Рассмотрим последовательность инструментов $\left\{\mathscr{M}_{n} ; n=\right.$ $=1,2, \ldots\}$ с пространством исходов $(\mathscr{X}, \mathscr{B})$. Пусть $\overline{\mathscr{T}}-$ какая-либо иокально-выпуклая топология в $\mathfrak{F}(\mathscr{A})_{\sigma}$. Последовательость $\left\{\mathscr{H}_{n}\right\}$ сходится $\mathscr{T}$-слабо к инструменту $\mathscr{H}$, если для любой ограинченной непрерывной функции $f(x)$
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{\mathscr{C}} f(x) \mathscr{K}_{n}(d x)=\int_{\mathscr{X}} f(x) \mathscr{M}(d x)
\]

в топологии $\mathscr{T}$. Рассмотрим, в частности, топологии, введенные в $\$ 1.3$. Очевидно, что $\mathscr{T}_{2}$-слабая сходимость влечет $\mathscr{T}_{1}$-слабую сходимость. Из неравенства (2.3) вытекает, что $\mathscr{T}_{1}$-слабая сходимость эквивалентна слабой сходимости последовательностей мер $\left\{\mu_{S, X}^{\mathscr{X}_{n}}\right\}$ для всех $S \in \mathcal{S}, X \in \mathcal{X}$. В самои деле, речь идет, соответственно, о слабой и ультраслабой сходимости последовательностей огераторов $\left\{\int_{\mathscr{E}} f(x) \mathscr{N}_{n}(d x)[X]\right\}$, которые эквивалентны в ограниженных по норме подмножествах $\mathscr{A}$ [17]. В частности, $\mathscr{T}_{\text {j-слабая }}$ сходимость $(j=1,2)$ влечет слабую сходимость распределений вероятностей $\mu_{\tilde{S, 1}}^{\mathscr{M}_{n}}$ инструментов $\underline{\mathscr{M}}_{n}$ относительно любого нормального состояния $S$.

Следующее утверждение представляет собой разновидность ктеореды непрерывности». Для краткости всюду в дальнейшем мы ограничнваемся случаем $G=\mathscr{Z}=\mathrm{R}^{s}$.

Предложение 8. Последовательность инструментов $\left\{\mathscr{H}_{n}\right\}$ сходится $\mathscr{T}_{j}$-слабо $(j=1,2)$ к инструменту $\mathscr{I}$ тогда и только тогда, когда последовательность соответствующих характеристических функций $\left\{\Phi_{n}(g)\right\} \quad \mathscr{T}_{j}$-сходится для любого $g \in G$ к характеристической функцни $\Phi(g)$ инструмента $\mathscr{M}$.

Доказательство. Необходимость очевндна. Прй доказательстве достаточности для определенности ограничимся случаем $\mathscr{F}_{2}$-слабой сходимости. Фнксируем ограниченную непрерывную фуикцию $f(x)$ и положнм $C=\sup _{\mathscr{Z}}|f(x)|$. Мы должны показать, что для любого $ф є \mathscr{G}$
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{\| X:<1}\left\|\left(\int f(x) \mathscr{M}_{n}(d x)[X]-\int f(x) \mathscr{M}(d x)[X]\right) \Psi\right\|=0,
\]

$V_{3}$ неравенства (2.2),
\[
\begin{array}{c}
\left\|\int_{|x|>2 \lambda} f(x) \mathscr{A}(d x)[X] \Psi\right\|^{2} \leqslant C^{2}\left(\psi \mid \mathcal{M}(x:|x| \geqslant 2 \lambda)\left[X^{*} X\right] \psi\right) \leqslant \\
\leqslant C^{2}(\psi \mid \mathscr{M}(x:|x| \geqslant 2 \lambda)[\mathrm{I}] \psi) \cdot\|X\|^{2} .
\end{array}
\]

Применяя лемму 8 , получаем
\[
\begin{array}{c}
\left\|\int_{|x|>2 \lambda} f(x) \mathscr{M}(d x)[X] \psi\right\|^{2} \leqslant 2 C^{2}(\lambda / 2)^{s} \times \\
\left.\times \int_{-\lambda-1}^{\lambda-1} \cdots \int_{-\lambda-1}^{\lambda-1} \Psi(\Phi(0)[I]-\Phi(g)[I]) \psi\right) d g_{1} \ldots d g_{s} \cdot\|X\|^{2},
\end{array}
\]

и аналогичное соотношение для $\mathscr{A}_{n}(d x)$ и $\Phi_{n}(g)$. Пусть задано $\varepsilon>0$. Поскольку под интегралом в правой части находится непрерывная ограниченная функция от $g$, равная нулю при $g=0$, то можно выбрать $\lambda$ так, что правая часть будет меньше $\varepsilon^{2}\|x\|^{2}$. Тогда
\[
\sup _{\| X||<1}\left\|\int_{|x|>2 \lambda} f(x) \mathscr{x}(d x)[X] \Phi\right\|<\varepsilon .
\]

Последовательность скалярных функций $\left\{\left(\psi \mid \Phi_{n}(g)[1] \psi\right)\right\}$ сходится к ( $\Psi \mid \Phi(g)[I] \psi)$ при любом $g \in G$, оставаясь равномерно ограниченной. Используя теорему Лебега в неравенстве (3.2) для $\boldsymbol{C}_{n}(d x)$ и $\Phi_{n}(g)$, получаем, что для $n \geqslant n_{1}$
\[
\sup _{\|X\|<1}\left\|_{|X|>2 \lambda} f(x) \boldsymbol{\Lambda}_{n}(d x)[X] \psi\right\|<\varepsilon .
\]

Рассмотрим гиперкуб ( $x:|x|<2 \lambda$ ). Используя теорему Вейерштрасса, можно найти – тригонометрический многочлен $p(x)$, такой, что
\[
\sup _{|x|<2 \lambda}|f(x)-p(x)|<\varepsilon \text { и } \sup _{x \in \mathbb{R}^{s}}|p(x)| \leqslant 2 C .
\]

Рассуждая как выше, получаем при $n \geqslant n_{1}$
\[
\begin{array}{l}
\sup _{\|X\|<1}\left\|\int_{x>2 \lambda} p(x) \mathscr{A}(d x)[X] \psi\right\|<2 \varepsilon ; \\
\sup _{\|X\|<1}\left\|\int_{x>2 \lambda} p(x) \mathscr{M}_{n}(d x)[X] \psi\right\|<2 \varepsilon .
\end{array}
\]

Поскольку по условию $\Phi_{n}(g) \quad \mathscr{T}_{2}$-сходится к $\Phi(g)$, найдется номер $n_{2}$, такой что при $n \geqslant n_{2}$
\[
\sup _{\|\mid X\|<1}\left\|\int_{\mathscr{X}} p(x) \boldsymbol{A}_{n}(d x)[X] \psi-\int_{\mathscr{E}} p(x) \boldsymbol{\mathscr { C }}(d x)[X] \psi\right\|<\varepsilon .
\]
135

—————————————————————-
0013ru_fiz_kvan_book26_no_photo_page-0037.jpg.txt

Пусть $n>\max \left(n_{1}, n_{2}\right)$ объединяя (3.3)-(3.5), палучаем
\[
\sup _{\|X\|<1}\left\|\int_{\mathscr{E}} f(x) \cdot \boldsymbol{x}_{n}(d x)[X] \psi-\int_{\mathscr{E}} f(x) \cdot \mathcal{X}(d x)[X] \psi\right\|<9 \varepsilon .
\]

Предложение доказано.
Пусть $\mathscr{L}(g), g \in G$, – квазихарахтернстическая функция. Из теоремы 3 вытекает, что $\Phi(g)=\exp \mathscr{L}(g)$ является характеристической фунщцией в. п. ннструмента $\boldsymbol{\ell}$, который безгранично делим в том смысле, что для любого $n \equiv 1,2, \ldots$
\[
\underline{\boldsymbol{M}}=\underline{\boldsymbol{M}}_{n} * \ldots * \underline{\boldsymbol{M}}_{n} \equiv \underline{\boldsymbol{M}}_{n}^{* n},
\]

где $\mathscr{A}_{n}$ – в.п. инструмент (с характеристической функцией $\left.\exp \frac{\Gamma}{n} \mathscr{L}(g)\right)$. Рассмотрим теперь сдедующую <схему серини». Пусть для любого $n=1,2, \ldots$ задан некоторый в. п. ннструмеит $\mathscr{A}_{n}$ с характеристической функцией $\Phi_{n}(g)$; тогда свертка $\overline{\boldsymbol{M}}_{n}^{* n}$ имеет характеристическую функцию $\Phi_{n}(g)^{n}$.
Предложение 9. Пусть последовательность функций
\[
\mathscr{L}_{n}(g)=n\left(\Phi_{n}(g)-I d\right) ; n=1,2, \ldots
\]
$\mathscr{L}_{2}$-сходнтся к $\mathscr{T}_{2}$-непрерывной функции $\mathscr{L}(g)$. Тогда $\mathscr{L}(g)$ является квазихарактеристической функцией и свертки $\boldsymbol{\mathscr { C }}_{n}^{*} \mathscr{T}_{2}$-слабо сходятся к в. п. инструменту с характеристической функцией $\exp \mathscr{L}(g)$.

Доказательство. Функция $\mathscr{L}(\mathrm{g})$ ввляется квазихарактериг стическон вместе с $\mathscr{L}_{n}$ (g) (ср. 11.1 ). По принципу равномерной ограниченности $\sup \left\|\mathscr{L}_{n}(g)\right\| \leqslant c$ для любого $g \in G$, так что $\left\|\Phi_{n}(g)-\mathrm{ld}\right\|=O(1 / n)$. Поэтому для достаточно больших $n$ определен $\ln \Phi_{n}(g)=-\sum_{k=1}^{\infty}\left(\mathrm{Id}-\Phi_{n}(g)\right)^{k} \cdot k^{-1}$, причем $\quad n \ln \Phi_{n}(g)=$ $=\mathscr{L}_{n}(g)+\varepsilon_{n}(g)$. где $\| \varepsilon_{n}(g) \Downarrow=O\left(\frac{1}{n}\right)$ для всех $g \in G$. Следовательно, $n \operatorname{dn} \Phi_{n}(g) \quad \mathscr{T}_{2}$-сходится к $\mathscr{L}(g)$. Рассуждая как при доказательстве теоремы 3 , получаем, что $\Phi_{n}(g)^{n}=$ $=\exp n \ln \Phi_{n}(g) \quad \mathscr{T}_{2}$-сходится к $\exp \mathscr{L}(g)$. Остается сослаться на предложение 8 .

Пример 3. Пусть $A^{1}, \ldots, A^{s}$ – коммутярующие наблюдаеwhe $\boldsymbol{r}$
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{x}_{n}(B)=n^{s / 2} \int \ldots \int \Psi\left(\sqrt{n} x^{1}-\frac{1}{\sqrt{n}} A^{1}, \ldots, \sqrt{n} x^{s}-\frac{1}{\sqrt{n}} A^{s}\right) \cdot X X \\
\times \Psi\left(\sqrt{n} x^{1}-\frac{1}{\sqrt{n}} A^{1}, \ldots, \sqrt{n} x^{s}-\frac{1}{\sqrt{n}} A^{s}\right) d x^{1} \ldots d x^{s}
\end{array}
\]
рассматривать как измерение наблюдаемых $A^{1}, \ldots, A^{s}$ путем 186

усреднения результатов $n$ последовательных измерений, типа описанных в примере 2. При этом каждое измерение должно иметь ковариации порядка $n$.

Производя замену переменных $\sqrt{n} x^{j}=\xi^{j} ; j=1, \ldots, s$, получаем
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{L}_{n}(g)[X]=n\left[\int \cdots \int \psi\left(\xi^{1}-\frac{1}{\sqrt{n}} A^{1}, \ldots, \xi^{s}-\frac{1}{\sqrt{n}} A^{s}\right) \cdot X \times\right. \\
\left.\times \psi\left(\xi^{1}-\frac{1}{\sqrt{n}} A^{1}, \ldots, \xi^{s}-\frac{1}{\sqrt{n}} A^{s}\right) \exp \frac{i}{\sqrt{n}} \sum_{j=1}^{s} g_{j} \xi^{j} d \xi^{1} \ldots d \xi^{s}-X\right]
\end{array}
\]

Относительно функции $\psi(x)=\psi\left(x^{1}, \ldots, x^{8}\right)$, помимо (1.6;-(1.8) предположим также следующее:
a) существуют первые и вторые частные производные $\psi(x)$, причем
\[
\int \ldots \int\left|\psi^{(\alpha)}(x) \psi^{(\beta)}(x)\right| \cdot|x|^{\tau} d x^{1} \ldots d x^{s}<\infty,
\]

где $\alpha, \beta, \gamma=0,1,2$, а $\psi^{(\alpha)}$ обозначает любую из частных производных порядка $\alpha$;
б) полагая
\[
\begin{array}{c}
r_{2}(x)=\sup _{h
eq 0}|h|^{-2} \left\lvert\, \psi(x+h)-\psi(x)-\sum_{j} \frac{\partial \psi(x)}{\partial x^{j}} h^{j}-\right. \\
\left.-\frac{1}{2} \sum_{j, k} \frac{\partial^{2} \Psi(x)}{\partial x^{j} \partial x^{k}} h^{j} h^{\kappa} \right\rvert\,
\end{array}
\]

имеем
\[
\int \ldots \int\left|r_{2}(x)\right|^{2}\left(1+|x|^{2}\right) d x^{1} \ldots d x^{s}<\infty .
\]

Этим условиям удовлетворяет, например, квадратный корень из нормальной плотности распределения.

Разлагая в интеграле (3.8) $\psi(x)$ в ряд Тейлора по степеням $\frac{1}{\sqrt{n}}$ и используя условия а), б), получсем $\mathscr{L}_{n}(g)=\mathscr{L}(g\rceil+\varepsilon_{n}(g)$, где
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{L}(g)[X]=\frac{1}{4} \sum_{j, k} J_{j k}\left[A^{j} X A^{k}-\left(A^{j} A^{k}\right) \times X\right]+ \\
+i \sum_{j} g_{j} A^{J_{\circ}} X-\frac{1}{2}\left(\sum_{j, k} \gamma^{j k} g_{j} g_{k}\right) X
\end{array}
\]
– кгауссовская квазихарактеристическая функция типа (1.4.4) (с точностью до слагаемого, не зависящего от $g$ ), при чем
\[
J_{j k}=4 \int \ldots \int \frac{\partial \psi(x)}{\partial x^{j}} \cdot \frac{\partial \psi(x)}{\partial x^{k}} d x^{1} \ldots d x^{s},
\]
$18-1$

и $\sup _{\boldsymbol{\varepsilon} \in \mathcal{K}}\left\|\varepsilon_{n}(g)\right\|=O\left(\frac{1}{n}\right)$ для любого компакта $K$. Таким образом, условия предложения 9 выполнены и свертки $\mathscr{\mathscr { R }}_{n}^{\boldsymbol{n}_{n}}$ сходятся к предельному инструменту с характеристической функцией $\exp \mathscr{L}(g)$. Отметим, что если $\psi(x)$ – квадратный корень из нормальной плотности, то матрицы $\left[\gamma^{j k}\right]$ и $\left[J_{j k}\right]$ взаимно-обратны.