Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Для любой комплексной непрерывной ограниченной функции $f(x), x \in \mathscr{Q}$, определен интеграл $\int_{\mathscr{X}} f(x) \mathscr{A}(d x) \in \mathscr{F}(\mathscr{A})_{\sigma}$ как $\mathscr{T}_{2^{-}}$ предел соответствующих интегральных сумм, причем для любых SєS, $X \in X$. Если $f(x) \geqslant 0$, то отображение $\int_{X} f(x) \mathscr{M}(d x)$ положительно. Более того, имеет место следующее обобщение неравенства Шварца: для любого нормального $X \in \mathscr{A}$. Из (2.2), в частности, вытекает, что Пусть $\mathscr{X}$ — абелева локально компактная сепарабельная группа, $G=\dot{\mathscr{X}}$ — двойственная группа. Определим характеристическую функцию инструмента $\mathscr{A}$ с пространством исходов $\mathscr{H}$ формулой Если $\Phi_{1}(g), \ldots \Phi_{n}(g) ; g \in G$, -характеристические функции инструментов $\mathscr{\mathscr { I }}_{1}, \ldots, \mathscr{\mathscr { x }}_{n}$, то характеристическая функцля свертки $\underline{\mathscr{L}}_{1} * \ldots * \overline{\boldsymbol{A}}_{n}$ равна $\Phi_{1} \ldots \ldots \Phi_{n}(g)$. Семейство инструментов $\left\{\mathscr{\mathscr { M }}_{t, s} ; t<s\right\}$, образует сверточную хемисруппу, если $\mathscr{A}_{t, s} * \mathscr{M}_{s, r} \equiv \mathscr{K}_{t, r}$ для всех $t<s<r$. Это отвечает равенству $\Phi_{t, s} \overline{(g)} \cdot \Phi_{s, r} \overline{(g)}=\Phi_{t, r}(g) ; \quad g \in G$, для соответствующих характеристических функций. Семейство инструментов $\left\{\mathscr{\mathscr { L }}_{t} ; 0<t\right\}$ образует сверточную полугруппу, если $\underline{\boldsymbol{x}}_{t} * \underline{\boldsymbol{N}}_{s}=$ $\underline{\boldsymbol{x}}_{t+s}$ для всех $0<t, s$. В терминах соответствующих характерисТических функций это означает, что Доказательство предложения 7. Нео’бходимость. Пусть $\mathscr{A}$ в.п. инструмент и $\Phi(g)$ его характеристическая функция. Тогда 1) следует из того, что $\mathscr{A}(\mathscr{X})[\mathrm{I}]=\mathrm{I}$. Для доказательства положительной определенности (свойство 3)) заметим, что Поскольку интеграл аппроксимируется суммами, достаточно доказать неотрицательность величин где $\left\{c_{j}\right\} \subset \mathrm{C}$, а это вытекает из полной положнтельности отображений $\mathscr{M}(B) ; B \in \mathscr{B}$. Тепєрь свойство 2) следует из предложения 4 и того факта, что где в правой части стоит характеристическая функция распределения вероятностей на $\mathscr{Z}$. Достаточность. Пусть $S$ — нормальное состояние и пусть $\langle S, \Phi(g)[X]\rangle ; g \in G$ непрерывна и положительно определена и поэтому является пресбразсванием Фурье положительной меры п $_{S, X}$ на $\mathscr{X}$, такой, что $\mu_{s, x}(\mathscr{X})=\langle S, \Phi(0)[X]\rangle$. При этом набор величин $\left\{\mu_{s, x}(B)\right\}$ удовлетворяет условиям предложения 6 и, следовательно, определяет инструмент $\boldsymbol{\mathscr { A }}$, такой, что $\mu_{S, X}(B) \equiv \mu_{S, X}^{\mathscr{M}}(B)$. Более того, инструмент $\mathscr{M}$ является вполне положительным. Это следует из того, что для любых наборов $\left\{\psi_{j}\right\} \subset \mathscr{B},\left\{X_{j}\right\} \subset \mathscr{A}$ мера $\mu(B)=\sum_{j, \mathbb{R}}\left(\psi_{j} \mid \mathscr{A}(B)\left[X_{j}^{*} X_{k}\right] \psi_{k}\right) ; \quad B \in \mathscr{B}$, положительна, поскольку ее преобразование Фурье $\varphi(g)=$ $=\sum_{j, k}\left(\psi_{j} ! \Phi(g)\left[X_{j}^{*} X_{k}\right] \psi_{k}\right) ; g \in G$, является положительно определенной функцией. Пусть $\mathscr{L}(g), g \in G$, э. у. п.о. функция со значениями в $\mathfrak{F}(\mathscr{A})_{\text {。. }}$. Если $\mathscr{L}(g) \quad \mathscr{T}_{2}$-непрерывна и удовлетворяет условию $\mathscr{L}(0)[1]=0$, т. е. нормирована, то мы назовем $\mathscr{L}(g)$ квазихарактеристической функцией (поскольку мы условились использовать аддитивные обозначения, то единичный элемент группы $G$ обозначается теперь через 0 ). В следующей теореме мы для определенности рассматриваем случай $G=\mathscr{X}=\mathrm{R}^{s}$. При этом $\mathrm{g}=\left[g_{1}, \ldots, \mathrm{g}_{s}\right], x=\left[x^{1}, \ldots, x^{s}\right]$ и $g(x)=\exp i \sum_{j=1}^{s} g_{j} x^{j}$. Мы используем норму $|x|=\max _{1<j<s}\left|x^{j}\right|$ в Rs. Из следствия 3 вытекает оценка роств для произвольной квазихарактеристической функции $\mathscr{L}(g), g \in \mathrm{R}^{s}$ : Теорема 3. Если $\mathscr{L}(g), g \in \mathbf{R}^{s}$, — квазихарактеристическая функция, то семейство инструментов $\left\{\mathscr{H}_{t} ; 0<t\right\}$ с характеристическими функциями образует сверточную полугруппу в. п. инструментов, удовлетворяюшую условиям для любых $t>0, \lambda>0$. то характеристическая функция $\mathscr{\mu}_{\boldsymbol{t}}$ имеет вид (2.7), где $\mathscr{L}(g)$ квазихарактеристическая функция. Доказательство. Из следствия 1 вытекает, что $\Phi_{t}(g)$ п. о. функция; очевидно, что $\Phi_{t}(0)[1]=1$. Заметим теперь, что если $\Psi(g) \quad \mathscr{T}_{2}$-непрерывная функция, то по принципу равномерной ограниченности $\Psi(g)$ локально ограничена по норме: для лючого компакта $K$. Отсіода выводится, что \[ Лемма 8. Пусть $\boldsymbol{M}$ — инструмент с характеристической функцией $\Phi(g)$. Для любого $\lambda>0$ в том смысле, что разность правой и левой частей является положительным отображением. Доказательство. Рассмотрим ограниченную непрерывную функцню Поскольку . $\sin \left(x^{j} \lambda^{-1}\right) /\left(x^{j} \lambda^{-1}\right) \leqslant \min \left(1, \quad\left(x^{j} \lambda^{-1}\right)^{-1}\right)$, то $f_{0}(x) \geqslant 0$ для всех $x \in R^{s}$ и $f_{0}(x) \geqslant \frac{1}{2}$ при $|x| \geqslant 2 \lambda$. Из определения характеристической функции Поскольку подынтегральные функции неотрицательны, первые два интеграла определяют положительные отображения, и лемма доказана. Подставляя в правую часть неравенства (2.11) тождество и используя тот факт, что $\left\|\Phi_{u}(g)\right\| \leqslant 1$, получаем \[ Подставляя в правую часть оценку (2.6), получаем (2.9). Используя неравенство (2.2), получаем Отсюда следует, что для любого компакта $K$ В частности, для любого $g \in G$ семейство $\left\{\Phi_{t}(g) ; 0<t\right\}$ является непрерывной по норме полугруппой со значениями в $\mathfrak{F}(\mathscr{A})$ 。 и согласно общей теории полугрупп имеет вид $(2.7)$, где $\mathscr{L}(g)$ є $\in \mathcal{F}(\mathscr{A})_{\text {г. }}$. Из следствия 1 и предложения 7 вытекает, что $\mathscr{L}(g)-$ (нормированная) 9. у. п. о. функция. Остается доказать, что $\mathscr{L}(g) \quad \mathscr{T}_{2}$-непрерывна. Из $(2.12)$ следует, что $\mathscr{L}(g)$ локально ограничена по норме. В , самом деле, используя тождество получаем для достаточно малых $t$. Теперь, используя тождество которое имеет место при $\alpha>c_{K}$, если $g, g^{\prime} \in K$, получаем где $X^{\prime}=(\alpha \mathrm{Id}-\mathscr{L}(g))[X]$. Отсюда следует, что $\sup _{\|X\|} \| \mathscr{L}\left(g^{\prime}\right)-$ $-\mathscr{L}(g))[X] \psi \|_{i \rightarrow 0}$ прл $g^{\prime} \rightarrow g$ для любого $\psi \in \mathscr{C}$, и теорема доказана.
|
1 |
Оглавление
|