Рассмотрим вопрос о сходимости серий последовательных измерений к процессу непрерывного изиерения. Пусть для $n=1,2,\dots$. задано разбиенне временной осл $\mathrm{R}$ на интервалы $[t_i^{(n)},t_{i+1}^{(n)})$ длины $1/n$. и каждому моменту $t^{(n)}$ сопоттазлено изиерение, описываемое инструментом ${\mathcal{A}}_n$ в прогтранс гвом жходов ${\mathrm{R}}^s$, и с характеристнческой функцией ${\mathrm{\Phi }}_n(g),g\in {\mathrm{R}}^s$. Фиксируем $n$ и отрезок $[a,b]$ и пусть $i_a$ — первый, а $i_b$ — последиий из номеров $i$, таких, что . Соотношение
$$\mathcal{A}(B_{i_a}\times \dots \times B_{b_b})={\mathcal{N}}_n\left(B_{i_a}\right)\cdot \dots {\mathcal{K}}_n\left(B_{i_b}\right);B_i\in \mathcal{B}\left({\mathbf{R}}^s\right)$$

по принипу продолже:хя определяет коипозицию $\mathcal{K}$ последовательности инструментоз ${\mathcal{K}}_n$. Взеием ${\mathcal{B}}_{3,5}$-изиерлмое отображение
$$\beta (U(\cdot ))=(x_i;i=i_a,\dots ,i_b);x_i=y\left(t_i^{(n)}\right)-y(t_i^{(n)}-0),$$

переводящее функцио $y(\cdot )\in \mathcal{D}$ в вектор скачков $x=(x_i;i=i_a,\dots$ $\dots ,i_b$ ), и обозначм чераз ${\mathcal{A}}_{a,b}^{(n)}$ проэбраз инструмента $\mathcal{C}$ при отображенин $\beta$,
$${\mathcal{A}}_{a,b}^{(n)}(B)=\mathit{A}({\beta }^{-1}(B));B\in {\tilde{\mathcal{f}}}_{a,b}.$$

Семейство ојразует и. н. п. процесс с тряекториями в $\mathcal{D}$ (фактическл, в прогтранстве фунқция, постоянных на каждом интерзале $[t_i^{(n)},t_{i+1}^{(n)})$ ). Кожечномерные распределения процесса $\left\{{\mathcal{A}}_{a,b}^{(n)}\right\}$ имеют совместные характеристические функции
$${\mathrm{\Phi }}_{{\tau }_0\dots ,{\tau }_p}^{(n)}(g_1,\dots ,g_p)={\mathrm{\Phi }}_n{\left(g_1\right)}^{m_1}\cdot \dots {\mathrm{\Phi }}_n{\left(g_p\right)}^{m_p},$$

где ${\mathit{m}}_r$ — чисю точек $t_i^{(n)}$ на интервале $({\tau }_{r-1},{\tau }_r$ ].
Чтобы упростить обозначения, положмм
$$\begin{array}{c}{\mu }_{S,X}^{(n)}(B)=⟨S,{\mathcal{A}}_{a,b}^{(n)}(B)[X]⟩,\\ {\mu }_{S,X}(B)=⟨S,{\mathcal{N}}_{a,b}(B)[X]⟩;S\in \mathrm{\Im },X\in X,\end{array}$$

для фиксированного отрезка $[a,b]$, где $\left\{{\mathcal{P}}_{\text{. в }}\right\}$ — однородный и. н. п.-процесс с. генератором $\mathcal{L}(g)$. Обозначим через $\mathcal{D}[a,b]$ множество функций $y(t);t\in [a,b]$, где $y(\cdot )\in \mathcal{D}$.

Теорем а 4. Пусть последовательность функций (3.6) ${\mathcal{T}}_{2^2}$ сходится к ${\mathcal{T}}_2$-непрерывной функции $\mathcal{L}(g)$, причем

Тогда для любых $\text{Math input error}$ последовательность мер $\left\{{\mu }_{S,X}^{(n)}\right\}$ сходится слабо в смысле топологии Скорохода в $\mathcal{D}[a,b]$ к мере ${\mu }_{s,x}$.

Из замечания в начале $\mathrm{\S }3$ видно, что в теореме 4 речь идет — ${\mathcal{T}}_1$-слабой сходимости инструментов $\left\{{\mathcal{M}}_{a.b}^{(n)}\right\}$ к ${\mathcal{N}}_{a,b}$. В условиях теоремы имеет место и ${\mathcal{T}}_2$-слабая сходимость; мы не будем здесь углубляться в этот вопрос.

Доказательство. Рассуждая как в доказательстве предложения 9 и учитывая, что $|m_r/n-({\tau }_r-{\tau }_{r-1})|{⩽}_{1/n}$, имеем
$$\frac{m_r}{n}n\ln {\mathrm{\Phi }}_n{\mathrm{\Phi }}_n{\left(g_r\right)}^m=e^{\frac{n_r}{n}n|n{\mathrm{\Phi }}_n(g)}\to e^{({\tau }_r-{\tau }_{r-1})\mathcal{L}(g)};r=1,\dots ,p$$

в смысле топологии ${\mathcal{T}}_2$. Отсюда вытекает поточечная ${\mathcal{T}}_2$-сходимость характеристических функций (5.1) к (4.6) и тем самым, согласно предложению 8, сходимость конечномерных распределений мер ${\mu }_{S,x^{(n)}}$ к соответствующим распределениям мер ${\mu }_{S,X}$. Чтобы завершить доказательство, достаточно установить плотность семейства мер $\left\{{\mu }_{8,x^{(n)}}\right\}$ в $\mathcal{D}[a,b]$.

Воспользуемся критерием Скорохода ([1], теорема 15.4). Покажем, что для любого
$$\underset{\delta \to 0}{lim}{\overline{lim}}_{n\to \mathrm{\infty }}{\mu }_{s,X}^{(n)}(y(\cdot ):w_y^n(\delta )⩾\lambda )=0,$$

где
$$w_y^{\prime \prime }(0)=supmin\{|y(t)-y\left(t_1\right)|,|y\left(t_2\right)-y(t)|\},$$

и верхняя грань берется по всем $t_1,t,t_2\in [a,b]$, удовлетворяющим неравенствам $t_1⩽t⩽t_2,t_2-t_1⩽\delta$. Если функция $y(t),t\in [a,b]$ постоянна на отрезках $[t_i^{(n)},t_{i+1}^{(n)})$ и имеет в точке $t_i^{(n)}$ скачок $x_i$, то
$${\dot{\omega }}_y(\delta )⩽M_m(y)=maxmin\left\{|x_{i+1}+\dots +x_{ȷ}||x_{j+1}+\dots +x_k|\right\}\text{, }$$

где максимум берется по $i,j,k$, таким, что и $k-i⩽m=\left[{\delta }_n\right]+1$. Мы покажем, что

Отсюда, как в ([1], теорема 12.6) следует, что

и, таким образом, выполняется условие плотности (5.2).
Для доказательства неравенства (5.3) заметим, что, согласно оценке (2.11),
$$\begin{array}{c}\Vert \mathit{A}(y(\cdot ):|x_{i+1}+\dots +x_j|⩾\lambda )\Vert ⩽\\ ⩽2(\lambda /4{)}^s{\int }_{-2{\lambda }^{-1}}^{2{\lambda }^{-1}}\cdots {\int }_{-2{\lambda }^{-1}}^{2{\lambda }^{-1}}\Vert {\mathrm{\Phi }}_n(0{)}^{j-i}-{\mathrm{\Phi }}_n(g{)}^{j-i}\Vert d{g}_1\dots d{g}_s,\end{array}$$

где $\underset{―}{\mathit{C}}$-композиция $(j-i)$ ннструментов ${\underset{―}{\mathit{x}}}_n$. Заметим, что
$$\begin{array}{c}\Vert {\mathrm{\Phi }}_n(0{)}^l-{\mathrm{\Phi }}_n(g{)}^t\Vert =\Vert \sum _{k=1}^l{\mathrm{\Phi }}_n(0{)}^{1-k}\cdot ({\mathrm{\Phi }}_n(0)-{\mathrm{\Phi }}_n(g))\cdot {\mathrm{\Phi }}_n(g{)}^{n-1}\Vert ⩽\\ ⩽l\Vert {\mathrm{\Phi }}_n(0)-{\mathrm{\Phi }}_n(g)\Vert ⩽\frac{l}{n}(\Vert {\mathcal{L}}_n(0)\Vert +\Vert {\mathcal{L}}_n(g)\Vert ).\end{array}$$

Функция ${\mathcal{P}}_n(g)=n({\mathrm{\Phi }}_n(g)-\mathrm{Id})$ является квазихарактеристической, поэтому для нее имеет место оценка роста (2.6); следовательно
$$\Vert {\mathrm{\Phi }}_n(0{)}^l-{\mathrm{\Phi }}_n(g{)}^l\Vert ⩽C^{\prime }\frac{l}{n}(1+|g{|}^2).$$

Подставляя в (5.4) и интегрируя, получаем
$$\Vert \mathcal{A}(y(\cdot ):|x_{i+1}+\dots +x_j|⩾\lambda \Vert ⩽C^{\prime \prime }(1+{\lambda }^{-2})\frac{j-i}{n}.$$

Рассуждая, как в (4.10), получаем отсюда оценту (5.3).
Для иллюстрации рассмотрим последовательность инструментов (3.7), описывающую приближенное совместное измерение наблюдаемых $n^{-1}{A}^1,\dots ,n^{-1}{A}^{\ast }$. Из рассуждений примера 3 вытекает, что условия теоремы 4 выполнены и имеет место сходимость в указанном смысле серий последовательных измерений к однородному и. н. п. процессу $\left\{{\mathcal{P}}_{a,\text{ в }}\right\}$ с кгауссовским .генератором (3.9). Таким образом, инструмент ${\mathcal{P}}_{⌞,\text{в о описыват }}$ непрерывное приближенное совместное измерение наблюдаемых $A^1,\dots ,A^{\prime }$ на отрезке времени $[a,b]$. Факт сходимости конечномерных распределений был отмечен в работе Баркиелли, Ланца и Проспери [11], где также было указано, что генератор (3.9)

определяет процесс непрерывного измерения для произвольных, не обязательно коммутирующих наблюдаемых $A^1,\dots ,A^{\ast }$.

В этом конкретном случае утверждение теоремы 5 может быть усилено. Обозначим через $\mathcal{\&}$ пространство непрерывных функций на $\mathbf{R}$ со значениями в ${\mathbf{R}}^s,\mathcal{E}[a,b]$ — пространство функций $y(t);t\in [a,b]$, где $y(\cdot )\in \mathcal{C}$.

Предложение 12. Существует однородный и. н. п. процесс с траекториями в $\mathcal{B}$, определяемый генератором (3.9). При этом меры ${\mu }_S,x^{(n)}$ слабо сходятся к ${\mu }_S$, в равномерной топологии $\mathcal{D}$.

Доказательство. Второе утверждение следует из первого (см. [1], с 209). Для доказательства первого утверждения достаточно проверить, что меры ${\mu }_{s,x}$ удовлетворяют критерию Колмогорова; утверждение будет тогда следовать из принципа продолжения. Докажем, что

В силу (4.1) достаточно показать, что
$$\Vert \int \left|x^4\right|{\mathcal{M}}_t(dx)\Vert ⩽C{t}^2;0⩽t⩽b-a,$$

где ${\mathcal{A}}_t$ — инструмент с характеристической функцией ${\mathrm{\Phi }}_t(g)=$ $=\exp t\mathcal{L}(g)$, а $\mathcal{L}(g)$ дается выражением (3.9). Заметим, что ${\mathrm{\Phi }}_t(g)$ имеет частные производные всех порядков по $g_1,\dots ,g_{\ast }$, непрерывные по норме. Отсюда, в частностн,
$$\int |x{|}^4\cdot {\mathbf{\Lambda }}_t(dx)⩽{\sum _{j=1}^s\frac{{\partial }^{\mu }}{\partial g_j^4}|}_{g=0}{\mathrm{\Phi }}_i(g).$$

Воспользуемся соотношением
$${\mathrm{\Phi }}_t(g)=\mathrm{Id}+t\mathcal{Z}(g)+\mathcal{L}(g{)}^2{\int }_0^t{\int }_0^s{\mathrm{\Phi }}_4(g)duds.$$

Используя обозначение (..) (q) для частной производной порядка $\alpha$ по произвольной переменной $q_3$, имеем
$${({\mathrm{\Phi }}_t(g))}^{(4)}=\sum _{\alpha =0}^4{C}_4^{\alpha }{(\mathcal{L}(g{)}^2)}^{(\alpha )}{\int }_0^t{\int }_0^s{({\mathrm{\Phi }}_u(g))}^{(4-\alpha )}duds.$$

Поскольку подынтегральные функции непрерывны по норме, отсюда следует
$$\Vert {\mathrm{\Phi }}_t(\mathrm{g}{)}^{(4)}\Vert ⩽A{\int }_0^t{\int }_0^{s}Bduds⩽C{t}^2,$$

где константы могут зависеть от $g$. Сопоставляя (5.7) и (5.6), получаем (5.5).