Пусть $\mathscr{H}$ гильбертово пространство, $\mathfrak{Y}(\mathscr{H})$ алтебра всех ограниченных операторов в $\mathscr{C}$. Мы будем использовать обозначения
\[
X \circ Y=\frac{1}{2}(X Y+Y X), \quad[X, Y]=X Y-Y X
\]

для йорданова произведения и коммутатора операторов $X$, $Y \in \mathscr{Z}(\mathscr{C})$. Положим также
\[
\operatorname{Re} X=\frac{1}{2}\left(X+X^{*}\right), \quad \operatorname{Im} X=\frac{1}{2 i}\left(X-X^{*}\right)
\]

для $X \in \mathscr{F}(\mathscr{C})$. Если $\mathscr{H}$ – гильбертово пространство, то $\mathscr{F}(\mathscr{H}, \mathscr{K})$ обозначает банахово пространство ограниченных операторов из $\mathscr{H}$ в $\mathscr{H}$.

Пусть $C^{*}$-подалгебра $\mathfrak{O}(\mathscr{C})$, содержащая единичный оператор I. Будем обозначать $\mathscr{A}^{h}$ пространство эрмитовых элементов $\mathscr{A}$. Через $\mathfrak{f}$ мы обозначаем банахово пространство огра$\Phi^{*} \in \mathcal{F}$ определяется соотношением
\[
\Phi^{*}[X]=\left(\Phi\left[X^{*}\right]\right)^{*}, \quad X \in \mathscr{A} .
\]

Через $\mathfrak{F}(\mathscr{A})$ будем обозначать банахову алгебру ограниченных линейных отображений $\mathscr{A}$ в $\mathscr{A}$. Тождественное отображение обозначается символом Id.

Пусть $S$ произвольное множество. Ядром будем называть функцию $\Phi(r, s) ; r, s \in S$, со значеннями в $\mathcal{f}$. Ядро назовем эрмитовым, если $\Phi(s, r) \approx \Phi(r, s)^{*}$, положительно определенным, если для любых конечных наборов $\left\{\psi_{j}\right\} \subset \mathscr{H},\left\{s_{j}\right\} \subset \mathcal{S},\left\{X_{j}\right\} \subset \mathscr{A}$ выполняется
\[
\sum_{j, k}\left(\psi_{j} \mid \Phi\left(s_{j}, s_{k}\right)\left[X_{j}^{*} X_{k}\right] \psi_{k}\right) \geqslant 0,
\]

и условно положительно определенным, если (1.1) выполняется для наборов, удовлетворяющих условию
\[
\sum_{j} X_{j} \varphi_{j}=0 .
\]

Предложение 1. Пусть $\mathscr{L}(r, s) ; r, s \in S$, ядро со значениями в $\mathfrak{f}(\mathscr{A})$. Следующие условия эквивалентны:
1) ядро $\exp t \mathscr{L}(r, s)$ является положительно определенным (п.о.) для всех $t>0$;
2) ядро $\mathscr{L}(r, s)$ является эрмитовым условно положительно определенным (э. у. п.о.);
3) ядро $\mathscr{L}(r, s)$ является эрмитовым и для любого $s_{0} \in S$ и любых конечных наборов $\left\{\psi_{j}\right\} \subset \mathscr{H},\left\{s_{j}\right\} \subset \mathcal{S},\left\{X_{j}\right\} \subset \mathscr{A}$ выполняется
\[
\sum_{j, k}\left(\psi_{j} \mid D_{0} \mathscr{L}\left(s_{j}, s_{k} ; X_{j}, X_{k}\right) \psi_{k}\right) \geqslant 0
\]

где
\[
\begin{array}{c}
D_{0} \mathscr{L}(r, s ; X, Y)=\mathscr{L}(r, s)\left[X^{*} Y\right]-\mathscr{L}\left(r, s_{0}\right)\left[X^{*}\right] Y- \\
-X^{*} \mathscr{L}\left(s_{0}, s\right)[Y]+X^{*} \mathscr{L}\left(s_{0}, s_{0}\right)[\mathrm{I}] Y .
\end{array}
\]

Доказательство. Покажем, что 1) $\Rightarrow 2$ ) $\Rightarrow 3$ ) $\Rightarrow 1$ ).
$1) \Rightarrow 2$ ). Используя условие (1.1) для случая, когда индексы $j, k$ принимают всего два значения, нетрудно показать, что $\exp t \mathscr{L}(s, r)=\exp t \mathscr{L}(r, s)^{*}$. Дифференцируя по $t$, получаем $\mathscr{L}(s, r)=\mathscr{L}(r, s)$. Пусть теперь $\left\{\psi_{j}\right\},\left\{X_{j}\right\}$ пронзвольные наборы, удовлетворяющие условию (1:2), тогда полагая
\[
f(t)=\sum_{j, k}\left(\psi_{j} \mid \exp t \mathscr{L}\left(s_{j}, s_{k}\right)\left[X_{j}^{*} X_{k}\right] \psi_{k}\right),
\]

имеем $f(t)>f(0)=0$ при $t>0$, откуда
\[
\frac{d f(0)}{d t}=\sum_{j, k}\left(\psi_{j} \mid \mathscr{L}\left(s_{j}, s_{k}\right)\left[X_{j}^{*} X_{k}\right] \psi_{k}\right)>0 .
\]
2) $\Rightarrow 3$ ). Фиксируем $\left\{s_{j}\right\} \in S,\left\{\psi_{j}\right\} \subset \mathscr{H},\left\{X_{j}\right\} \subset \mathscr{A}$ и пусть $j=1, \ldots$ …,n. Положим
\[
\begin{array}{l}
s_{j}^{\prime}=\left\{\begin{array}{l}
s_{j}, j=1, \ldots, n \\
s_{0}, j=n+1, \ldots, 2 n
\end{array} \quad \psi_{j}^{\prime}=\left\{\begin{array}{l}
\Psi_{j}, j=1, \ldots, n \\
-X_{j} \psi_{j}, j=n+1, \ldots, 2 n
\end{array}\right.\right. \\
X_{j}^{\prime}=\left\{\begin{array}{l}
X_{j}, j=1, \ldots, n \\
1, j=n+1, \ldots, 2 n
\end{array}\right. \\
\end{array}
\]

Тогда $\sum_{j=1}^{2 n} X_{j}^{\prime} \psi_{j}^{\prime}=0$. Записывая неравенство (1.1) для $\Phi(r, s)=$ $=\mathscr{L}(r, s)$ и наборов $\left\{s_{j}^{\prime}\right\},\left\{\psi_{j}^{\prime}\right\},\left\{X_{j}^{\prime}\right\}$ и ползуясь эрмитовостью, получаем (1.3).
$3) \Rightarrow 11$. В основу доказательства этого утверждения может быть положен следующий результат, фактически содержащийся в работе [22] (см. также [18], теорема 14.2):

Пусть $\mathscr{L} \in \mathscr{F}(\mathscr{A}), \quad \mathscr{L}=\mathscr{L}$. Следующие условия эквивалентны:
1) отображение $\exp t \mathscr{L}$ положительно для всех $t>0$;
2) $\mathscr{L}[\mathrm{I}]-\mathscr{L}\left[U^{*}\right] U-U^{*} \mathscr{Q}[U]+U^{*} \mathscr{L}[\mathrm{I}] U \geqslant 0$ для всех унитарных элементов $U \in \mathscr{A}$.

Фиксируем набор $\left\{\mathrm{s}_{j}\right\}$, где $j=1, \ldots, n$ и рассмотрим $C^{*}$-алгебру $\mathscr{A}_{n}$, состоящую из $n \times n$-матриц $\mathrm{X}=\left[X_{j k}\right]$, где $X_{j k} \in \mathscr{A}$. Определим отображение $\mathscr{L} \in \mathcal{F}\left(\mathscr{A}_{n}\right)$, полагая $\mathscr{L}[\mathbf{X}]=$ $=\left[\mathscr{L}\left(s_{j}, s_{k}\right)\left[X_{j k}\right]\right]$. Эрмитовость ядра $\mathscr{L}(r, s)$ влечет $\mathscr{\mathscr { L }}=\mathscr{L}$. Чтобы установить (1.1) для любых $\left\{\psi_{j}\right\} \subset \mathscr{H},\left\{X_{j}\right\} \subset \mathscr{A}$, достаточно доказать, что отображение $\exp \mathscr{\mathscr { L }}^{2}$ положительно. Для этого достаточно провернть выполнение второго условия сформулированного утверждения.

Пусть $\boldsymbol{U}$-эрмитов элемент $\mathscr{A}_{n}$, тогда $\boldsymbol{U}=\left[U_{j k}\right]$, где $\sum_{i=1}^{n} U_{i j}^{*} U_{j k}=\delta_{j k}$. С учетом этого тождества матричный элемент выражения
\[
\mathscr{L}[\mathrm{I}]-\mathscr{L}\left[\boldsymbol{U}^{*}\right] \boldsymbol{U}-U^{*} \mathscr{L}[\boldsymbol{U}]+\boldsymbol{U}^{*} \mathscr{L}[\mathrm{I}] \boldsymbol{U}
\]

с номерами $j, k$ равен $\sum_{l=1}^{n} D_{l} \mathscr{L}\left(s_{j}, s_{k} ; U_{l j}, U_{l k}\right)$, где $D_{k} \mathscr{L}$ определяется формулой (1.4) с $s_{0}=s_{l}$. Из условия (3) следует, что $\sum_{j, k=1}^{n}\left(\psi_{j} \mid D_{l} \mathscr{L}\left(s_{j}, s_{k} ; U_{l j}, U_{l k}\right) \psi_{k}\right) \geqslant 0$, так что выражение
задает положительный оператор из $\mathscr{A}_{n}$. Таким образом, предложение 1 доказано.

Если $\mathscr{H}=\mathscr{A}=\mathscr{F}(\mathscr{A})=\mathrm{C}$, то предложение 1 сводится к хорошо известному результату для скалярных ядер [2], [25]. Рассмотрим другой крайний случай, когда $S$ состоит из одной точки, так что речь идет об отображенин $Ф є \mathcal{( A )}$ ). Тогда требование (1.1) равносильно тому, что Ф вполне положительно (в.п.):
\[
\sum_{j, k}\left(\psi_{j} \mid \oplus\left[X_{j}^{*}, Y_{k}\right] \psi_{k}\right) \geqslant 0
\]

для любых наборов $\left\{\psi_{j}\right\} \subset \mathscr{H},\left\{X_{j}\right\} \subset \mathscr{A}$, а предложение 1 сводится к результату, полученному Линдбладом [22]: отображения $\Phi_{t}=$ $=\exp t \mathscr{L}$ вполне положительны для всех $t>0$ тогда и только тогда, когда $\mathscr{L}:=\mathscr{L}$ и для любых наборов $\left\{\psi_{j}\right\} \subset \mathscr{E},\left\{X_{j}\right\} \subset \mathscr{A}$
\[
\sum_{j, k}\left(\psi_{j} \mid D \mathscr{L}\left(X_{j}, X_{k}\right) \psi_{k}\right) \geqslant 0,
\]

где $D \mathscr{L}(X, Y)=\mathscr{E}\left[X^{*} Y\right]-\mathscr{L}\left[X^{*}\right] Y-X^{*} \mathscr{L}[Y]+X \cdot \mathscr{L}[1] Y$. Такие отображения $\mathscr{L}$ называются өполне диссипативными. Отметим, что, как видно из доказательства предложения 1, «коммутатнвное» утверждение, относящееся к случаю скалярных ядер, фактически следует из результата, относящегося $\mathbf{~ о}$ отображениям матричных алгебр. Общая алгебранческая подоплека понятия положительной определенности исследуется в работе [30], из которой можно извлечь другое доказательство предложения 1 в случае конечномерной алгебры $\mathscr{A}$.

Пусть $\mathscr{L}(r, s)$ ядро, удовлетворяющее условиям предложения 1. Семейство $\Phi_{t}(r, s)=\exp t \mathscr{L}(r, s) ; t \geqslant 0$, является полугрупnoü n. о. ядер, причем $\Phi_{0}(r, s) \equiv \mathrm{Id}$. Ядро $\Phi_{t}(r, s)$ является безгранично делимым в том смысле, что для любого $n=1,2, \ldots$
\[
\Phi_{t}(r, s)=\Phi_{t / n}(r, s) \cdot \ldots \cdot \Phi_{t / n}(r, s)=\left(\Phi_{t / n}(r, s)\right)^{n},
\]

где $\Phi_{t / n}(r, s)=\exp (t / n) \mathscr{L}(r, s)$ п. о. ядро. Пример э. у. п. о. ядра дается формулой $\mathscr{L}(r, s)=\Phi(r, s)+c \cdot \mathrm{Id}$, где $\Phi(r, s)$ – произвольное п. о. ядро, cєR. Поточечный предел таких ядер (в смысле нормы $F(\mathscr{A})$ ) также является э. у. п.о. ядром. Из предложения 1 вытекает обратное: всякое э.у.п.о. ядро представимо в виде такого предела. В самом деле,
\[
\mathscr{L}(r, s)=\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\Phi_{t / n}(r, s)-\mathrm{Id}\right) .
\]

Эти факты лежат в основе вероятностных приложений (см. § 11.3).

Пусть $G$ – произвольная группа с единицей $e$. Функция $\Phi(g) ; g \in G$, со значениями в $\mathcal{F}$ называется, соответственно. эрмитовой, положительно определенной, условно положительмо определенной, если ядро $\Phi\left(g^{-1} h\right), g, h \in G$, обладает указанным свойством. Эрмитовость означает, что $\Phi\left(g^{-1}\right)=\Phi(g)^{*}, \quad g \in G$. Для дальнейших ссылок нам понадобится следствие, непосредственно вытекающее из предложения 1 .

Следствие 1. Пусть $\mathscr{L}(g), g \in G$; функция со значениями в $₹(\mathscr{A})$. Следующие условия эквивалентны:
1) $\Phi_{t}(g)=\exp t \mathscr{L}(g) \cdot$ является п. о. функцией для всех $t>0$;
2) $\mathscr{L}(g)$ э. у. п. о. функция;
3) $\mathscr{L}(g)$ эрмитова и для любых конечных наборов $\left\{g_{j}\right\} \subset G$, $\left\{\psi_{j}\right\} \subset \mathscr{H},\left\{X_{j}\right\} \subset \mathscr{A}$ выполняется
\[
\sum_{j, k}\left(\psi_{j} \mid D \mathscr{L}\left(g_{j}, g_{k} ; X_{j}, X_{k}\right) \psi_{k}\right) \geqslant 0,
\]

где
\[
\begin{array}{c}
D \mathscr{L}(g, h ; X, Y)=\mathscr{L}\left(g^{-1} h\right)\left[X^{*} Y\right]-\mathscr{L}\left(g^{-1}\right)\left[X^{*}\right] Y- \\
-X^{*} \mathscr{L}(h)[Y]+X^{*} \mathscr{L}(e)[1] Y .
\end{array}
\]
П. о. функция $\Phi(g)$ (у. п. о. функция $\mathscr{L}(g)$ ) называется нормированной, если $\Phi(e)[\mathrm{I}]=\mathrm{I}$ (соответственно, $\mathscr{L}(e)[\mathrm{I}]=0$ ). Заметим, что $\Phi_{t}(e)[1]=1$ для всех $t \geqslant 0$ тогда и только тогда, когда $\mathscr{L}(g)$ нормирована.

Пусть $G$ абелева локально-компактная группа. В этом случае широкий класс нормированных э. у. п. о. функций может быть построен следующим образом. Пусть $\mathscr{X}=\hat{G}$ – двойственная группа и $g(x)$ – значение характера $g$ группы $\mathscr{Z}$ на элементе $x \in X$. Обозначим $\varepsilon$ единицу группы $\mathscr{P}$ и пусть $\mathscr{B} \mathscr{B}_{\varepsilon}-\sigma$-кольцо борелевских подмножеств $\mathscr{P}$, не содержащих $\varepsilon$. Пусть $\mathscr{P}(d x)$ функция множеств на $\mathscr{B}$. со следующими свойствами:
1) для любого $B \in \mathscr{B}, \mathscr{P}(B)$ является вполне положительным отображением из $\mathfrak{F}$
2) функция множеств $\mathscr{P}(B), B \in \mathscr{B}, \sigma$ – аддитивна (в смысле нормы 8 );
3) определен интеграл (в смысле Бохнера)
\[
\mathscr{L}(g)[X]=\int_{\mathscr{Q} \backslash \mathcal{V}}(g(x) \mathscr{P}(d x)[X]-\mathscr{P}(d x)[1] \circ X] ; \quad g \in G .
\]

Покажем, что соотношение (1.6) задает нормированную э. у. п. о. функцию. Достаточно установить это для функций
\[
\mathscr{L}_{K_{1}, K_{2}}(g)[X]=\int_{K_{1} \backslash K_{1}}(g(x) \mathscr{P}(d x)[X]-\mathscr{P}(d x)[\mathrm{I}] \circ),
\]

где $K_{1}, K_{2}$ произвольные компактные окрестности $\varepsilon$. Эрмитовость очевидна; если наборы $\left\{\psi_{j}\right\} \subset \mathscr{H},\left\{X_{j}\right\} \subset \mathscr{A}$ удовлетворяют условию (1.2), то
\[
\begin{array}{c}
\sum_{j, k}\left(\psi_{j} \mid \mathscr{L}_{K_{1}, K_{1}}\left(g_{j}^{-1} g_{k}\right)\left[X_{j}^{*} X_{k}\right] \psi_{k}\right)= \\
=\sum_{j, k} \int_{K_{1} \backslash K_{k}} \overline{g_{j}(x)} g_{k}(x)\left(\psi_{j} \mid \mathscr{P}(d x)\left[X_{j}^{*} X_{k}\right] \psi_{k}\right) .
\end{array}
\]

Приближая непрерывные функиии $g_{j}(x)$ равномерно на $K_{2} \backslash K_{1}$ кусочно-постоянными функциями, получаем, что выражение в правой части аппроксимируется суммами величин вида $\sum_{j, k} \bar{c}_{j} c_{k}\left(\psi_{j} \mid \mathscr{P}(B)\left[X_{j}^{*} X_{k}\right] \psi_{k}\right)$, которые неотрицательны в силу свойства 1). Таким образом, (1.7), а значит и (1.6), являются нормированными э. у. п. о. функцнями.

Пусть, например, $G=\mathscr{X}=\mathbf{R}, \mathscr{L}_{0}$ – вполне диссипативное отображение нз $\mathcal{F}(\mathscr{A})$ и $\beta>\left\|\mathscr{L}_{0}\right\|$. Тогда функция множеств $\mathscr{P}(d x)$, определяемая плотностью
\[
p(x)=\left\{\begin{array}{l}
0, \quad x \leqslant 0, \\
x^{-1} \exp x\left(\mathscr{L}_{0}-\beta \text { Id }\right), x>0,
\end{array}\right.
\]

по мере Лебега $d x$, обладает свойствами 1)-3). Интеграл (1.6) в этом случае вычисляется явнс:
\[
\mathscr{L}(g)[X]=-\ln \left((\beta-i \lambda) \mathrm{Id}-\mathscr{L}_{0}\right)[X]+\ln \left(\beta \mathrm{Id}-\mathscr{L}_{0}\right)[\mathrm{I}] \times .
\]

Полное описание класса э. у. п. о. функций и другие примеры будут даны в следующих параграфах.