Из множества локально-выпуклых топологий, которые могут быть введены в пространстве $F$ ограниченных линейных отображений $\mathcal{A}$ в $\mathfrak{O}(\mathcal{C})$, мы будем использовать следующие две топологии, определяемые семействами псевдонорм

а также топологию, определяеиую нормой . Согласно [28] в этих определениях можно ограничиться нормальными операторами $X$.

В дальнейшем $\mathcal{A}$-алгебра фон Неймана. Обозначим ${\tilde{\delta }}_{\sigma }(\tilde{\gamma }(\mathcal{A}{)}_{\sigma })$ пространство ультраслабо непрерывных отображений $\mathcal{A}$ в $\mathfrak{O}(\mathcal{H})$ (соответственно, в $\mathcal{A}$ ); ${\mathfrak{F}}_0$ является замкнутым в топологии нормы подпространством $\mathfrak{F}$ (соответственно, $\mathfrak{F}(\mathcal{A})$ 。 является замкнутой подалгеброй $\mathcal{F}(\mathcal{A})$, [22]). Далее $G$ является топологической группой.

Предложение 4. Пусть $\mathrm{\Phi }(g),g\in G,-$ п. о. функция со значениями в ${\mathcal{F}}_0$, причем операторнозначная функция $\mathbf{\Phi }(g)[I]$, $g\in G$, слабо непрерывна при $g=e$. Тогда $\mathrm{\Phi }(g){\mathcal{T}}_2$-непрерывна равномерно по $g\in G$. В частности, ${\mathcal{T}}_1$-непрерывность п. о. функции $\mathrm{\Phi }(g)$ влечет ${\mathcal{T}}_2$-непрерывность. Более того, в предложении 2 представление $g\to V_g$ может быть выбрано непрерывным, а представление $X\to \rho [X]$ нормальным.
Доказательство. Из неравенства (2.8) следует, что

откуда вытекает первое утверждение:
Рассмотрим представления $V$ и $\rho$, построенные при доказательстве предложения 2. Из (2.4), (2.2)
$$\begin{array}{c}((g_1\otimes {\phi }_1\otimes X_1),{\tilde{V}}_h(g_2\otimes {\phi }_2\otimes X_2))=\\ =({\phi }_1\mid \mathrm{\Phi }\left(g_1^{-1}h{g}_2\right)\left[X_1^{\ast }{X}_2\right]{\phi }_2).\end{array}$$

Правая часть является непрерывной функцией $h$. Стандартные рассуждения (см. например [19]) показывают, что каноническое продолжение соответствия $h\to {\overline{V}}_h$ является непрерывным представлением: Аналогнчно, из (2.5), (2.2)
$$\begin{array}{c}((g_1\otimes {\phi }_1\otimes X_1),\tilde{\pi }[Y](g_2\otimes {\phi }_2\otimes X_2))=\\ =({\phi }_1\mid \mathrm{\Phi }\left(g_1^{-1}{g}_2\right)\left[X_1^{\ast }Y{X}_2\right]{\phi }_3),\end{array}$$

так что правая часть является ультраслабо непрерывным функиионалом от $\mathit{X}$. Поэтому $\pi$ канонически продолжается до нормального представления $\pi$.

Предложение 5. Пусть $\mathcal{L}(g),g\in G,-{\mathcal{T}}_1$-непрерывная э. у.п.о. функция со значениями в $\mathcal{F}(\mathcal{A}{)}_{\text{。. }}$. Тогда в теореме 1 представление $g\to W_g$ может быть выбрано непрерывным, представление $X\to \pi [X]$ нормальным, функция $B(g),g\in G$, сильно непрерывной, а $z(g),g\in G$, слабо непрерывной. Если, кроме того, группа $G$ локально компактна, а центр 3 чисто атомический, то функция $\mathcal{L}(g),g\in G$, является ${\mathcal{T}}_2$-непрерывной.

Доказательство. Непрерывность представлений $W$ и $\pi$ доказывается как в предложении 4. Из (2.19) $B(hg)-B(g)=$ $=(W_h-\mathrm{I})B(g)+B(h)$, поэтому для доказательства сильной непрерывности функции $B(g)$ достаточно доказать, что $B(h)\to 0$ сильно при $h\to e$. Согласно (2.27), достаточно доказать аналогичное утверждение для $B_0(h)=\mathcal{g}(h)[1]$. Однако согласно (2.11)
$$\Vert \mathcal{B}(h)[\mathrm{I}]\mathrm{\Psi }{\Vert }^2=(\psi \mid D\mathcal{L}(h,h;\mathrm{I},\mathrm{I})\mathrm{\Psi })$$

что стремится к нулю при $g\to e$ в силу ${\mathcal{T}}_1$-непрерывности $\mathcal{L}(g)$. Тот факт, что $z(g)$ слабо непрерывна, вытекает из формулы (2.21), если положить $X=\mathrm{I}$.

Первые три слагаемых в формуле (2.21) ${\mathcal{T}}_2$-непрерывны. Первое слагаемое является п. о. функцией, и поэтому утверждение следует из предложения 4. Для второго слатаемого имеем в силу (2.18)

Аналогичная оценка имеет место и для третьего слагаемого. Рассмотрим операторно-значную функцию
$$l(\mathrm{g})=-\frac{1}{2}B(g{)}^{\ast }B(g)+iz(g),g\in G.$$

Эта функция принимает значения в центре 3 и слабо непрерывна. Если группа $G$ локально компактна, а алгебра 3 чисто атомическая, то слабая непрерывность функции со значениями в 3 влечет сильную непрерывность. В самом деле,
$$l(g)=\sum _{\alpha }{l}_{\alpha }(g)P_{\alpha },$$

где $l_a(g)$ непрерывные комплексные функции, $\left\{P_a\right\}$ — ортогональное разложение единицы, порождающее 3. По принципу равномерной ограниченности

для любого компакта $K$. Тогда
$$\Vert (l(h)-l(g))\psi {\Vert }^2⩽\sum _{\alpha }{|l_{\alpha }(h)-l_{\alpha }(g)|}^2{\Vert P_{\alpha }\mathrm{\Psi }\Vert }^2,$$

где и $|l_{\alpha }(h)-l_{\alpha }(g)|⩽2c_K$ при $g,h\in K$. Таким образом, $l(h)\to l(g)$ сильно при $h\to g$. Отсюда вытекает, что слагаемое $Xl(g)$ в формуле (2.21) ${\mathcal{T}}_2$-непрерывно, и предложение доказано.

Теорема 2. Пусть $G$ — компактная группа, $\mathcal{L}(g),g\in G,-$ ${\mathcal{g}}_1$-непрерывная э. у. п. о. функция со значениями в $\mathfrak{f}(\mathcal{A}{)}_{\text{。. }}$ Существует гильбертово пространство $\mathcal{K}$, оператор $A\in \mathcal{L}(\mathcal{G},\mathcal{H})$, непрерывное представление $g\to W$ группы $G$ в $\mathcal{H}$, нормальное представление $X\to \pi [\mathrm{X}]$ алгебры $\mathcal{A}$ в $\mathcal{K}$, удовлетворяющие соотношению (2.9) и оператор $C\in \mathcal{A}$, такие, что
$$\mathcal{L}(g)[X]=A^{\ast }{W}_g\pi [X]A+C\cdot X+XC.$$

В частности, $\mathcal{L}(g){\mathcal{T}}_2$-непрерывна.
Лемма 5. Пус́ть $G$ — компактная группа и $B(g),g\in G$,сильно непрерывная функция со значениями в $\mathfrak{R}$, удовлетворяющая уравнению коцикла (2.19). Существует оператор $B\in \mathbb{R}$, такой, что
$$\begin{array}{c}BX=\pi [X]B;X\in \mathcal{A}\\ B(g)=(W,-1)B;g\in G.\end{array}$$

и

Доказательство. Для фиксированного $\downarrow \in \mathcal{H}$ функция $B(g)\psi ,g\in G$, является коциклом представления $g\to W$, со значениями в $\mathcal{H}$. Согласно ([19], Арр. В), найдется $\phi \in \mathcal{K}$, такой, что
$$B(g)\psi =(W_t-\mathrm{I})\phi ;g\in G.$$

Рассмотрим множество
$${\mathcal{A}}_w=\mathrm{cl}\{(W_z-\mathrm{I}),g\in G\}.$$
бо замкнутая $\ast$-алгебра. Пусть $P_w$-проектор на замкнутое ‘ подпространство ${\mathcal{H}}_w$, порождаемое векторами $\{(W,-I)\psi ;g\in G$; $\psi \in \mathcal{K}\}$. По теореме плотности фон Неймана ([17], п. 1.3.4), $P_w$ является максимальным проектором алгебры ${\mathcal{A}}_{\text{w }}$, и
$$(W_g-\mathrm{I})=P_W(W_g-I)=(W_g-I)P_W;g\in G.$$

Поэтому в соотношении (3.4) можно взять $\phi \in {\mathcal{K}}_w$. Каждому $\psi \in \mathcal{H}$ соответствует единственный $\phi \in {\mathcal{H}}_w$, поскольку из того, что $\phi \in {\mathcal{K}}_w$ и $(W,-I)\phi =0,g\in G$, следует $\phi =0$. Введем оператор $B:\psi \to \phi$, который удовлетворяет соотношению (3.3). Оператор $B$ всюду определен и замкнут и поэтому ограничен. Из (2.18), (2.9) следует, что для любого $g\in G$,
$$\begin{array}{c}(W_g-\mathrm{I})B{X}_{\psi }=B(g)X\psi =\pi [X]B(g)\psi =\\ =\pi [X](W_g-1)B\psi =(W_g-1)\pi [X]B\psi ,\end{array}$$

откуда $BX=P_w\pi [X]B$. Однако, поскольку $[\pi [X],W_g-I]\equiv 0$, то $P_{abla}\pi [X]=\pi [X]P_{\overline{w}}$, и мн получаем (3.2).
120

—————————————————————-
0013ru_fiz_kvan_book26_no_photo_page-0022.jpg.txt

Поскольку $B(g)=(W_g-\mathrm{I})B\in \mathbb{R},g\in G$, а $P_{\mathit{w}}$ является ультраслабым пределом линейных комбинаций операторов ( $W_z-I$ ), то $B=P_{\mathrm{w}}B\in \mathbb{R}$.

Лемма 6. Пусть функция $B(g),g\in G$, дается соотношением (3.3). Тогда единственное слабо непрерывное решение уравнения (2.20) имеет вид
$$z(g)=\mathrm{Im}{B}^{\ast }{W}_{g}B;g\in G.$$

Доказательство. То, что правая часть (3.5) удовлетворяет уравнению (2.20), проверяется непосредственно. Если $z^{\prime }(g)$ — другое решение, то $\delta (g)=z(g)-z^{\prime }(g)$ удовлетворяет уравнению
$$\delta (hg)-\delta (h)-\delta (g)=0;g,h\in G,$$
т. е. является непрерывным морфизмом группы $G$ в аддитивную группу 3 . Поскольку $G$ компактна, $\delta (g)\equiv 0$.

Доказательство теоремы 2. Подставляя (3.3), (3.5) в (2.21), получаем
$$\begin{array}{c}\mathcal{L}(g)[X]=(A+B{)}^{\ast }{W}_g\pi [X](A+B)+\\ +{(C-B^{\ast }A-\frac{1}{2}{B}^{\ast }B)}^{\ast }X+X(C-B^{\ast }A-\frac{1}{2}{B}^{\ast }B).\end{array}$$

Поскольку $A,B\in \mathfrak{M},B^{\ast }A$ и $B^{\ast }B$ принадлежат $\mathcal{A}$, и теорема доказана.