Из множества локально-выпуклых топологий, которые могут быть введены в пространстве $F$ ограниченных линейных отображений $\mathscr{A}$ в $\mathfrak{O}(\mathscr{\mathscr { C }})$, мы будем использовать следующие две топологии, определяемые семействами псевдонорм
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{T}_{1}: Ф \rightarrow|(\varphi \mid \Phi[X] \psi)| ; \quad \varphi, \psi \in \mathscr{H} ; \quad X \in \mathscr{A} \\
\mathscr{T}_{2}: Ф \rightarrow \sup _{\| X X_{\mid<1}}\|\Phi[X] \psi\| ; \psi \in \mathscr{\mathscr { C }},
\end{array}
\]

а также топологию, определяеиую нормой $\|\Phi\|=\sup _{\|X\|<1}\|\Phi[X]\|$. Согласно [28] в этих определениях можно ограничиться нормальными операторами $X$.

В дальнейшем $\mathscr{A}$-алгебра фон Неймана. Обозначим $\tilde{\delta}_{\sigma}\left(\tilde{\gamma}(\mathscr{A})_{\sigma}\right)$ пространство ультраслабо непрерывных отображений $\mathscr{A}$ в $\mathfrak{O}(\mathscr{H})$ (соответственно, в $\mathscr{A}$ ); $\mathfrak{F}_{0}$ является замкнутым в топологии нормы подпространством $\mathfrak{F}$ (соответственно, $\mathfrak{F}(\mathscr{A})$ 。 является замкнутой подалгеброй $\mathcal{F}(\mathscr{A})$, [22]). Далее $G$ является топологической группой.

Предложение 4. Пусть $\Phi(g), g \in G,-$ п. о. функция со значениями в $\mathcal{F}_{0}$, причем операторнозначная функция $\boldsymbol{\Phi}(g)[I]$, $g \in G$, слабо непрерывна при $g=e$. Тогда $\Phi(g) \quad \mathscr{T}_{2}$-непрерывна равномерно по $g \in G$. В частности, $\mathscr{T}_{1}$-непрерывность п. о. функции $\Phi(g)$ влечет $\mathscr{T}_{2}$-непрерывность. Более того, в предложении 2 представление $g \rightarrow V_{g}$ может быть выбрано непрерывным, а представление $X \rightarrow \rho[X]$ нормальным.
Доказательство. Из неравенства (2.8) следует, что
\[
\begin{array}{l}
\sup _{\|X\|<1}\|\Phi(g)[X]-\Phi(h)[X] \Psi\|^{2} \leqslant\|\Phi(e)[I]\| \times \\
\quad \times\left(\Psi \mid\left(2 \Phi(e)[\mathrm{I}]-\Phi\left(g^{-1} h\right)[\mathrm{I}]-\Phi\left(h^{-1} g\right)[\mathrm{I}]\right) \psi\right),
\end{array}
\]

откуда вытекает первое утверждение:
Рассмотрим представления $V$ и $\rho$, построенные при доказательстве предложения 2. Из (2.4), (2.2)
\[
\begin{array}{c}
\left(\left(g_{1} \otimes \varphi_{1} \otimes X_{1}\right), \quad \tilde{V}_{h}\left(g_{2} \otimes \varphi_{2} \otimes X_{2}\right)\right)= \\
=\left(\varphi_{1} \mid \Phi\left(g_{1}^{-1} h g_{2}\right)\left[X_{1}^{*} X_{2}\right] \varphi_{2}\right) .
\end{array}
\]

Правая часть является непрерывной функцией $h$. Стандартные рассуждения (см. например [19]) показывают, что каноническое продолжение соответствия $h \rightarrow \bar{V}_{h}$ является непрерывным представлением: Аналогнчно, из (2.5), (2.2)
\[
\begin{array}{c}
\left(\left(g_{1} \otimes \varphi_{1} \otimes X_{1}\right), \tilde{\pi}[Y]\left(g_{2} \otimes \varphi_{2} \otimes X_{2}\right)\right)= \\
=\left(\varphi_{1} \mid \Phi\left(g_{1}^{-1} g_{2}\right)\left[X_{1}^{*} Y X_{2}\right] \varphi_{3}\right),
\end{array}
\]

так что правая часть является ультраслабо непрерывным функиионалом от $\boldsymbol{X}$. Поэтому $\pi$ канонически продолжается до нормального представления $\pi$.

Предложение 5. Пусть $\mathscr{L}(g), g \in G,-\mathscr{T}_{1}$-непрерывная э. у.п.о. функция со значениями в $\mathcal{F}(\mathscr{A})_{\text {。. }}$. Тогда в теореме 1 представление $g \rightarrow W_{g}$ может быть выбрано непрерывным, представление $X \rightarrow \pi[X]$ нормальным, функция $B(g), g \in G$, сильно непрерывной, а $z(g), g \in G$, слабо непрерывной. Если, кроме того, группа $G$ локально компактна, а центр 3 чисто атомический, то функция $\mathscr{L}(g), g \in G$, является $\mathscr{T}_{2}$-непрерывной.

Доказательство. Непрерывность представлений $W$ и $\pi$ доказывается как в предложении 4. Из (2.19) $B(h g)-B(g)=$ $=\left(W_{h}-\mathrm{I}\right) B(g)+B(h)$, поэтому для доказательства сильной непрерывности функции $B(g)$ достаточно доказать, что $B(h) \rightarrow 0$ сильно при $h \rightarrow e$. Согласно (2.27), достаточно доказать аналогичное утверждение для $B_{0}(h)=\mathscr{g}(h)[1]$. Однако согласно (2.11)
\[
\|\mathscr{B}(h)[\mathrm{I}] \Psi\|^{2}=(\psi \mid D \mathscr{L}(h, h ; \mathrm{I}, \mathrm{I}) \Psi)
\]

что стремится к нулю при $g \rightarrow e$ в силу $\mathscr{T}_{1}$-непрерывности $\mathscr{L}(g)$. Тот факт, что $z(g)$ слабо непрерывна, вытекает из формулы (2.21), если положить $X=\mathrm{I}$.

Первые три слагаемых в формуле (2.21) $\mathscr{T}_{2}$-непрерывны. Первое слагаемое является п. о. функцией, и поэтому утверждение следует из предложения 4. Для второго слатаемого имеем в силу (2.18)
\[
\begin{array}{c}
\sup _{\|X\|<1}\left\|A^{*}(B(g)-B(h)) X \psi\right\|=\sup _{\|X\|<1}\left\|A^{*} \pi[X](B(g)-B(h)) \psi\right\| \leqslant \\
\leqslant\left\|A^{*}\right\| \cdot\|(B(g)-B(h)) \psi\| .
\end{array}
\]

Аналогичная оценка имеет место и для третьего слагаемого. Рассмотрим операторно-значную функцию
\[
l(\mathrm{~g})=-\frac{1}{2} B(g)^{*} B(g)+i z(g), g \in G .
\]

Эта функция принимает значения в центре 3 и слабо непрерывна. Если группа $G$ локально компактна, а алгебра 3 чисто атомическая, то слабая непрерывность функции со значениями в 3 влечет сильную непрерывность. В самом деле,
\[
l(g)=\sum_{\alpha} l_{\alpha}(g) P_{\alpha},
\]

где $l_{a}(g)$ непрерывные комплексные функции, $\left\{P_{a}\right\}$ – ортогональное разложение единицы, порождающее 3. По принципу равномерной ограниченности
\[
\sup _{g \in K} \sup _{a}\left|l_{a}(g)\right|=\sup _{g \in K}\|l(g)\| \equiv c_{K}<\infty
\]

для любого компакта $K$. Тогда
\[
\|(l(h)-l(g)) \psi\|^{2} \leqslant \sum_{\alpha}\left|l_{\alpha}(h)-l_{\alpha}(g)\right|^{2}\left\|P_{\alpha} \Psi\right\|^{2},
\]

где $\sum_{\alpha}\left\|P_{\alpha} \psi\right\|^{2}<\infty$ и $\left|l_{\alpha}(h)-l_{\alpha}(g)\right| \leqslant 2 c_{K}$ при $g, \quad h \in K$. Таким образом, $l(h) \rightarrow l(g)$ сильно при $h \rightarrow g$. Отсюда вытекает, что слагаемое $X l(g)$ в формуле (2.21) $\mathscr{T}_{2}$-непрерывно, и предложение доказано.

Теорема 2. Пусть $G$ – компактная группа, $\mathscr{L}(g), g \in G,-$ $\mathscr{g}_{1}$-непрерывная э. у. п. о. функция со значениями в $\mathfrak{f}(\mathscr{A})_{\text {。. }}$ Существует гильбертово пространство $\mathscr{K}$, оператор $A \in \mathscr{L}(\mathscr{\mathscr { G }}, \mathscr{H})$, непрерывное представление $g \rightarrow W$ группы $G$ в $\mathscr{H}$, нормальное представление $X \rightarrow \pi[\mathrm{X}]$ алгебры $\mathscr{A}$ в $\mathscr{K}$, удовлетворяющие соотношению (2.9) и оператор $C \in \mathscr{A}$, такие, что
\[
\mathscr{L}(g)[X]=A^{*} W_{g} \pi[X] A+C \cdot X+X C .
\]

В частности, $\mathscr{L}(g) \mathscr{T}_{2}$-непрерывна.
Лемма 5. Пус́ть $G$ – компактная группа и $B(g), g \in G$,сильно непрерывная функция со значениями в $\mathfrak{R}$, удовлетворяющая уравнению коцикла (2.19). Существует оператор $B \in \mathbb{R}$, такой, что
\[
\begin{array}{c}
B X=\pi[X] B ; \quad X \in \mathscr{A} \\
B(g)=(W,-1) B ; \quad g \in G .
\end{array}
\]

и

Доказательство. Для фиксированного $\downarrow \in \mathscr{H}$ функция $B(g) \psi, g \in G$, является коциклом представления $g \rightarrow W$, со значениями в $\mathscr{H}$. Согласно ([19], Арр. В), найдется $\varphi \in \mathcal{K}$, такой, что
\[
B(g) \psi=\left(W_{t}-\mathrm{I}\right) \varphi ; \quad g \in G .
\]

Рассмотрим множество
\[
\mathscr{A}_{w}=\operatorname{cl}\left\{\left(W_{z}-\mathrm{I}\right), \quad g \in G\right\} .
\]
бо замкнутая $*$-алгебра. Пусть $P_{w}$-проектор на замкнутое ‘ подпространство $\mathscr{H}_{w}$, порождаемое векторами $\{(W,-I) \psi ; g \in G$; $\psi \in \mathscr{K}\}$. По теореме плотности фон Неймана ([17], п. 1.3.4), $P_{w}$ является максимальным проектором алгебры $\mathscr{A}_{\text {w }}$, и
\[
\left(W_{g}-\mathrm{I}\right)=P_{W}\left(W_{g}-I\right)=\left(W_{g}-I\right) P_{W} ; g \in G .
\]

Поэтому в соотношении (3.4) можно взять $\varphi \in \mathscr{K}_{w}$. Каждому $\psi \in \mathscr{H}$ соответствует единственный $\varphi \in \mathscr{H}_{w}$, поскольку из того, что $\varphi \in \mathscr{K}_{w}$ и $(W,-I) \varphi=0, g \in G$, следует $\varphi=0$. Введем оператор $B: \psi \rightarrow \varphi$, который удовлетворяет соотношению (3.3). Оператор $B$ всюду определен и замкнут и поэтому ограничен. Из (2.18), (2.9) следует, что для любого $g \in G$,
\[
\begin{array}{c}
\left(W_{g}-\mathrm{I}\right) B X_{\psi}=B(g) X \psi=\pi[X] B(g) \psi= \\
=\pi[X]\left(W_{g}-1\right) B \psi=\left(W_{g}-1\right) \pi[X] B \psi,
\end{array}
\]

откуда $B X=P_{w} \pi[X] B$. Однако, поскольку $\left[\pi[X], W_{g}-I\right] \equiv 0$, то $P_{
abla} \pi[X]=\pi[X] P_{\bar{w}}$, и мн получаем (3.2).
120

—————————————————————-
0013ru_fiz_kvan_book26_no_photo_page-0022.jpg.txt

Поскольку $B(g)=\left(W_{g}-\mathrm{I}\right) B \in \mathbb{R}, g \in G$, а $P_{\boldsymbol{w}}$ является ультраслабым пределом линейных комбинаций операторов ( $W_{z}-I$ ), то $B=P_{\mathrm{w}} B \in \mathbb{R}$.

Лемма 6. Пусть функция $B(g), g \in G$, дается соотношением (3.3). Тогда единственное слабо непрерывное решение уравнения (2.20) имеет вид
\[
z(g)=\operatorname{Im} B^{*} W_{g} B ; \quad g \in G .
\]

Доказательство. То, что правая часть (3.5) удовлетворяет уравнению (2.20), проверяется непосредственно. Если $z^{\prime}(g)$ – другое решение, то $\delta(g)=z(g)-z^{\prime}(g)$ удовлетворяет уравнению
\[
\delta(h g)-\delta(h)-\delta(g)=0 ; \quad g, h \in G,
\]
т. е. является непрерывным морфизмом группы $G$ в аддитивную группу 3 . Поскольку $G$ компактна, $\delta(g) \equiv 0$.

Доказательство теоремы 2. Подставляя (3.3), (3.5) в (2.21), получаем
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{L}(g)[X]=(A+B)^{*} W_{g} \pi[X](A+B)+ \\
+\left(C-B^{*} A-\frac{1}{2} B^{*} B\right)^{*} X+X\left(C-B^{*} A-\frac{1}{2} B^{*} B\right) .
\end{array}
\]

Поскольку $A, B \in \mathfrak{M}, B^{*} A$ и $B^{*} B$ принадлежат $\mathscr{A}$, и теорема доказана.