Предложение 2. Пусть $\mathrm{\Phi }(g),g\in G$, п. о. функция со значениями в $\mathcal{F}$. Тогда .существует гильбертово пространство $\mathcal{K}$, оператор $F\in \mathcal{F}(\mathcal{G},\mathcal{K})$, унитарное представление $g\to V_g$ группы $G$ в $\mathcal{H}$ и $\ast$-представление $X\to \rho [X]$ алгебры $\mathcal{A}$ в $\mathcal{H}$, такие, что $[V_g,\rho [X]]=0$ для всех $g\in G,X\in \mathcal{A}$ и
$$\mathrm{\Phi }(g)[X]=F^{\ast }{V}_g\rho [X]F;g\in G,X\in \mathcal{A}.$$

Обратно, всякая функция вида (2.1) является положительно определенной. Она нормирована в том и только в том случае, когда $F$ — изометрический оператор.

Это предложение является комбинацией представления Гельфанда — Райкова скалярных п.о. функций (см., например, [19]) и представления Стайнспринга вполне положительных отображений [18]. Доказательство достаточно стандартно, и мы дадим здесь лишь основные его элементы.

Доказательство. Пусть $\tilde{G}$ — формальная линейная оболочка множества $G$ и пусть $\tilde{\mathcal{K}}=\tilde{G}\otimes \mathcal{H}\otimes \mathcal{A}$ алгебранческое тензорное произведение, порождаемое элементами вида $g\otimes \phi \otimes X$, где $g\in G,\phi \in \mathcal{H},Xotin\mathcal{A}$. Определим псевдоскалярное произведение на $\mathcal{K}$, полагая
$$(g\otimes \phi \otimes X,h\otimes \psi \otimes Y)=(\phi \mid \mathrm{\Phi }\left(g^{-1}h\right)\left[X^{\ast }Y\right]\psi ).$$

Тогда $\mathcal{K}$ строится как пополнение фактор-пространства $\tilde{\mathcal{K}}$ по множеству элементов нулевой псевдонормы. Oператор $F$ опре: деляется обычным образом через оператор $\tilde{F}:\mathcal{H}\to \tilde{\mathcal{K}}$, задаваемый соотношением
$$\tilde{F}\phi =e\otimes \phi \otimes \mathrm{I};\phi \in \mathcal{H},$$

а представления $V,\rho$-как каноническме продолжения на $\mathcal{x}$ отображиий $\tilde{V},\tilde{\rho }$, задаваемых соотношениями
$$\begin{array}{c}{\tilde{V}}_h(g\otimes \phi \otimes X)=hg\otimes \phi \otimes X,\\ \tilde{\rho }[Y](g\otimes \phi \otimes X)=g\otimes \phi \otimes YX.\end{array}$$

Свойства $F,V,\rho$ и представление-(2.1) вытекают из определений $(2.2)-(2.5)$.
Обратное утверждение следует из того что
$$\mathrm{\Phi }\left(g^{-1}h\right)\left[X^{\ast }Y\right]={(\rho [X]V_{\mathrm{\Delta }}F)}^{\ast }\rho [Y]V_{h}F.$$

Из предложения 2 вытекают полезные неравенства для п. о. функций. Во-первых,
$$\begin{array}{c}\mathrm{\Phi }(g)[X{]}^{\ast }\mathrm{\Phi }(g)[X]⩽\Vert \mathrm{\Phi }(e)[\mathrm{I}]\cdot \mathrm{\Phi }(e)\left[X^{\ast }X\right]⩽\\ ⩽\Vert \mathrm{\Phi }(e)[\mathrm{I}]\Vert \cdot \Vert X{\Vert }^2\cdot \mathrm{\Phi }(e)[\mathrm{I}].\end{array}$$

В самом деле, для всех $\psi \in \mathcal{H}$,

$$\begin{array}{rl}\Vert \mathrm{\Phi }(g)[X]\mathrm{\Psi }{\Vert }^2& =(\psi \mid F^{\ast }\rho \left[X^{\ast }\right]V_g^{\ast }F{F}^{\ast }{V}_g\rho [X]F\mathrm{\Psi })⩽\\ & ⩽\Vert F{F}^{\ast }\Vert \cdot \Vert \rho [X]F\mathrm{\Psi }{\Vert }^2.\end{array}$$

Используя равенство $\Vert F{F}^{\ast }\Vert =\Vert F^{\ast }F\Vert =\Vert \mathrm{\Phi }(e)[1]\Vert$, получаем (2.6). Аналогично (2.6), получаем
$$\begin{array}{c}(\mathrm{\Phi }(g)[X]-\mathrm{\Phi }(h)[X]{)}^{\ast }(\mathrm{\Phi }.(g)[X]-\mathrm{\Phi }(h)[X])⩽\\ ⩽\Vert \mathrm{\Phi }(e)[\mathrm{I}]\Vert \cdot (2\mathrm{\Phi }(e)\left[X^{\ast }X\right]-\mathrm{\Phi }\left(g^{-1}h\right)\left[X^{\ast }X\right]-\mathrm{\Phi }\left(h^{-1}g\right)\left[X^{\ast }X\right])⩽\\ ⩽\Vert \mathrm{\Phi }(e)[\mathrm{I}]\Vert \cdot \Vert X{\Vert }^2\cdot (2\mathrm{\Phi }(e)[\mathrm{I}]-\mathrm{\Phi }\left(g^{-1}h\right)[\mathrm{I}]-\mathrm{\Phi }\left(h^{-1}g\right)[\mathrm{I}]),(2.8)\end{array}$$

для всех $g,h\in G,X\in \mathcal{4}$.
Следующее утверждение является аналогом леммы Шура о произведении скалярных п. о. функций.

Следствие 2. Если $\mathrm{\Phi }(g),\mathrm{\Psi }(g)$, п. о. функции со значениями в $\mathfrak{F}(\mathcal{A})$, то функция $\mathrm{\Phi }(g)\cdot \mathrm{\Psi }(g)$ является положительно определенной.

Доказательство. Фиксируем наборы $\left\{g_j\right\},\left\{{\psi }_j\right\},\left\{X_j\right\}$ и рассмотрим матрицу $B$ с элементами $\mathrm{\Psi }\left(g_j^{-1}{g}_k\right)\left[X_j^{\ast }{X}_k\right]\in \mathcal{A}$. Согласно предложению 2 ,
$$\mathrm{\Psi }\left(g_j^{-1}{g}_k\right)\left[X_j^{\ast }{X}_k\right]={\left(\rho \left[X_j\right]V_{g_j}F\right)}^{\ast }\left(\rho \left[X_k\right]V_{g_k}F\right),$$

так что матрица $B$ положительна: Поэтому $B=A^{\ast }A$, где $A-$ матрица с элементами $A_{jk}\in \mathcal{A}$. ‘В силу положительной определенности $Ф(g)$
$$\begin{array}{c}\sum _{j,k}({\psi }_j\mid \mathrm{\Phi }\left(g_j^{-1}{g}_k\right)\left[\mathrm{\Psi }\left(g_j^{-1}{g}_k\right)\left[X_j^{\ast }{X}_k\right]\right]{\psi }_k)=\\ =\sum _l\sum _{j,k}({\psi }_j\mid \mathrm{\Phi }\left(g_j^{-1}{g}_k\right)[A_j^{\ast },A_{ik}]{\psi }_k),\end{array}$$

и следствие доказано:
Нетрудно доказать, что для произвольного п. о. ядра $\mathrm{\Phi }(r,s)$ имеет место представление
$$\dot{\mathbf{\Phi }}(\mathit{r},s)[X]=F_r^{\ast }\rho [X]F_s;r,s\in S,X\in \mathcal{A},$$

где $F_r\in \mathcal{P}(\mathcal{H},\mathcal{K}),\rho$-представление $\mathcal{A}$ в $\mathcal{H}$. Используя это представление, можно обобщить доказанное выше следствие на п. о. ядра.

Предложение 3 . Пусть $\mathcal{L}(g);g\in G$, э. у. п. о. функция со значениями в $\mathfrak{F}$. Существуют гильбертово пространство $\mathcal{K}$, унитарное представление $g\to W_g$ группы $G$ в $\mathcal{K}$ и -представление $X\to \pi [X]$ алгебры $\mathcal{A}$ в $\mathcal{K}$, такие, что
$$[W_g,\pi [X]]=0;g\in G,X\in \mathcal{A},$$

и семейство ограниченных линейных отображений $\mathcal{B}(g);g\in G$, из $\mathcal{A}$ в $\mathfrak{Y}(\mathcal{H},\mathcal{K})$, удовлетворяющее соотношению

$$\mathcal{B}(hg)[YX]=W_h\pi [Y\mathcal{R}(g)[X]+\mathcal{B}(h)[Y]X$$
$g,h\in G;X,Y\in \mathcal{A}$,
и такое, что
$$D\mathcal{L}(g,h;X,Y)=\mathcal{B}(g)[X{]}^{\ast }\mathcal{B}(h)[Y];g,h\in G;X,Y\in \mathcal{A}.$$

Доказательство: Рассмотрим алгебранческое тензорное произведение $\tilde{\mathcal{K}}=\tilde{G}\otimes \mathcal{H}\otimes \mathcal{A}$ и зададим псевдоскалярное произведение на $\mathcal{K}$ соотношением
$$(g\otimes \phi \otimes X,h\otimes \psi \otimes Y)=(\phi \mid D\mathcal{L}(g,h;X,Y)\psi ).$$

Определим $\mathcal{H}$ как пополнение соответствующето фактор-пространства $\tilde{\mathcal{H}}$ по множеству элементов нулевой псевдонормы. Положим
$${\tilde{W}}_h(g\otimes \phi \otimes X)=hg\otimes \phi \otimes X-h\otimes X\phi \otimes I.$$

Прямой подсчет показывает, что ${\tilde{W}}_{h_1}{\tilde{W}}_{h_2}={\tilde{W}}_{h_1{h}_2};h_1,h_2\in G$. Используя (2.13), (2.12) и тождество
$$\begin{array}{c}D\mathcal{L}(hg,h{g}^{\prime };X,X^{\prime })-X^{\ast }D\mathcal{L}(h,h{g}^{\prime };\mathrm{I},X^{\prime })-\\ -D\mathcal{L}(hg,h;X,I)X^{\prime }+X^{\ast }D\mathcal{L}(h,h;\mathrm{I},\mathrm{I})X^{\prime }\equiv D\mathcal{L}(g,g^{\prime };X,X^{\prime }),\end{array}$$

получаем
$$({\tilde{W}}_h(g\otimes \phi \otimes X),{\tilde{W}}_h(g^{\prime }\otimes {\phi }^{\prime }\otimes X^{\prime }))=(g\otimes \phi \otimes X,g^{\prime }\otimes {\phi }^{\prime }\otimes X^{\prime }).$$

Пœтому $\tilde{W}$ канонически продолжается до унитарного представления $W$ группы $G$ в $\mathcal{K}$.
Положим
$$\tilde{\pi }[Y](g\otimes \phi \otimes X)=g\otimes \phi \otimes YX-e\otimes X\phi \otimes Y,$$

тогда $\tilde{\pi }\left[Y_1\right]\tilde{\pi }\left[Y_2\right]=\tilde{\pi }\left[Y_1{Y}_2\right]$. Испольуя (2.14), (2.12) и тождество
$$\begin{array}{c}D\mathcal{L}(\mathrm{g},{\mathrm{g}}^{\prime };X,Y{X}^{\prime })+X^{\ast }D\mathcal{L}(e,g^{\prime };Y^{\ast },X^{\prime })-\\ -D\mathcal{L}(\mathrm{g},{\mathrm{g}}^{\prime };Y^{\ast }X,X^{\prime })-D\mathcal{L}(\mathrm{g},e;X,Y)X^{\prime }\equiv 0,\end{array}$$

получаем
$$\tilde{\pi }[Y](\phi \otimes g\otimes X),({\phi }^{\prime }\otimes g^{\prime }\otimes X^{\prime }))=((\phi \otimes g\otimes X),\tilde{\pi }\left[Y^{\ast }\right]({\phi }^{\prime }\otimes g^{\prime }\otimes X^{\prime })).$$

Пютому $\tilde{\pi }$ каноиически продолжается до *-представления $\pi$
$$\begin{array}{c}{\tilde{W}}_h\tilde{\pi }[Y](g\otimes \phi \otimes X)=\tilde{\pi }[Y]{\tilde{W}}_h(g\otimes \phi \otimes X)=\\ =hg\otimes \phi \otimes YX-h\otimes X\phi \otimes Y,\end{array}$$

в частности, отсода вытекает (2.9).
Для любого $g\in G$ и $X\in \mathcal{A}$ определим отображение $\mathcal{B}(g)[X]\mathcal{E}$ ${ϵ}^{\mathfrak{B}}(\mathcal{H},\mathcal{K})$, полагая
$$(g)[X]\phi =g\otimes \phi \otimes X;\phi \in \mathcal{X}.$$

Соотношение (2.10) эквивалентно (2.15); соотношение следует из (2.12).

Следующее утверждение, которое будет существенно использовано в вероятностных приложениях, показывает, что всякая э.у.п.о. функция крастет не быстрее квадратичной».

Следствие 3. Пусть $\mathcal{L}(g),g\in G$, э. у. п. о. функция. Для любого $g\in G$ и $n=1,2,\dots$
$$\Vert \mathcal{L}\left(g^n\right)\Vert ⩽(\Vert \mathcal{L}(e)\Vert +\Vert \mathcal{L}(g)\Vert )n^2-\Vert \mathcal{L}(e)\Vert .$$

Доказательство. Из (2.10) следует, что $\Vert \mathcal{B}(gh)\Vert ⩽$ $⩽\Vert \mathcal{B}(g)\Vert +\Vert \mathcal{B}(h)\Vert$, откуда
$$\Vert \mathcal{B}\left(g^k\right)\Vert ⩽k\Vert \mathcal{B}(g)\Vert .$$

Полагая в (2.11) $g=h,X=Y$, и принимая во внимание, что $\Vert \mathcal{L}\left(g^{-1}\right)\Vert =\Vert \mathcal{L}(g)\Vert$, получаем
$$\Vert \mathcal{B}(g)[X]{\Vert }^2=\Vert D\mathcal{L}(g,g;X,X)\Vert ⩽2(\Vert \mathcal{L}(e)\Vert +\Vert \mathcal{L}(g)\Vert )\cdot \Vert X{\Vert }^2.$$

Следовательно,
$$\Vert \mathcal{B}(g)\Vert ⩽\sqrt{2(\Vert \mathcal{L}(e)\Vert +\Vert \mathcal{L}(g)\Vert )},g\in G.$$

Заменяя в (2.11) g на ${\mathrm{g}}^{-1}$, получаем
$$\begin{array}{c}\mathcal{L}(gh)\left[X^{\ast }Y\right]=\mathcal{B}\left(g^{-1}\right)[X{]}^{\ast }\mathcal{B}(h)[Y]-\\ -X^{\ast }\mathcal{L}(e)[I]Y+\mathcal{L}(g)\left[X^{\ast }\right]Y+X^{\ast }\mathcal{L}(h)[Y].\end{array}$$

Отсюда
$$\Vert \mathcal{L}(gh)\Vert ⩽{\Vert \mathcal{B}\left(g^{-1}\right)\Vert |}_i\mathcal{B}(h)\Vert +\Vert \mathcal{L}(e)\Vert +\Vert \mathcal{L}(g)\Vert +\Vert \mathcal{L}(h)\Vert .$$

Полагая здесь $h=g^k$, где $k⩾1$ и принимая во внимание (2.16), (2.17), имеем
$$\begin{array}{c}\Vert \mathcal{L}\left(g^{k+1}\right)\Vert ⩽2(\Vert \mathcal{L}(e)\Vert +\Vert \mathcal{L}(g)\Vert )\cdot k+\\ +(\Vert \mathcal{L}(e)\Vert +\Vert \mathcal{L}(g)\Vert )+\Vert \mathcal{L}\left(g^k\right)\Vert .\end{array}$$

Суммируя по $k$ от 1 до $n-1$ и производя сокращения, получаем доказыввемое неравенство.

Как обычно, ${\mathcal{A}}^{\prime }$ обозначает коммутант алгебры $\mathcal{A}$, а ${\mathcal{A}}^{\prime \prime }$ алгебру фон Неймана, порождаемую алгеброй $\mathcal{A}$.

Tеорема 1. Пусть $\mathcal{L}(g),g\in G,-$ э. у. п. о. функция со значениями в $\mathcal{F}(\mathcal{A})$. Тогда существуют:
a) гильбертово пространство $\mathcal{K}$, унитарное представление $g\to W_g$ группы $G$ в $\mathcal{K}$ и -представление $X\to \pi [X]$ алгебры $\mathcal{A}$ в $\mathcal{K}$, удовлетворяющее соотношению (2.9);
b) оператор $A\in \mathcal{F}(\mathcal{C},{\mathcal{K}}^P)$ и функция $B(g),g\in G$, со значениями в $\mathfrak{Y}(\mathcal{G},\mathcal{K})$, удовлетворяющая соотношению
$$B(g)X=\pi [X]B(g);g\in G,X\in \mathcal{A},$$

являющаяся коциклом представления $g\to W_g$ :
$$B(hg)=W_{h}B(g)+B(h);h,g\in G;$$

c) функция $z(g),g\in G$ со значениями в $3^h$, где $3=$ $={\mathcal{A}}^{\prime }\cap {\mathcal{A}}^{\prime \prime }$ — центр алгебры фон Неймана ${\mathcal{A}}^{\prime \prime }$, удовлетворяющая соотношенню
$$\cdot z(gh)-z(g)-z(h)=\mathrm{Im}B{\left(g^{-1}\right)}^{\ast }B(h);g,h\in G,$$

а также оператор $C\in \mathcal{A}{}^{\prime \prime }$, такие, что
$$\begin{array}{r}\mathcal{L}(g)[X]=A^{\ast }{W}_{g^{\pi }}[X]A+A^{\ast }B(g)X+XB{\left(g^{-1}\right)}^{\ast }A+\\ +X[-\frac{1}{2}B(g{)}^{\ast }B(g)+iz(g)]+C^{\ast }X+XC;g\in G,X\in \mathcal{A}.\end{array}$$

Для любого набора объектов, удовлетворяющего условиям а) -с), соотношение (2.21) задает э.у.п.о. функцию со значениями в $\mathfrak{F}$. Функция $\mathcal{L}(g)$ нормирована в том и только в том случае, когда
$$\mathrm{Re}C=-\frac{1}{2}{A}^{\ast }A.$$

Для скалярных э.у.п.о. функций представление сводится в существенном к выражению в квадратных скобках; соответствующий результат был получен Гишарде [19] (см. также Партасарати и Шмидт [25]). В случае $G=\{e\}$ теорема 1 и прецложение 2 дают общий вид вполне диссипативного отображения $\mathcal{L}\in \mathcal{F}(\mathcal{A}):$
$$\mathcal{L}[X]=\mathrm{\Phi }[X]+C^{\ast }X+XC,$$

где $C\in \mathcal{A}\text{»},\mathrm{\Phi }$ вполне положительное отображение из $\mathcal{A}$ в $\mathcal{A}\text{»}$ [15], [22].

Доказательство. Если $\mathcal{L}(g)$ определено соотношением $(2.21)$, ro
$$\begin{array}{c}D\mathcal{L}(g,h;X,Y)={(W_g\pi [X]A-AX+B(g)X)}^{\ast }.\\ (W_h\pi [Y]A-AY+B(h)Y),\end{array}$$

откуда следует обратное утверждение теоремы. Последнее утверждение следует из того, что $B(e)=0$ и $z(e)=0$.

Пусть теперь $\mathcal{L}(g)$ — э. у.п.о. функцня со значениями в $\mathcal{F}(\mathcal{A})$.
Пусть $\mathcal{K},W,\pi$ и $\mathcal{B}(g)[X]$ построены как в доказательстве предложения 3. Введем подпространство $\mathfrak{F}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ вида
$$\mathfrak{P}=\mathrm{cl}\{\mathcal{B}(g)[X]Y;g\in G;X,Y\in \mathcal{A}\},$$

где сl означает ультраслабое замыкание линейной оболочки множества $\mathrm{\Re }$. Заметим, что если $A_1,A_2\in \mathfrak{R}$, то $A_1{}^{\ast }{A}_2\in {\mathcal{A}}^{\prime \prime }$ в силу $(2.11)$

Лемма 1. Общее решение уравнения (2.10) дается формулой
$$\mathcal{B}(g)[X]=W_g\pi [X]A-AX+B(g)X,$$

где $A\in \mathbb{R}$, а $B(g),g\in G$, — функция со свойствами, описанными в п. b) теоремы 1, принимающая значения в $\mathfrak{R}$.

Доказательство. Разложим $\mathcal{B}(g)[X]$ по формуле
$$\mathcal{B}(g)[X]={\mathcal{B}}_0(g)[X]+V[X],$$

где $V[X]=\mathcal{B}(e)[X]$. Полагая $g=h=e$ в $(2.10)$, получаем
$$V[YX]=\pi [Y]V[X]+V[Y]X;X,Y\in \mathcal{A}.$$

Более того $V[X{]}^{\ast }V[Y]\in \mathcal{A}$, если $X,Y\in \mathcal{A}$, так как согласно (2.11) $V[X{]}^{\ast }V[Y]=D\mathcal{L}(e,e;X,Y)$. Из результата Кристенсена и Эванса ([15], теорема 2.1) следует, что найдется оператор $\text{Math input error}$ $\in \mathcal{H}(\mathcal{G},\mathcal{K})$, такой, что
$$V[X]=\pi [X]A-AX;X\in \mathcal{A}.$$

Более того, $A$ лежит в $\mathrm{cl}\{V[X]Y;X,Y\in \mathcal{A}\}\subset \mathfrak{M}$.
Для ${\mathcal{B}}_0(g)[X]$ получаем из $(2.10),(2.23)$
$$\begin{array}{rl}{\mathcal{B}}_0(hg)[YX]& =W_h\pi [Y]{\mathcal{B}}_0(g)[X]+{\mathcal{B}}_0(h)[Y]X+\\ & +(W_h-I)\pi [Y]V[X].\end{array}$$

Полагая $h=e,X=\mathrm{I}$ и принимая во внимание, что ${\mathcal{B}}_0(e)[X]\equiv$ $\equiv 0$, получаем
$${\mathcal{B}}_0(g)[Y]=\pi [Y]B_0(g),$$

где $B_0(g)={\mathcal{B}}_0(g)$ [I]. Полагая $X=Y=1$ в (2.25), и учитывая, что $V[I]=0$, мы видим, что $B_0(g)$ удовлетворяет уравнению (2.19). Подставляя (2.26) в (2.25) и полагая $Y=\mathrm{I}$, получаем $\pi [X]B_0(hg)=W_h\pi [X]B_0(g)+B_0(h)X+(W_h-I)V[X]$.

Принимая во внимание уравнение коцикла для $B_0(g)$, получаем
$$\pi [X]B_0(h)-B_0(h)X=(W_h-1)V[X].$$

Подставляя $V[X]$ из (2.24) и обозначая
$$B(h)=B_0(h)-(W_h-1)A,$$

мы видим, что $B(h)$ удовлетворяет условию (2.18); поскольку $(W_h-\mathrm{I})A$ является коциклом представления $h\to W_h$, то $B(h)$ удовлетворяет уравнению (2.19) вместе с $B_0(h)$.

Сопоставляя соотношения (2.23), (2.24), (2.26), (2.27), получаем нскомую формулу для $\mathcal{B}(g)[X]$. Поскольку $B_0(h)=$ $={\mathcal{B}}_0(g)[1]\in \mathfrak{M}$ и $W_{h}A\in \mathbb{M}$, в силу того, что $A\in \mathbb{M}$ и соотношения $(2.10)$, то $B(h)\in \mathbb{R}$.
Лемма 2. Для любых $g,h\in G$
$$B(g)\ast B(h)\in \text{ ? }$$

Доказательство. Из (2.18) получаем $B(g{)}^{\ast }B(h)X=$. $=B(g{)}^{\ast }\pi [X]\cdot B(h)=XB(g{)}^{\ast }B(h)$, так что $B(g)\ast B(h)\in {\mathcal{A}}^{\prime }$. Поскольку $B(g)\in \mathfrak{M}$ по лемме 1 , то $B(g{)}^{\ast }B(h){\mathcal{A}\mathcal{A}}^{\prime \prime }$. Таким образом, $B(g)$ *B $(h)\in {\mathcal{A}\mathcal{A}}^{\prime }\cap {\mathbb{A}}^{\prime \prime }$.

Из (2.11) и леммы 1 следует, что для $D\mathcal{L}(g,h;X,Y)$ имеет место соотношение (2.22). Рассмотрим эрмитову функцию
$\cdot 115$

—————————————————————-
0013ru_fiz_kvan_book26_no_photo_page-0017.jpg.txt

$$\begin{array}{c}{\mathcal{L}}_0(g)[X]=\mathcal{L}(g)[X]-A^{\ast }{W}_{\mathrm{g}}\pi [X]A-\\ -A^{\ast }B(g)X-XB{\left(g^{-1}\right)}^{\ast }A.\end{array}$$

Прямое, но достаточно громоздкое вычисление с использованием формул (2.18) и (2.19), а также леммы 2 показывает, что
$$D{\mathcal{L}}_0(g,h;X,Y)=X^{\ast }Y\cdot B(g{)}^{\ast }B(h).$$

Положим
$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }(g)=& {\mathcal{L}}_0(g)[\mathrm{I}]\equiv \mathcal{L}(g)[\mathrm{I}]-A^{\ast }{W}_{g}A-\\ & -A^{\ast }B(g)-B{\left(g^{-1}\right)}^{\ast }A.\end{array}$$

Лемма 3. Операторно-значная функцня $\mathrm{\Delta }(g),g\in G$, обладает свойствами:
1) $\mathrm{\Delta }(g{)}^{\prime }\in {\mathcal{A}}^{\prime \prime },g\in G$
2) $\mathrm{\Delta }\left(g^{-1}\right)=\mathrm{\Delta }(g{)}^{\ast },g\in G$
3) $\mathrm{\Delta }(gh)-\mathrm{\Delta }(g)-\mathrm{\Delta }(h)+\mathrm{\Delta }(e)=B\left(g^{-1}\right)\ast B(h)$, $g,h\in G$.
Доказательство: 1) Очевидно, $\mathcal{L}(g)[1]\in \mathcal{A}$; тот факт, что остальные слагаемые в (2.30) принадлежат ${\mathcal{A}}^{\prime \prime }$, следует из того, что $A,W_{g}A,B(g)\in \mathfrak{P}$. Свойство 2) вытекает из эрмитовости функции ${\mathcal{L}}_0(g)$; свойство 3 ) вытекает из (2.29), если положить $X=Y=\mathrm{I}$.

Пусть $\mathcal{Z}$ — условное ожидание из алгебры фон Неймана ${\mathcal{A}}^{\prime \prime }$ на ее центр 3 . Положим
$$z_0(g)=\mathcal{E}(\mathrm{Im}\mathrm{\Delta }(G))$$

и рассмотрим операторно-значную функцию
$$l_0(g)=-\frac{1}{2}\cdot B(g{)}^{\ast }B(g)+i{z}_0(g);g\in G.$$

Эта функция обладает следующими свойствами:
1) $l_0(g)\in B,\mathrm{g}\in G;l_0(e)=0$;
2) $l_0\left(g^{-1}\right)=l_0(g{)}^{\ast },g\in G$
3) $l_0(gh)-l_0(g)-l_0(h)=B{\left(g^{-1}\right)}^{\ast }B(h)$.

Первые два свойства следуют из соответствующих свойств $\mathrm{\Delta }(g)$ и соотношения $B\left(g^{-1}\right)=-W_g^{\ast }B(g)$, непосредственно вытекающего из уравнения коцнкла (2.19). Третье свойство проверяется прямыми вычислениями, использующими уравнение коцикла и свойство 3) функцин $\mathrm{\Delta }(g)$.
Из соотношения (2.29) тогда следует, что эрмитова функция
$$\begin{array}{c}\mathrm{\Lambda }(g)[X]={\mathcal{L}}_0(g)[X]-l_0(g)\cdot X=\\ =\mathcal{L}(g)[X]-A^{\ast }{W}_g\pi [X]A-A^{\ast }B(g)X-XB{\left(g^{-1}\right)}^{\ast }A-\\ -[-\frac{1}{2}B(g{)}^{\ast }B(g)+i{z}_0(g)]X,\end{array}$$

удовлетворяет уравнению
$$D\mathrm{\Lambda }(g,h;X,Y)=0;g,h\in G;X,Y\in \mathcal{A}.$$

Лемма 4. Пусть $\mathrm{\Lambda }(g),g\in G$ — эрмитова функция со значеннями в $\mathcal{f}$, такая, что $\mathrm{\Lambda }(g)[X]ϵ\mathcal{A}$ для всех $X\in \mathcal{A}$ и $g\in G$, в удовлетворяющая уравнению (2.33). Тогда
$$\mathrm{\Lambda }(g)[X]=C^{\ast }X+XC+i\lambda (g)X,$$

где $C\in \mathcal{A}\text{»}$, а $\lambda (g)$ — морфизм группы $G$ в аддитивную группу $3^h$.
Доказательство. Положим
$$\mathrm{\Lambda }(g)[X]=\mathrm{\Lambda }(e)[\mathrm{I}]\circ X+{\mathrm{\Lambda }}_0(g)[X].$$

Тогда (2.33) сводится к
$${\mathrm{\Lambda }}_0(gh)[XY]={\dot{\mathrm{\Lambda }}}_0(g)[X]Y+X{\mathrm{\Lambda }}_0(h)[Y].$$

Отсюда, в частности, следует, что ${\mathrm{\Lambda }}_0(e)$ является дифференцированием из $\mathcal{A}$ в ${\mathcal{A}}^{\prime \prime }$ и поэтому согласно ([15], следствие 2.3.), найдется $C_1\in \mathcal{A}{}^{\prime \prime }$, такой, что
$${\mathrm{\Lambda }}_0(e)[X]=C_{1}X-X{C}_1.$$

Из (2.35) получаем при $Y=\mathrm{I},g=e$ и при $V=\mathrm{I},h=e$, соответственно,
$$\begin{array}{c}{\mathrm{\Lambda }}_0(h)[X]={\mathrm{\Lambda }}_0(e)[X]+X{\mathrm{\Lambda }}_0(h)[I],\\ {\mathrm{\Lambda }}_0(g)[Y]={\mathrm{\Lambda }}_0(g)[I]Y+{\mathrm{\Lambda }}_0^{\prime }e)[Y].\end{array}$$

Отсюда видно, что ${\lambda }_0(g)={\mathrm{\Lambda }}_0(g)[\mathrm{I}]\in {\mathcal{A}}^{\prime }$, и следовательно $\text{Math input error}$ ЄЗ. Полагая в (2.36) $X=Y=I$, получаем, что ${\lambda }_0(g)$ является морфизмом $G$ в аддитивную группу 3 .
Из соотношений (2.37), (2.38) получаем
$${\mathrm{\Lambda }}_0(g)[X]=C_{1}X-X{C}_1+{\lambda }_0(g)X.$$

Воспользуемся теперь эрмитовостью; подставляя выражение (2.39) в условие ${\mathrm{\Lambda }}_0\left(g^{-1}\right)={\mathrm{\Lambda }}_0(g{)}^{\ast }$, после некоторых преобразований получаем
$[\mathrm{Re}{C}_1,X]=X\mathrm{Re}{\lambda }_0(g);X\in \mathcal{A}$.

Отсюда следует, что $\mathrm{Re}{\lambda }_0(g)=0$ и $\mathrm{Re}{C}_1\in \mathcal{A}$ \». Поэтому $C_1=$ $=\mathrm{Re}{C}_1+iH$, где $H{\mathcal{A}}^h$, и ${\lambda }_0(g)=i\lambda (g)$, где $\lambda (g)-$ морфизм $G$ в $3^h$. Подставляя это в (2.39) и (2.35) и полагая $C=$ $=\frac{1}{2}\mathrm{\Lambda }(e)[\mathrm{I}]-iH$, получаем (2.34).

Для завершения доказательства теоремы 1 заметим, что функция $\mathrm{\Lambda }(g)$, определенная соотношением (2.32), удовлетворяет всем условиям леммы 4 и поэтому представима в виде (2.34). Обозначая $z(g)=z_0(g)+\lambda (g)$, мы видим, что $z(g)$ удовлетворяет условиям, перечисленным в п. с). Теорема полностью доказана.