эрмитовым условно положительно определенным (э. у. п.о.);
3) ядро $\mathcal{L}(r,s)$ является эрмитовым и для любого $s_0\in S$ и любых конечных наборов $\left\{{\psi }_j\right\}\subset \mathcal{H},\left\{s_j\right\}\subset \mathcal{S},\left\{X_j\right\}\subset \mathcal{A}$ выполняется
$$\sum _{j,k}({\psi }_j\mid D_0\mathcal{L}(s_j,s_k;X_j,X_k){\psi }_k)⩾0$$

где
$$\begin{array}{c}{D}_0\mathcal{L}(r,s;X,Y)=\mathcal{L}(r,s)\left[X^{\ast }Y\right]-\mathcal{L}(r,s_0)\left[X^{\ast }\right]Y-\\ -X^{\ast }\mathcal{L}(s_0,s)[Y]+X^{\ast }\mathcal{L}(s_0,s_0)[\mathrm{I}]Y.\end{array}$$

Доказательство. Покажем, что 1) $\Rightarrow 2$ ) $\Rightarrow 3$ ) $\Rightarrow 1$ ).
$1)\Rightarrow 2$ ). Используя условие (1.1) для случая, когда индексы $j,k$ принимают всего два значения, нетрудно показать, что $\exp t\mathcal{L}(s,r)=\exp t\mathcal{L}(r,s{)}^{\ast }$. Дифференцируя по $t$, получаем $\mathcal{L}(s,r)=\mathcal{L}(r,s)$. Пусть теперь $\left\{{\psi }_j\right\},\left\{X_j\right\}$ пронзвольные наборы, удовлетворяющие условию (1:2), тогда полагая
$$f(t)=\sum _{j,k}({\psi }_j\mid \exp t\mathcal{L}(s_j,s_k)\left[X_j^{\ast }{X}_k\right]{\psi }_k),$$

имеем при , откуда

2) $\Rightarrow 3$ ). Фиксируем $\left\{s_j\right\}\in S,\left\{{\psi }_j\right\}\subset \mathcal{H},\left\{X_j\right\}\subset \mathcal{A}$ и пусть $j=1,\dots$ …,n. Положим
$$\begin{array}{l}{s}_j^{\prime }=\{\begin{array}{c}{s}_j,j=1,\dots ,n\\ s_0,j=n+1,\dots ,2n\end{array}{\psi }_j^{\prime }=\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_j,j=1,\dots ,n\\ -X_j{\psi }_j,j=n+1,\dots ,2n\end{array}\\ X_j^{\prime }=\{\begin{array}{c}{X}_j,j=1,\dots ,n\\ 1,j=n+1,\dots ,2n\end{array}\end{array}$$

Тогда $\sum _{j=1}^{2n}{X}_j^{\prime }{\psi }_j^{\prime }=0$. Записывая неравенство (1.1) для $\mathrm{\Phi }(r,s)=$ $=\mathcal{L}(r,s)$ и наборов $\left\{s_j^{\prime }\right\},\left\{{\psi }_j^{\prime }\right\},\left\{X_j^{\prime }\right\}$ и ползуясь эрмитовостью, получаем (1.3).
$3)\Rightarrow 11$. В основу доказательства этого утверждения может быть положен следующий результат, фактически содержащийся в работе [22] (см. также [18], теорема 14.2):

Пусть $\mathcal{L}\in \mathcal{F}(\mathcal{A}),\mathcal{L}=\mathcal{L}$. Следующие условия эквивалентны:
1) отображение $\exp t\mathcal{L}$ положительно для всех ;
2) $\mathcal{L}[\mathrm{I}]-\mathcal{L}\left[U^{\ast }\right]U-U^{\ast }\mathcal{Q}[U]+U^{\ast }\mathcal{L}[\mathrm{I}]U⩾0$ для всех унитарных элементов $U\in \mathcal{A}$.

Фиксируем набор $\left\{{\mathrm{s}}_j\right\}$, где $j=1,\dots ,n$ и рассмотрим $C^{\ast }$-алгебру ${\mathcal{A}}_n$, состоящую из $n\times n$-матриц $\mathrm{X}=\left[X_{jk}\right]$, где $X_{jk}\in \mathcal{A}$. Определим отображение $\mathcal{L}\in \mathcal{F}\left({\mathcal{A}}_n\right)$, полагая $\mathcal{L}[\mathbf{X}]=$ $=\left[\mathcal{L}(s_j,s_k)\left[X_{jk}\right]\right]$. Эрмитовость ядра $\mathcal{L}(r,s)$ влечет $\mathcal{L}=\mathcal{L}$. Чтобы установить (1.1) для любых $\left\{{\psi }_j\right\}\subset \mathcal{H},\left\{X_j\right\}\subset \mathcal{A}$, достаточно доказать, что отображение $\exp {\mathcal{L}}^2$ положительно. Для этого достаточно провернть выполнение второго условия сформулированного утверждения.

Пусть $\mathit{U}$-эрмитов элемент ${\mathcal{A}}_n$, тогда $\mathit{U}=\left[U_{jk}\right]$, где $\sum _{i=1}^n{U}_{ij}^{\ast }{U}_{jk}={\delta }_{jk}$. С учетом этого тождества матричный элемент выражения
$$\mathcal{L}[\mathrm{I}]-\mathcal{L}\left[{\mathit{U}}^{\ast }\right]\mathit{U}-U^{\ast }\mathcal{L}[\mathit{U}]+{\mathit{U}}^{\ast }\mathcal{L}[\mathrm{I}]\mathit{U}$$

с номерами $j,k$ равен $\sum _{l=1}^n{D}_l\mathcal{L}(s_j,s_k;U_{lj},U_{lk})$, где $D_k\mathcal{L}$ определяется формулой (1.4) с $s_0=s_l$. Из условия (3) следует, что $\sum _{j,k=1}^n({\psi }_j\mid D_l\mathcal{L}(s_j,s_k;U_{lj},U_{lk}){\psi }_k)⩾0$, так что выражение
задает положительный оператор из ${\mathcal{A}}_n$. Таким образом, предложение 1 доказано.

Если $\mathcal{H}=\mathcal{A}=\mathcal{F}(\mathcal{A})=\mathrm{C}$, то предложение 1 сводится к хорошо известному результату для скалярных ядер [2], [25]. Рассмотрим другой крайний случай, когда $S$ состоит из одной точки, так что речь идет об отображенин $Фє\mathcal{(}\mathcal{A}\mathcal{)}$ ). Тогда требование (1.1) равносильно тому, что Ф вполне положительно (в.п.):
$$\sum _{j,k}({\psi }_j\mid \oplus [X_j^{\ast },Y_k]{\psi }_k)⩾0$$

для любых наборов $\left\{{\psi }_j\right\}\subset \mathcal{H},\left\{X_j\right\}\subset \mathcal{A}$, а предложение 1 сводится к результату, полученному Линдбладом [22]: отображения ${\mathrm{\Phi }}_t=$ $=\exp t\mathcal{L}$ вполне положительны для всех тогда и только тогда, когда $\mathcal{L}:=\mathcal{L}$ и для любых наборов $\left\{{\psi }_j\right\}\subset \mathcal{E},\left\{X_j\right\}\subset \mathcal{A}$
$$\sum _{j,k}({\psi }_j\mid D\mathcal{L}(X_j,X_k){\psi }_k)⩾0,$$

где $D\mathcal{L}(X,Y)=\mathcal{E}\left[X^{\ast }Y\right]-\mathcal{L}\left[X^{\ast }\right]Y-X^{\ast }\mathcal{L}[Y]+X\cdot \mathcal{L}[1]Y$. Такие отображения $\mathcal{L}$ называются өполне диссипативными. Отметим, что, как видно из доказательства предложения 1, «коммутатнвное» утверждение, относящееся к случаю скалярных ядер, фактически следует из результата, относящегося $\mathbf{о}$ отображениям матричных алгебр. Общая алгебранческая подоплека понятия положительной определенности исследуется в работе [30], из которой можно извлечь другое доказательство предложения 1 в случае конечномерной алгебры $\mathcal{A}$.

Пусть $\mathcal{L}(r,s)$ ядро, удовлетворяющее условиям предложения 1. Семейство ${\mathrm{\Phi }}_t(r,s)=\exp t\mathcal{L}(r,s);t⩾0$, является полугрупnoü n. о. ядер, причем ${\mathrm{\Phi }}_0(r,s)\equiv \mathrm{Id}$. Ядро ${\mathrm{\Phi }}_t(r,s)$ является безгранично делимым в том смысле, что для любого $n=1,2,\dots$
$${\mathrm{\Phi }}_t(r,s)={\mathrm{\Phi }}_{t/n}(r,s)\cdot \dots \cdot {\mathrm{\Phi }}_{t/n}(r,s)={({\mathrm{\Phi }}_{t/n}(r,s))}^n,$$

где ${\mathrm{\Phi }}_{t/n}(r,s)=\exp (t/n)\mathcal{L}(r,s)$ п. о. ядро. Пример э. у. п. о. ядра дается формулой $\mathcal{L}(r,s)=\mathrm{\Phi }(r,s)+c\cdot \mathrm{Id}$, где $\mathrm{\Phi }(r,s)$ — произвольное п. о. ядро, cєR. Поточечный предел таких ядер (в смысле нормы $F(\mathcal{A})$ ) также является э. у. п.о. ядром. Из предложения 1 вытекает обратное: всякое э.у.п.о. ядро представимо в виде такого предела. В самом деле,
$$\mathcal{L}(r,s)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n({\mathrm{\Phi }}_{t/n}(r,s)-\mathrm{Id}).$$

Эти факты лежат в основе вероятностных приложений (см. § 11.3).

Пусть $G$ — произвольная группа с единицей $e$. Функция $\mathrm{\Phi }(g);g\in G$, со значениями в $\mathcal{F}$ называется, соответственно. эрмитовой, положительно определенной, условно положительмо определенной, если ядро $\mathrm{\Phi }\left(g^{-1}h\right),g,h\in G$, обладает указанным свойством. Эрмитовость означает, что $\mathrm{\Phi }\left(g^{-1}\right)=\mathrm{\Phi }(g{)}^{\ast },g\in G$. Для дальнейших ссылок нам понадобится следствие, непосредственно вытекающее из предложения 1 .

Следствие 1. Пусть $\mathcal{L}(g),g\in G$; функция со значениями в $\text{Math input error}$. Следующие условия эквивалентны:
1) ${\mathrm{\Phi }}_t(g)=\exp t\mathcal{L}(g)\cdot$ является п. о. функцией для всех ;
2) $\mathcal{L}(g)$ э. у. п. о. функция;
3) $\mathcal{L}(g)$ эрмитова и для любых конечных наборов $\left\{g_j\right\}\subset G$, $\left\{{\psi }_j\right\}\subset \mathcal{H},\left\{X_j\right\}\subset \mathcal{A}$ выполняется
$$\sum _{j,k}({\psi }_j\mid D\mathcal{L}(g_j,g_k;X_j,X_k){\psi }_k)⩾0,$$

где
$$\begin{array}{c}D\mathcal{L}(g,h;X,Y)=\mathcal{L}\left(g^{-1}h\right)\left[X^{\ast }Y\right]-\mathcal{L}\left(g^{-1}\right)\left[X^{\ast }\right]Y-\\ -X^{\ast }\mathcal{L}(h)[Y]+X^{\ast }\mathcal{L}(e)[1]Y.\end{array}$$
П. о. функция $\mathrm{\Phi }(g)$ (у. п. о. функция $\mathcal{L}(g)$ ) называется нормированной, если $\mathrm{\Phi }(e)[\mathrm{I}]=\mathrm{I}$ (соответственно, $\mathcal{L}(e)[\mathrm{I}]=0$ ). Заметим, что ${\mathrm{\Phi }}_t(e)[1]=1$ для всех $t⩾0$ тогда и только тогда, когда $\mathcal{L}(g)$ нормирована.

Пусть $G$ абелева локально-компактная группа. В этом случае широкий класс нормированных э. у. п. о. функций может быть построен следующим образом. Пусть $\mathcal{X}=\hat{G}$ — двойственная группа и $g(x)$ — значение характера $g$ группы $\mathcal{Z}$ на элементе $x\in X$. Обозначим $\epsilon$ единицу группы $\mathcal{P}$ и пусть $\mathcal{B}{\mathcal{B}}_{\epsilon }-\sigma$-кольцо борелевских подмножеств $\mathcal{P}$, не содержащих $\epsilon$. Пусть $\mathcal{P}(dx)$ функция множеств на $\mathcal{B}$. со следующими свойствами:
1) для любого $B\in \mathcal{B},\mathcal{P}(B)$ является вполне положительным отображением из $\mathfrak{F}$
2) функция множеств $\mathcal{P}(B),B\in \mathcal{B},\sigma$ — аддитивна (в смысле нормы 8 );
3) определен интеграл (в смысле Бохнера)
$$\mathcal{L}(g)[X]={\int }_{\mathcal{Q}\mathrm{\setminus }\mathcal{V}}(g(x)\mathcal{P}(dx)[X]-\mathcal{P}(dx)[1]\circ X];g\in G.$$

Покажем, что соотношение (1.6) задает нормированную э. у. п. о. функцию. Достаточно установить это для функций
$${\mathcal{L}}_{K_1,K_2}(g)[X]={\int }_{K_1\mathrm{\setminus }{K}_1}(g(x)\mathcal{P}(dx)[X]-\mathcal{P}(dx)[\mathrm{I}]\circ ),$$

где $K_1,K_2$ произвольные компактные окрестности $\epsilon$. Эрмитовость очевидна; если наборы $\left\{{\psi }_j\right\}\subset \mathcal{H},\left\{X_j\right\}\subset \mathcal{A}$ удовлетворяют условию (1.2), то
$$\begin{array}{c}\sum _{j,k}({\psi }_j\mid {\mathcal{L}}_{K_1,K_1}\left(g_j^{-1}{g}_k\right)\left[X_j^{\ast }{X}_k\right]{\psi }_k)=\\ =\sum _{j,k}{\int }_{K_1\mathrm{\setminus }{K}_k}\overline{g_j(x)}{g}_k(x)({\psi }_j\mid \mathcal{P}(dx)\left[X_j^{\ast }{X}_k\right]{\psi }_k).\end{array}$$

Приближая непрерывные функиии $g_j(x)$ равномерно на $K_2\mathrm{\setminus }{K}_1$ кусочно-постоянными функциями, получаем, что выражение в правой части аппроксимируется суммами величин вида $\sum _{j,k}{\overline{c}}_j{c}_k({\psi }_j\mid \mathcal{P}(B)\left[X_j^{\ast }{X}_k\right]{\psi }_k)$, которые неотрицательны в силу свойства 1). Таким образом, (1.7), а значит и (1.6), являются нормированными э. у. п. о. функцнями.

Пусть, например, $G=\mathcal{X}=\mathbf{R},{\mathcal{L}}_0$ — вполне диссипативное отображение нз $\mathcal{F}(\mathcal{A})$ и . Тогда функция множеств $\mathcal{P}(dx)$, определяемая плотностью
$$p(x)=\{\begin{array}{l}0,x⩽0,\\ x^{-1}\exp x({\mathcal{L}}_0-\beta \text{ Id }),x& gt;0,\end{array}$$

по мере Лебега $dx$, обладает свойствами 1)-3). Интеграл (1.6) в этом случае вычисляется явнс:
$$\mathcal{L}(g)[X]=-\ln ((\beta -i\lambda )\mathrm{Id}-{\mathcal{L}}_0)[X]+\ln (\beta \mathrm{Id}-{\mathcal{L}}_0)[\mathrm{I}]\times .$$

Полное описание класса э. у. п. о. функций и другие примеры будут даны в следующих параграфах.