Для любой комплексной непрерывной ограниченной функции $f(x), x \in \mathscr{Q}$, определен интеграл $\int_{\mathscr{X}} f(x) \mathscr{A}(d x) \in \mathscr{F}(\mathscr{A})_{\sigma}$ как $\mathscr{T}_{2^{-}}$ предел соответствующих интегральных сумм, причем
\[
\left\langle S, \int_{\mathscr{X}} f(x) \mathscr{A}(d x)[X]\right\rangle=\int_{\mathscr{L}} f(x) \underset{\mu_{S}, X}{\mathscr{N}}(d x),
\]

для любых SєS, $X \in X$. Если $f(x) \geqslant 0$, то отображение $\int_{X} f(x) \mathscr{M}(d x)$ положительно. Более того, имеет место следующее обобщение неравенства Шварца:
\[
\begin{array}{c}
\int f(x) \mathscr{M}(d x)[X]^{*} \int f(x) \mathscr{H}(d x)[X] \leqslant \\
\leqslant \int|f(x)|^{2} \mathscr{H}(d x)\left[X^{*} X\right]
\end{array}
\]

для любого нормального $X \in \mathscr{A}$. Из (2.2), в частности, вытекает, что

Пусть $\mathscr{X}$ – абелева локально компактная сепарабельная группа, $G=\dot{\mathscr{X}}$ – двойственная группа. Определим характеристическую функцию инструмента $\mathscr{A}$ с пространством исходов $\mathscr{H}$ формулой
\[
\Phi(g)=\int_{\mathscr{L}} g(x) \mathscr{M}(d x) ; g \in G .
\]

Если $\Phi_{1}(g), \ldots \Phi_{n}(g) ; g \in G$, -характеристические функции инструментов $\mathscr{\mathscr { I }}_{1}, \ldots, \mathscr{\mathscr { x }}_{n}$, то характеристическая функцля свертки $\underline{\mathscr{L}}_{1} * \ldots * \overline{\boldsymbol{A}}_{n}$ равна $\Phi_{1} \ldots \ldots \Phi_{n}(g)$.

Семейство инструментов $\left\{\mathscr{\mathscr { M }}_{t, s} ; t<s\right\}$, образует сверточную хемисруппу, если $\mathscr{A}_{t, s} * \mathscr{M}_{s, r} \equiv \mathscr{K}_{t, r}$ для всех $t<s<r$. Это отвечает равенству $\Phi_{t, s} \overline{(g)} \cdot \Phi_{s, r} \overline{(g)}=\Phi_{t, r}(g) ; \quad g \in G$, для соответствующих характеристических функций. Семейство инструментов $\left\{\mathscr{\mathscr { L }}_{t} ; 0<t\right\}$ образует сверточную полугруппу, если $\underline{\boldsymbol{x}}_{t} * \underline{\boldsymbol{N}}_{s}=$ $\underline{\boldsymbol{x}}_{t+s}$ для всех $0<t, s$. В терминах соответствующих характерисТических функций это означает, что
\[
\Phi_{t}(g) \cdot \Phi_{s}(g)=\Phi_{t+s}(g) ; g \in G ; t ; s \geqslant 0 .
\]
ие 7. Для того чтобы функция $Ф(g), g \in G$, со значениями в $\mathcal{F}(\mathscr{A})_{\sigma}$ была характеристической функцией в. п. инструмента, необходимо и достаточно выполнения условий:
1) $\Phi(0)[I]=I$;
2) $Ф(g)$ непрерывна (при $g=0$ ) в. любой из топологий $g_{1}, \mathscr{T}_{2}$
3) $\Phi(g)$ – положительно определенная функция.
Тот факт, что характеристическая функция в. п. инструмента является положительно определенной в смысле $§ 1.1$, играет центральную роль в дальнейшем изложении.

Доказательство предложения 7. Нео’бходимость. Пусть $\mathscr{A}$ в.п. инструмент и $\Phi(g)$ его характеристическая функция. Тогда 1) следует из того, что $\mathscr{A}(\mathscr{X})[\mathrm{I}]=\mathrm{I}$. Для доказательства положительной определенности (свойство 3)) заметим, что
\[
\begin{array}{c}
\left.\sum_{j, k} \psi_{j} \mid \Phi\left(g_{k}-g_{j}\right)\left[X_{j}^{*} X_{k}\right] \psi_{k}\right)= \\
=\int_{\mathscr{D}} \sum_{j, k} \overline{g_{j}(x)} g_{k}(x)\left(\psi_{j} \mid \mathscr{A}(d x)\left[X_{j}^{*} X_{k}\right] \psi_{k}\right) .
\end{array}
\]

Поскольку интеграл аппроксимируется суммами, достаточно доказать неотрицательность величин
\[
\sum_{j, k} \bar{c}_{j} c_{k}\left(\psi_{j} \mid \mathscr{A}(B)\left[X_{j}^{*} X_{k}\right] \psi_{k}\right) ; B \in \mathscr{B},
\]

где $\left\{c_{j}\right\} \subset \mathrm{C}$, а это вытекает из полной положнтельности отображений $\mathscr{M}(B) ; B \in \mathscr{B}$. Тепєрь свойство 2) следует из предложения 4 и того факта, что
\[
(\psi \mid \Phi(g)[I] \psi)=\int_{\mathscr{X}} g(x) \underset{s_{\dot{U}}, I}{\mathscr{X}}(d x) ; \psi \in \mathscr{\mathscr { E }},
\]

где в правой части стоит характеристическая функция распределения вероятностей на $\mathscr{Z}$.

Достаточность. Пусть $S$ – нормальное состояние и пусть $\langle S, \Phi(g)[X]\rangle ; g \in G$ непрерывна и положительно определена и поэтому является пресбразсванием Фурье положительной меры п $_{S, X}$ на $\mathscr{X}$, такой, что $\mu_{s, x}(\mathscr{X})=\langle S, \Phi(0)[X]\rangle$. При этом набор величин $\left\{\mu_{s, x}(B)\right\}$ удовлетворяет условиям предложения 6 и, следовательно, определяет инструмент $\boldsymbol{\mathscr { A }}$, такой, что $\mu_{S, X}(B) \equiv \mu_{S, X}^{\mathscr{M}}(B)$. Более того, инструмент $\mathscr{M}$ является вполне положительным. Это следует из того, что для любых наборов $\left\{\psi_{j}\right\} \subset \mathscr{B},\left\{X_{j}\right\} \subset \mathscr{A}$ мера $\mu(B)=\sum_{j, \mathbb{R}}\left(\psi_{j} \mid \mathscr{A}(B)\left[X_{j}^{*} X_{k}\right] \psi_{k}\right) ; \quad B \in \mathscr{B}$,

положительна, поскольку ее преобразование Фурье $\varphi(g)=$ $=\sum_{j, k}\left(\psi_{j} ! \Phi(g)\left[X_{j}^{*} X_{k}\right] \psi_{k}\right) ; g \in G$, является положительно определенной функцией.

Пусть $\mathscr{L}(g), g \in G$, э. у. п.о. функция со значениями в $\mathfrak{F}(\mathscr{A})_{\text {。. }}$. Если $\mathscr{L}(g) \quad \mathscr{T}_{2}$-непрерывна и удовлетворяет условию $\mathscr{L}(0)[1]=0$, т. е. нормирована, то мы назовем $\mathscr{L}(g)$ квазихарактеристической функцией (поскольку мы условились использовать аддитивные обозначения, то единичный элемент группы $G$ обозначается теперь через 0 ).

В следующей теореме мы для определенности рассматриваем случай $G=\mathscr{X}=\mathrm{R}^{s}$. При этом $\mathrm{g}=\left[g_{1}, \ldots, \mathrm{g}_{s}\right], x=\left[x^{1}, \ldots, x^{s}\right]$ и $g(x)=\exp i \sum_{j=1}^{s} g_{j} x^{j}$. Мы используем норму $|x|=\max _{1<j<s}\left|x^{j}\right|$ в Rs. Из следствия 3 вытекает оценка роств для произвольной квазихарактеристической функции $\mathscr{L}(g), g \in \mathrm{R}^{s}$ :
\[
\|\mathscr{L}(\mathrm{g})\| \leqslant 4 \sup _{|g|<1}\|\mathscr{L}(\mathrm{g})\| \cdot\left(1+|g|^{2}\right) .
\]

Теорема 3. Если $\mathscr{L}(g), g \in \mathbf{R}^{s}$, – квазихарактеристическая функция, то семейство инструментов $\left\{\mathscr{H}_{t} ; 0<t\right\}$ с характеристическими функциями
\[
\Phi_{t}(g)=\exp t \mathscr{L}(g)
\]

образует сверточную полугруппу в. п. инструментов, удовлетворяюшую условиям
\[
\begin{array}{c}
\lim _{t \rightarrow 0}\left\|\mathscr{M}_{t}\left(\mathrm{R}^{s}\right)-\mathrm{Id}\right\|=0 \\
\left\|\mathscr{M}_{t}(x:|x| \geqslant \lambda)\right\| \leqslant C t\left(1+\lambda^{-2}\right)
\end{array}
\]

для любых $t>0, \lambda>0$.
Обратно, если $\left\{\mathscr{\mathscr { M }}_{t} ; 0<t\right\}$-сверточная полугруппа в. п. инструментов, удовлетворяющая уусловию (2.8) и такая, что для вcex $\lambda>0$,
\[
\lim _{t \rightarrow 0}\left\|\mathscr{K}_{t}(x:|x| \geqslant \lambda)\right\|=0,
\]

то характеристическая функция $\mathscr{\mu}_{\boldsymbol{t}}$ имеет вид (2.7), где $\mathscr{L}(g)$ квазихарактеристическая функция.

Доказательство. Из следствия 1 вытекает, что $\Phi_{t}(g)$ п. о. функция; очевидно, что $\Phi_{t}(0)[1]=1$. Заметим теперь, что если $\Psi(g) \quad \mathscr{T}_{2}$-непрерывная функция, то по принципу равномерной ограниченности $\Psi(g)$ локально ограничена по норме:
\[
\sup _{\boldsymbol{z} \in \mathrm{K}}\|\Psi(g)\|<\infty
\]

для лючого компакта $K$. Отсіода выводится, что

\[
\exp \Psi(g) \equiv \sum_{n=0}^{\infty} \Psi(g)^{n} / n !
\]
– также $\mathscr{T}_{2}$-непрерывная функция. Таким образом, функция́ (2.7) удовлетворяет всем условиям предложения 7 и, следовательно, является характеристической функцией в. п. инструмента $\boldsymbol{x}_{t}$. Полугрупповое свойство семейства $\left\{\boldsymbol{x}_{t} ; 0<t\right\}$ следует из того, что $\Phi_{t}(g)$ удовлетворяюх условию (2.5). Свойство (2.8) следует нз того; что $\mathscr{x}_{t}(\mathscr{L})=e^{t \mathscr{L}}(0)$. Для доказательства (2.9) нам понадобится лемма, представляющая и самостоятельный интерес.

Лемма 8. Пусть $\boldsymbol{M}$ – инструмент с характеристической функцией $\Phi(g)$. Для любого $\lambda>0$
\[
\mathcal{X}(x:|x|>2 \lambda) \leqslant 2(\lambda / 2)^{s} \int_{-\lambda-1}^{\lambda-1} \ldots \int_{-\lambda-1}^{\lambda-1}[\Phi(0)-\Phi(g)] d g_{1} \ldots d g_{s}
\]

в том смысле, что разность правой и левой частей является положительным отображением.

Доказательство. Рассмотрим ограниченную непрерывную функцню
\[
f_{0}(x)=1-\prod_{j=1}^{s} \frac{\sin x^{j} \lambda_{-1}}{x^{\prime} \lambda^{-1}} .
\]

Поскольку . $\sin \left(x^{j} \lambda^{-1}\right) /\left(x^{j} \lambda^{-1}\right) \leqslant \min \left(1, \quad\left(x^{j} \lambda^{-1}\right)^{-1}\right)$, то $f_{0}(x) \geqslant 0$ для всех $x \in R^{s}$ и $f_{0}(x) \geqslant \frac{1}{2}$ при $|x| \geqslant 2 \lambda$. Из определения характеристической функции
\[
(\lambda / 2)^{s} \int_{-\lambda-1}^{\lambda-1} \ldots \int_{-\lambda-1}^{\lambda-1}[\Phi(0)-\Phi(g)] d g_{1} \ldots d g_{s}=
\]
\[
\begin{array}{l}
=\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int_{-\infty}^{\infty} f_{0}(x) \cdot\left(d x^{1} \ldots d x^{s}\right)=\int_{|x|<2 \lambda} \ldots f_{0}(x) \mathcal{x}\left(d x^{1} \ldots d x^{s}\right)+ \\
\quad+\int_{|x|>2 \lambda} \ldots \int\left(f_{0}(x)-\frac{1}{2}\right) \mathcal{C}\left(d x^{1} \ldots d x^{s}\right)+\frac{1}{2} \mathcal{C}(x:|x| \geqslant 2 \lambda) .
\end{array}
\]

Поскольку подынтегральные функции неотрицательны, первые два интеграла определяют положительные отображения, и лемма доказана. Подставляя в правую часть неравенства (2.11) тождество
\[
\Phi_{t}(0)-\Phi_{t}(g)=\int_{0}^{t} \Phi_{t-u}(0) \cdot[\mathscr{L}(0)-\mathscr{L}(g)] \cdot \Phi_{u}(g) d u
\]

и используя тот факт, что $\left\|\Phi_{u}(g)\right\| \leqslant 1$, получаем
\[
\left\|\boldsymbol{x}_{t}(x:|x| \geqslant \lambda)\right\| \leqslant
\]

\[
\leqslant t \cdot 2(\lambda / 4)^{s} \int_{-2 \lambda-1}^{2 \lambda-t} \cdots \int_{-2 \lambda^{-1}}^{2 \lambda-1}\|\mathscr{L}(0)-\mathscr{L}(g)\| d g_{1} \ldots d g_{s} .
\]

Подставляя в правую часть оценку (2.6), получаем (2.9).
Обратно, пусть $\left\{\mathscr{x}_{t} ; 0<t\right\}$ – сверточная полугруппа в. п. инструментов, удовлетворяющая условиям $(2.8),(2.9),\left\{\Phi_{t}(g)\right\} \rightarrow$ соответствующая полугруппа характеристических функций. Имеем
\[
\begin{array}{c}
\left\|\Phi_{t}(g)-\Phi_{t}(0)\right\| \leqslant\left\|\int_{|x|<\lambda}[g(x)-1] \mathscr{A}_{t}(d x)\right\|+ \\
+\left\|\int_{|x|>\lambda}[g(x)-1] \boldsymbol{x}_{t}(d x)\right\| .
\end{array}
\]

Используя неравенство (2.2), получаем
\[
\begin{array}{c}
\left\|\Phi_{t}(g)-\mathrm{Id}\right\| \leqslant \sup _{|x|<\lambda}|g(x)-1|+ \\
+\sqrt{2 \| \mathscr{A}_{t}(x:|x| \geqslant \lambda \|}+\left\|\mathscr{A}_{t}\left(\mathbf{R}^{s}\right)-\mathrm{ld}\right\| .
\end{array}
\]

Отсюда следует, что для любого компакта $K$
\[
\lim _{t \rightarrow 0} \sup _{g \in K}\left\|\Phi_{t}(g)-\mathrm{Id}\right\|=0 .
\]

В частности, для любого $g \in G$ семейство $\left\{\Phi_{t}(g) ; 0<t\right\}$ является непрерывной по норме полугруппой со значениями в $\mathfrak{F}(\mathscr{A})$ 。 и согласно общей теории полугрупп имеет вид $(2.7)$, где $\mathscr{L}(g)$ є $\in \mathcal{F}(\mathscr{A})_{\text {г. }}$. Из следствия 1 и предложения 7 вытекает, что $\mathscr{L}(g)-$ (нормированная) 9. у. п. о. функция. Остается доказать, что $\mathscr{L}(g) \quad \mathscr{T}_{2}$-непрерывна. Из $(2.12)$ следует, что $\mathscr{L}(g)$ локально ограничена по норме. В , самом деле, используя тождество
\[
\mathscr{D}(g) \cdot \int_{0}^{t} \Phi_{u}(g) d u=\Phi_{t}(g)-\mathrm{Id},
\]

получаем
\[
c_{K} \equiv \sup _{g \in K}\|\mathscr{L}(g)\| \leqslant \frac{\sup _{g \in}\left\|\Phi_{t}(g)-\mathrm{Id}\right\|}{1-\sup _{0<u<t} \sup _{g \in K}\left\|\Phi_{n}(g)-\mid \mathrm{d}\right\|}<\infty
\]

для достаточно малых $t$. Теперь, используя тождество
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{L}\left(g^{\prime}\right)-\mathscr{L}(g)=\left(\alpha \mathrm{Id}-\mathscr{L}\left(g^{\prime}\right)\right) \int_{0}^{\infty}\left[\Phi_{t}\left(g^{\prime}\right)-\Phi_{t}(g)\right] e^{-t a} d t \times \\
\times(\alpha \mathrm{Id}-\mathscr{L}(g)),
\end{array}
\]

которое имеет место при $\alpha>c_{K}$, если $g, g^{\prime} \in K$, получаем
\[
\left\|\left(\mathscr{L}\left(g^{\prime}\right)-\mathscr{L}(g)\right)[X] \psi\right\| \leqslant C \cdot \int_{0}^{\infty}\left\|\left(\Phi_{t}\left(g^{\prime}\right)-\dot{\Phi}_{i}(g)\right)\left[X^{\prime}\right] \psi\right\| e^{-t a} d t
\]

где $X^{\prime}=(\alpha \mathrm{Id}-\mathscr{L}(g))[X]$. Отсюда следует, что $\sup _{\|X\|} \| \mathscr{L}\left(g^{\prime}\right)-$ $-\mathscr{L}(g))[X] \psi \|_{i \rightarrow 0}$ прл $g^{\prime} \rightarrow g$ для любого $\psi \in \mathscr{C}$, и теорема доказана.