Рассмотрим вопрос о сходимости серий последовательных измерений к процессу непрерывного изиерения. Пусть для $n=1,2, \ldots$. задано разбиенне временной осл $\mathrm{R}$ на интервалы $\left[t_{i}^{(n)}, t_{i+1}^{(n)}\right)$ длины $1 / n$. и каждому моменту $t^{(n)}$ сопоттазлено изиерение, описываемое инструментом $\mathscr{A}_{n}$ в прогтранс гвом жходов $\mathrm{R}^{s}$, и с характеристнческой функцией $\Phi_{n}(g), g \in \mathrm{R}^{s}$. Фиксируем $n$ и отрезок $[a, b]$ и пусть $i_{a}$ – первый, а $i_{b}$ – последиий из номеров $i$, таких, что $a<t_{i}^{(n)} \leqslant b$. Соотношение
\[
\mathscr{A}\left(B_{i_{a}} \times \ldots \times B_{b_{b}}\right)=\mathscr{N}_{n}\left(B_{i_{a}}\right) \cdot \ldots \mathscr{K}_{n}\left(B_{i_{b}}\right) ; \quad B_{i} \in \mathscr{B}\left(\mathbf{R}^{s}\right)
\]

по принипу продолже:хя определяет коипозицию $\mathscr{K}$ последовательности инструментоз $\mathscr{\boldsymbol { K }}_{n}$. Взеием $\mathscr{B}_{3,5}$-изиерлмое отображение
\[
\beta(U(\cdot))=\left(x_{i} ; i=i_{a}, \ldots, i_{b}\right) ; \quad x_{i}=y\left(t_{i}^{(n)}\right)-y\left(t_{i}^{(n)}-0\right),
\]

переводящее функцио $y(\cdot) \in \mathcal{D}$ в вектор скачков $x=\left(x_{i} ; i=i_{a}, \ldots\right.$ $\ldots, i_{b}$ ), и обозначм чераз $\mathcal{A}_{a, b}^{(n)}$ проэбраз инструмента $\mathcal{C}$ при отображенин $\beta$,
\[
\mathcal{A}_{a, b}^{(n)}(B)=\boldsymbol{A}\left(\beta^{-1}(B)\right) ; \quad B \in \tilde{\mathscr{f}}_{a, b} .
\]

Семейство $\left\{\mathcal{A}_{a, b}^{(n)} ; a<b ; a, b \in \mathbf{R}\right\}$ ојразует и. н. п. процесс с тряекториями в $\mathscr{D}$ (фактическл, в прогтранстве фунқция, постоянных на каждом интерзале $\left[t_{i}^{(n)}, t_{i+1}^{(n)}\right)$ ). Кожечномерные распределения процесса $\left\{\mathcal{A}_{a, b}^{(n)}\right\}$ имеют совместные характеристические функции
\[
\Phi_{\tau_{0} \ldots, \tau_{p}}^{(n)}\left(g_{1}, \ldots, g_{p}\right)=\Phi_{n}\left(g_{1}\right)^{m_{1}} \cdot \ldots \Phi_{n}\left(g_{p}\right)^{m_{p}},
\]

где $\boldsymbol{m}_{r}$ – чисю точек $t_{i}^{(n)}$ на интервале $\left(\tau_{r-1}, \tau_{r}\right.$ ].
Чтобы упростить обозначения, положмм
\[
\begin{array}{c}
\mu_{S, X}^{(n)}(B)=\left\langle S, \mathcal{A}_{a, b}^{(n)}(B)[X]\right\rangle, \\
\mu_{S, X}(B)=\left\langle S, \mathscr{N}_{a, b}(B)[X]\right\rangle ; S \in \Im, \quad X \in X,
\end{array}
\]

для фиксированного отрезка $[a, b]$, где $\left\{\mathscr{P}_{\text {. в }}\right\}$ – однородный и. н. п.-процесс с. генератором $\mathscr{L}(g)$. Обозначим через $\mathscr{D}[a, b]$ множество функций $y(t) ; t \in[a, b]$, где $y(\cdot) \in \mathscr{D}$.

Теорем а 4. Пусть последовательность функций (3.6) $\mathscr{T}_{2^{2}}$ сходится к $\mathscr{T}_{2}$-непрерывной функции $\mathscr{L}(g)$, причем
\[
C=\sup _{n} \sup _{|g|<i} n\left\|\Phi_{n}(g)-\mathrm{Id}\right\|<\infty .
\]

Тогда для любых $S € \Theta, X \in X$ последовательность мер $\left\{\mu_{S, X}^{(n)}\right\}$ сходится слабо в смысле топологии Скорохода в $\mathscr{D}[a, b]$ к мере $\mu_{s, x}$.

Из замечания в начале $\S 3$ видно, что в теореме 4 речь идет – $\mathscr{T}_{1}$-слабой сходимости инструментов $\left\{\mathscr{M}_{a . b}^{(n)}\right\}$ к $\mathscr{N}_{a, b}$. В условиях теоремы имеет место и $\mathscr{T}_{2}$-слабая сходимость; мы не будем здесь углубляться в этот вопрос.

Доказательство. Рассуждая как в доказательстве предложения 9 и учитывая, что $\left|m_{r} / n-\left(\tau_{r}-\tau_{r-1}\right)\right| \leqslant_{1 / n}$, имеем
\[
\frac{m_{r}}{n} n \ln \Phi_{n} \Phi_{n}\left(g_{r}\right)^{m}=e^{\left.\frac{n_{r}}{n} n \right\rvert\, n \Phi_{n}(g)} \rightarrow e^{\left(\tau_{r}-\tau_{r-1}\right) \mathscr{L}(g)} ; r=1, \ldots, p
\]

в смысле топологии $\mathscr{T}_{2}$. Отсюда вытекает поточечная $\mathscr{T}_{2}$-сходимость характеристических функций (5.1) к (4.6) и тем самым, согласно предложению 8, сходимость конечномерных распределений мер $\mu_{S, x^{(n)}}$ к соответствующим распределениям мер $\mu_{S, X}$. Чтобы завершить доказательство, достаточно установить плотность семейства мер $\left\{\mu_{8, x^{(n)}}\right\}$ в $\mathscr{D}[a, b]$.

Воспользуемся критерием Скорохода ([1], теорема 15.4). Покажем, что для любого $\lambda>0$
\[
\lim _{\delta \rightarrow 0} \overline{\lim }_{n \rightarrow \infty} \mu_{s, X}^{(n)}\left(y(\cdot): w_{y}^{n}(\delta) \geqslant \lambda\right)=0,
\]

где
\[
w_{y}^{\prime \prime}(0)=\sup \min \left\{\left|y(t)-y\left(t_{1}\right)\right|,\left|y\left(t_{2}\right)-y(t)\right|\right\},
\]

и верхняя грань берется по всем $t_{1}, t, t_{2} \in[a, b]$, удовлетворяющим неравенствам $t_{1} \leqslant t \leqslant t_{2}, t_{2}-t_{1} \leqslant \delta$. Если функция $y(t), t \in[a, b]$ постоянна на отрезках $\left[t_{i}^{(n)}, t_{i+1}^{(n)}\right)$ и имеет в точке $t_{i}^{(n)}$ скачок $x_{i}$, то
\[
\dot{\omega}_{y}(\delta) \leqslant M_{m}(y)=\max \min \left\{\left|x_{i+1}+\ldots+x_{\jmath}\right|\left|x_{j+1}+\ldots+x_{k}\right|\right\} \text {, }
\]

где максимум берется по $i, j, k$, таким, что $i_{s}-1 \leqslant i<j<k \leqslant i_{b}$ и $k-i \leqslant m=\left[\delta_{n}\right]+1$. Мы покажем, что
\[
\begin{array}{c}
\mu_{s, X}^{(n)}\left(y(\cdot):\left|x_{i+1}+\ldots+x_{j}\right|>\lambda,\left|x_{j+1}+\ldots+x_{k}\right|>\lambda\right)< \\
\leqslant C\left(1+\lambda^{-2}\right)^{2} \cdot \frac{(J-i)}{n} \cdot \frac{(k-j)}{n} .
\end{array}
\]

Отсюда, как в ([1], теорема 12.6) следует, что
\[
\begin{array}{c}
\mu_{s, X}^{(n)}\left(y(\cdot): M_{m}^{*}(y)>\lambda\right) \leqslant C_{1}\left(\mathrm{I}+\lambda^{-2}\right)^{2}\left(\frac{m}{n}\right)^{2} \leqslant \\
<C_{1}\left(1+\lambda^{-2}\right)^{2}\left(\delta+\frac{1}{n}\right)^{2},
\end{array}
\]

и, таким образом, выполняется условие плотности (5.2).
Для доказательства неравенства (5.3) заметим, что, согласно оценке (2.11),
\[
\begin{array}{c}
\left\|\boldsymbol{A}\left(y(\cdot):\left|x_{i+1}+\ldots+x_{j}\right| \geqslant \lambda\right)\right\| \leqslant \\
\leqslant 2(\lambda / 4)^{s} \int_{-2 \lambda^{-1}}^{2 \lambda^{-1}} \cdots \int_{-2 \lambda^{-1}}^{2 \lambda^{-1}}\left\|\Phi_{n}(0)^{j-i}-\Phi_{n}(g)^{j-i}\right\| d g_{1} \ldots d g_{s},
\end{array}
\]

где $\underline{\boldsymbol{C}}$-композиция $(j-i)$ ннструментов $\underline{\boldsymbol{x}}_{n}$. Заметим, что
\[
\begin{array}{c}
\left\|\Phi_{n}(0)^{l}-\Phi_{n}(g)^{t}\right\|=\left\|\sum_{k=1}^{l} \Phi_{n}(0)^{1-k} \cdot\left(\Phi_{n}(0)-\Phi_{n}(g)\right) \cdot \Phi_{n}(g)^{n-1}\right\| \leqslant \\
\leqslant l\left\|\Phi_{n}(0)-\Phi_{n}(g)\right\| \leqslant \frac{l}{n}\left(\left\|\mathscr{L}_{n}(0)\right\|+\left\|\mathscr{L}_{n}(g)\right\|\right) .
\end{array}
\]

Функция $\mathscr{P}_{n}(g)=n\left(\Phi_{n}(g)-\mathrm{Id}\right)$ является квазихарактеристической, поэтому для нее имеет место оценка роста (2.6); следовательно
\[
\left\|\Phi_{n}(0)^{l}-\Phi_{n}(g)^{l}\right\| \leqslant C^{\prime} \frac{l}{n}\left(1+|g|^{2}\right) .
\]

Подставляя в (5.4) и интегрируя, получаем
\[
\| \mathcal{A}\left(y(\cdot):\left|x_{i+1}+\ldots+x_{j}\right| \geqslant \lambda \| \leqslant C^{\prime \prime}\left(1+\lambda^{-2}\right) \frac{j-i}{n} .\right.
\]

Рассуждая, как в (4.10), получаем отсюда оценту (5.3).
Для иллюстрации рассмотрим последовательность инструментов (3.7), описывающую приближенное совместное измерение наблюдаемых $n^{-1} A^{1}, \ldots, n^{-1} A^{*}$. Из рассуждений примера 3 вытекает, что условия теоремы 4 выполнены и имеет место сходимость в указанном смысле серий последовательных измерений к однородному и. н. п. процессу $\left\{\mathcal{P}_{a, \text { в }}\right\}$ с кгауссовским .генератором (3.9). Таким образом, инструмент $\mathcal{P}_{\llcorner, \text {в о описыват }}$ непрерывное приближенное совместное измерение наблюдаемых $A^{1}, \ldots, A^{\prime}$ на отрезке времени $[a, b]$. Факт сходимости конечномерных распределений был отмечен в работе Баркиелли, Ланца и Проспери [11], где также было указано, что генератор (3.9)

определяет процесс непрерывного измерения для произвольных, не обязательно коммутирующих наблюдаемых $A^{1}, \ldots, A^{*}$.

В этом конкретном случае утверждение теоремы 5 может быть усилено. Обозначим через $\mathscr{\&}$ пространство непрерывных функций на $\mathbf{R}$ со значениями в $\mathbf{R}^{s}, \mathscr{E}[a, b]$ – пространство функций $y(t) ; t \in[a, b]$, где $y(\cdot) \in \mathscr{C}$.

Предложение 12. Существует однородный и. н. п. процесс с траекториями в $\mathscr{B}$, определяемый генератором (3.9). При этом меры $\mu_{S}, x^{(n)}$ слабо сходятся к $\mu_{S}$, в равномерной топологии $\mathscr{D}$.

Доказательство. Второе утверждение следует из первого (см. [1], с 209). Для доказательства первого утверждения достаточно проверить, что меры $\mu_{s, x}$ удовлетворяют критерию Колмогорова; утверждение будет тогда следовать из принципа продолжения. Докажем, что
\[
\int|y(s)-y(t)|^{4} \mu_{s, x}(d y(\cdot)) \leqslant C(s \rightarrow t)^{2} ; \quad a \leqslant t<s \leqslant b .
\]

В силу (4.1) достаточно показать, что
\[
\left\|\int\left|x^{4}\right| \mathscr{M}_{t}(d x)\right\| \leqslant C t^{2} ; \quad 0 \leqslant t \leqslant b-a,
\]

где $\mathscr{A}_{t}$ – инструмент с характеристической функцией $\Phi_{t}(g)=$ $=\exp t \mathscr{L}(g)$, а $\mathscr{L}(g)$ дается выражением (3.9). Заметим, что $\Phi_{t}(g)$ имеет частные производные всех порядков по $g_{1}, \ldots, g_{*}$, непрерывные по норме. Отсюда, в частностн,
\[
\int|x|^{4} \cdot \boldsymbol{\Lambda}_{t}(d x) \leqslant\left.\sum_{j=1}^{s} \frac{\partial^{\mu}}{\partial g_{j}^{4}}\right|_{g=0} \Phi_{i}(g) .
\]

Воспользуемся соотношением
\[
\Phi_{t}(g)=\operatorname{Id}+t \mathscr{Z}(g)+\mathscr{L}(g)^{2} \int_{0}^{t} \int_{0}^{s} \Phi_{4}(g) d u d s .
\]

Используя обозначение (..) (q) для частной производной порядка $\alpha$ по произвольной переменной $q_{3}$, имеем
\[
\left(\Phi_{t}(g)\right)^{(4)}=\sum_{\alpha=0}^{4} C_{4}^{\alpha}\left(\mathscr{L}(g)^{2}\right)^{(\alpha)} \int_{0}^{t} \int_{0}^{s}\left(\Phi_{u}(g)\right)^{(4-\alpha)} d u d s .
\]

Поскольку подынтегральные функции непрерывны по норме, отсюда следует
\[
\left\|\Phi_{t}(\mathrm{~g})^{(4)}\right\| \leqslant A \int_{0}^{t} \int_{0}^{s} B d u d s \leqslant C t^{2},
\]

где константы могут зависеть от $g$. Сопоставляя (5.7) и (5.6), получаем (5.5).