Предложение 2. Пусть $\Phi(g), g \in G$, п. о. функция со значениями в $\mathcal{F}$. Тогда .существует гильбертово пространство $\mathscr{K}$, оператор $F \in \mathscr{F}(\mathscr{G}, \mathscr{K})$, унитарное представление $g \rightarrow V_{g}$ группы $G$ в $\mathscr{H}$ и $*$-представление $X \rightarrow \rho[X]$ алгебры $\mathscr{A}$ в $\mathscr{H}$, такие, что $\left[V_{g}, \rho[X]\right]=0$ для всех $g \in G, X \in \mathscr{A}$ и
\[
\Phi(g)[X]=F^{*} V_{g} \rho[X] F ; \quad g \in G, \quad X \in \mathscr{A} .
\]

Обратно, всякая функция вида (2.1) является положительно определенной. Она нормирована в том и только в том случае, когда $F$ – изометрический оператор.

Это предложение является комбинацией представления Гельфанда – Райкова скалярных п.о. функций (см., например, [19]) и представления Стайнспринга вполне положительных отображений [18]. Доказательство достаточно стандартно, и мы дадим здесь лишь основные его элементы.

Доказательство. Пусть $\tilde{G}$ – формальная линейная оболочка множества $G$ и пусть $\tilde{\mathscr{K}}=\tilde{G} \otimes \mathscr{H} \otimes \mathscr{A}$ алгебранческое тензорное произведение, порождаемое элементами вида $g \otimes \varphi \otimes X$, где $g \in G, \varphi \in \mathscr{H}, X
otin \mathscr{A}$. Определим псевдоскалярное произведение на $\mathscr{K}$, полагая
\[
(g \otimes \varphi \otimes X, h \otimes \psi \otimes Y)=\left(\varphi \mid \Phi\left(g^{-1} h\right)\left[X^{*} Y\right] \psi\right) .
\]

Тогда $\mathscr{K}$ строится как пополнение фактор-пространства $\tilde{\mathscr{K}}$ по множеству элементов нулевой псевдонормы. Oператор $F$ опре: деляется обычным образом через оператор $\tilde{F}: \mathscr{H} \rightarrow \tilde{\mathscr{K}}$, задаваемый соотношением
\[
\tilde{F} \varphi=e \otimes \varphi \otimes \mathrm{I} ; \quad \varphi \in \mathscr{H},
\]

а представления $V, \rho$-как каноническме продолжения на $\mathscr{x}$ отображиий $\tilde{V}, \tilde{\rho}$, задаваемых соотношениями
\[
\begin{array}{c}
\tilde{V}_{h}(g \otimes \varphi \otimes X)=h g \otimes \varphi \otimes X, \\
\tilde{\rho}[Y](g \otimes \varphi \otimes X)=g \otimes \varphi \otimes Y X .
\end{array}
\]

Свойства $F, V, \rho$ и представление-(2.1) вытекают из определений $(2.2)-(2.5)$.
Обратное утверждение следует из того что
\[
\Phi\left(g^{-1} h\right)\left[X^{*} Y\right]=\left(\rho[X] V_{\Delta} F\right)^{*} \rho[Y] V_{h} F .
\]

Из предложения 2 вытекают полезные неравенства для п. о. функций. Во-первых,
\[
\begin{array}{c}
\Phi(g)[X]^{*} \Phi(g)[X] \leqslant \| \Phi(e)[\mathrm{I}] \cdot \Phi(e)\left[X^{*} X\right] \leqslant \\
\leqslant\|\Phi(e)[\mathrm{I}]\| \cdot\|X\|^{2} \cdot \Phi(e)[\mathrm{I}] .
\end{array}
\]

В самом деле, для всех $\psi \in \mathcal{H}$,

\[
\begin{aligned}
\|\Phi(g)[X] \Psi\|^{2} & =\left(\psi \mid F^{*} \rho\left[X^{*}\right] V_{g}^{*} F F^{*} V_{g} \rho[X] F \Psi\right) \leqslant \\
& \leqslant\left\|F F^{*}\right\| \cdot\|\rho[X] F \Psi\|^{2} .
\end{aligned}
\]

Используя равенство $\left\|F F^{*}\right\|=\left\|F^{*} F\right\|=\|\Phi(e)[1]\|$, получаем (2.6). Аналогично (2.6), получаем
\[
\begin{array}{c}
(\Phi(g)[X]-\Phi(h)[X])^{*}(\Phi .(g)[X]-\Phi(h)[X]) \leqslant \\
\leqslant\|\Phi(e)[\mathrm{I}]\| \cdot\left(2 \Phi(e)\left[X^{*} X\right]-\Phi\left(g^{-1} h\right)\left[X^{*} X\right]-\Phi\left(h^{-1} g\right)\left[X^{*} X\right]\right) \leqslant \\
\leqslant\|\Phi(e)[\mathrm{I}]\| \cdot\|X\|^{2} \cdot\left(2 \Phi(e)[\mathrm{I}]-\Phi\left(g^{-1} h\right)[\mathrm{I}]-\Phi\left(h^{-1} g\right)[\mathrm{I}]\right), \quad(2.8)
\end{array}
\]

для всех $g, h \in G, X \in \mathscr{4}$.
Следующее утверждение является аналогом леммы Шура о произведении скалярных п. о. функций.

Следствие 2. Если $\Phi(g), \Psi(g)$, п. о. функции со значениями в $\mathfrak{F}(\mathscr{A})$, то функция $\Phi(g) \cdot \Psi(g)$ является положительно определенной.

Доказательство. Фиксируем наборы $\left\{g_{j}\right\},\left\{\psi_{j}\right\},\left\{X_{j}\right\}$ и рассмотрим матрицу $B$ с элементами $\Psi\left(g_{j}^{-1} g_{k}\right)\left[X_{j}^{*} X_{k}\right] \in \mathscr{A}$. Согласно предложению 2 ,
\[
\Psi\left(g_{j}^{-1} g_{k}\right)\left[X_{j}^{*} X_{k}\right]=\left(\rho\left[X_{j}\right] V_{g_{j}} F\right)^{*}\left(\rho\left[X_{k}\right] V_{g_{k}} F\right),
\]

так что матрица $B$ положительна: Поэтому $B=A^{*} A$, где $A-$ матрица с элементами $A_{j k} \in \mathcal{A}$. ‘В силу положительной определенности $Ф(g)$
\[
\begin{array}{c}
\sum_{j, k}\left(\psi_{j} \mid \Phi\left(g_{j}^{-1} g_{k}\right)\left[\Psi\left(g_{j}^{-1} g_{k}\right)\left[X_{j}^{*} X_{k}\right]\right] \psi_{k}\right)= \\
=\sum_{l} \sum_{j, k}\left(\psi_{j} \mid \Phi\left(g_{j}^{-1} g_{k}\right)\left[A_{j}^{*}, A_{i k}\right] \psi_{k}\right),
\end{array}
\]

и следствие доказано:
Нетрудно доказать, что для произвольного п. о. ядра $\Phi(r, s)$ имеет место представление
\[
\dot{\boldsymbol{\Phi}}(\boldsymbol{r}, s)[X]=F_{r}^{*} \rho[X] F_{s} ; \quad r, s \in S, \quad X \in \mathscr{A},
\]

где $F_{r} \in \mathscr{P}(\mathscr{H}, \mathscr{K}), \rho$-представление $\mathscr{A}$ в $\mathscr{H}$. Используя это представление, можно обобщить доказанное выше следствие на п. о. ядра.

Предложение 3 . Пусть $\mathscr{L}(g) ; g \in G$, э. у. п. о. функция со значениями в $\mathfrak{F}$. Существуют гильбертово пространство $\mathscr{K}$, унитарное представление $g \rightarrow W_{g}$ группы $G$ в $\mathscr{K}$ и -представление $X \rightarrow \pi[X]$ алгебры $\mathscr{A}$ в $\mathscr{K}$, такие, что
\[
\left[W_{g}, \pi[X]\right]=0 ; g \in G, X \in \mathscr{A},
\]

и семейство ограниченных линейных отображений $\mathscr{B}(g) ; g \in G$, из $\mathscr{A}$ в $\mathfrak{Y}(\mathscr{H}, \mathscr{K})$, удовлетворяющее соотношению

\[
\mathscr{B}(h g)[Y X]=W_{h} \pi[Y \mathscr{R}(g)[X]+\mathscr{B}(h)[Y] X
\]
$g, h \in G ; X, Y \in \mathscr{A}$,
и такое, что
\[
D \mathscr{L}(g, h ; X, Y)=\mathscr{B}(g)[X]^{*} \mathscr{B}(h)[Y] ; g, h \in G ; X, Y \in \mathscr{A} .
\]

Доказательство: Рассмотрим алгебранческое тензорное произведение $\tilde{\mathscr{K}}=\tilde{G} \otimes \mathscr{H} \otimes \mathscr{A}$ и зададим псевдоскалярное произведение на $\mathscr{K}$ соотношением
\[
(g \otimes \varphi \otimes X, h \otimes \psi \otimes Y)=(\varphi \mid D \mathscr{L}(g, h ; X, Y) \psi) .
\]

Определим $\mathscr{H}$ как пополнение соответствующето фактор-пространства $\widetilde{\mathscr{H}}$ по множеству элементов нулевой псевдонормы. Положим
\[
\widetilde{W}_{h}(g \otimes \varphi \otimes X)=h g \otimes \varphi \otimes X-h \otimes X \varphi \otimes I .
\]

Прямой подсчет показывает, что $\widetilde{W}_{h_{1}} \widetilde{W}_{h_{2}}=\widetilde{W}_{h_{1} h_{2}} ; h_{1}, h_{2} \in G$. Используя (2.13), (2.12) и тождество
\[
\begin{array}{c}
D \mathscr{L}\left(h g, h g^{\prime} ; X, X^{\prime}\right)-X^{*} D \mathscr{L}\left(h, h g^{\prime} ; \mathrm{I}, X^{\prime}\right)- \\
-D \mathscr{L}(h g, h ; X, I) X^{\prime}+X^{*} D \mathscr{L}(h, h ; \mathrm{I}, \mathrm{I}) X^{\prime} \equiv D \mathscr{L}\left(g, g^{\prime} ; X, X^{\prime}\right),
\end{array}
\]

получаем
\[
\left(\widetilde{W}_{h}(g \otimes \varphi \otimes X), \widetilde{W}_{h}\left(g^{\prime} \otimes \varphi^{\prime} \otimes X^{\prime}\right)\right)=\left(g \otimes \varphi \otimes X, g^{\prime} \otimes \varphi^{\prime} \otimes X^{\prime}\right) .
\]

Пœтому $\widetilde{W}$ канонически продолжается до унитарного представления $W$ группы $G$ в $\mathscr{K}$.
Положим
\[
\tilde{\pi}[Y](g \otimes \varphi \otimes X)=g \otimes \varphi \otimes Y X-e \otimes X \varphi \otimes Y,
\]

тогда $\tilde{\pi}\left[Y_{1}\right] \tilde{\pi}\left[Y_{2}\right]=\tilde{\pi}\left[Y_{1} Y_{2}\right]$. Испольуя (2.14), (2.12) и тождество
\[
\begin{array}{c}
D \mathscr{L}\left(\mathrm{g}, \mathrm{g}^{\prime} ; X, Y X^{\prime}\right)+X^{*} D \mathscr{L}\left(e, g^{\prime} ; Y^{*}, X^{\prime}\right)- \\
-D \mathscr{L}\left(\mathrm{g}, \mathrm{g}^{\prime} ; Y^{*} X, X^{\prime}\right)-D \mathscr{L}(\mathrm{g}, e ; X, Y) X^{\prime} \equiv 0,
\end{array}
\]

получаем
\[
\left.\tilde{\pi}[Y](\varphi \otimes g \otimes X),\left(\varphi^{\prime} \otimes g^{\prime} \otimes X^{\prime}\right)\right)=\left((\varphi \otimes g \otimes X), \tilde{\pi}\left[Y^{*}\right]\left(\varphi^{\prime} \otimes g^{\prime} \otimes X^{\prime}\right)\right) .
\]

Пютому $\tilde{\pi}$ каноиически продолжается до *-представления $\pi$
\[
\begin{array}{c}
\widetilde{W}_{h} \tilde{\pi}[Y](g \otimes \varphi \otimes X)=\tilde{\pi}[Y] \widetilde{W}_{h}(g \otimes \varphi \otimes X)= \\
=h g \otimes \varphi \otimes Y X-h \otimes X \varphi \otimes Y,
\end{array}
\]

в частности, отсода вытекает (2.9).
Для любого $g \in G$ и $X \in \mathscr{A}$ определим отображение $\mathscr{B}(g)[X] \mathcal{E}$ $\epsilon^{\mathfrak{B}}(\mathscr{H}, \mathscr{K})$, полагая
\[
(g)[X] \varphi=g \otimes \varphi \otimes X ; \quad \varphi \in \mathcal{X} .
\]

Соотношение (2.10) эквивалентно (2.15); соотношение следует из (2.12).

Следующее утверждение, которое будет существенно использовано в вероятностных приложениях, показывает, что всякая э.у.п.о. функция крастет не быстрее квадратичной».

Следствие 3. Пусть $\mathscr{L}(g), g \in G$, э. у. п. о. функция. Для любого $g \in G$ и $n=1,2, \ldots$
\[
\left\|\mathscr{L}\left(g^{n}\right)\right\| \leqslant(\|\mathscr{L}(e)\|+\|\mathscr{L}(g)\|) n^{2}-\|\mathscr{L}(e)\| .
\]

Доказательство. Из (2.10) следует, что $\|\mathscr{B}(g h)\| \leqslant$ $\leqslant\|\mathscr{B}(g)\|+\|\mathscr{B}(h)\|$, откуда
\[
\left\|\mathscr{B}\left(g^{k}\right)\right\| \leqslant k\|\mathscr{B}(g)\| .
\]

Полагая в (2.11) $g=h, X=Y$, и принимая во внимание, что $\left\|\mathscr{L}\left(g^{-1}\right)\right\|=\|\mathscr{L}(g)\|$, получаем
\[
\|\mathscr{B}(g)[X]\|^{2}=\|D \mathscr{L}(g, g ; X, X)\| \leqslant 2(\|\mathscr{L}(e)\|+\|\mathscr{L}(g)\|) \cdot\|X\|^{2} .
\]

Следовательно,
\[
\|\mathscr{B}(g)\| \leqslant \sqrt{2(\|\mathscr{L}(e)\|+\|\mathscr{L}(g)\|)}, g \in G .
\]

Заменяя в (2.11) g на $\mathrm{g}^{-1}$, получаем
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{L}(g h)\left[X^{*} Y\right]=\mathscr{B}\left(g^{-1}\right)[X]^{*} \mathscr{B}(h)[Y]- \\
-X^{*} \mathscr{L}(e)[I] Y+\mathscr{L}(g)\left[X^{*}\right] Y+X^{*} \mathscr{L}(h)[Y] .
\end{array}
\]

Отсюда
\[
\|\mathscr{L}(g h)\| \leqslant\left.\left\|\mathscr{B}\left(g^{-1}\right)\right\|\right|_{i} \mathscr{B}(h)\|+\| \mathscr{L}(e)\|+\| \mathscr{L}(g)\|+\| \mathscr{L}(h) \| .
\]

Полагая здесь $h=g^{k}$, где $k \geqslant 1$ и принимая во внимание (2.16), (2.17), имеем
\[
\begin{array}{c}
\left\|\mathscr{L}\left(g^{k+1}\right)\right\| \leqslant 2(\|\mathscr{L}(e)\|+\|\mathscr{L}(g)\|) \cdot k+ \\
\quad+(\|\mathscr{L}(e)\|+\|\mathscr{L}(g)\|)+\left\|\mathscr{L}\left(g^{k}\right)\right\| .
\end{array}
\]

Суммируя по $k$ от 1 до $n-1$ и производя сокращения, получаем доказыввемое неравенство.

Как обычно, $\mathscr{A}^{\prime}$ обозначает коммутант алгебры $\mathscr{A}$, а $\mathscr{A}^{\prime \prime}$ алгебру фон Неймана, порождаемую алгеброй $\mathscr{A}$.

Tеорема 1. Пусть $\mathscr{L}(g), g \in G,-$ э. у. п. о. функция со значениями в $\mathcal{F}(\mathscr{A})$. Тогда существуют:
a) гильбертово пространство $\mathscr{K}$, унитарное представление $g \rightarrow W_{g}$ группы $G$ в $\mathscr{K}$ и -представление $X \rightarrow \pi[X]$ алгебры $\mathscr{A}$ в $\mathscr{K}$, удовлетворяющее соотношению (2.9);
b) оператор $A \in \mathscr{F}\left(\mathscr{C}, \mathscr{K}^{P}\right)$ и функция $B(g), g \in G$, со значениями в $\mathfrak{Y}(\mathscr{G}, \mathscr{K})$, удовлетворяющая соотношению
\[
B(g) X=\pi[X] B(g) ; g \in G, X \in \mathscr{A},
\]

являющаяся коциклом представления $g \rightarrow W_{g}$ :
\[
B(h g)=W_{h} B(g)+B(h) ; h, g \in G ;
\]

c) функция $z(g), g \in G$ со значениями в $3^{h}$, где $3=$ $=\mathscr{A}^{\prime} \cap \mathscr{A}^{\prime \prime}$ – центр алгебры фон Неймана $\mathscr{A}^{\prime \prime}$, удовлетворяющая соотношенню
\[
\cdot z(g h)-z(g)-z(h)=\operatorname{Im} B\left(g^{-1}\right)^{*} B(h) ; g, h \in G,
\]

а также оператор $C \in \mathscr{A}{ }^{\prime \prime}$, такие, что
\[
\begin{array}{r}
\mathscr{L}(g)[X]=A^{*} W_{g^{\pi}}[X] A+A^{*} B(g) X+X B\left(g^{-1}\right)^{*} A+ \\
+X\left[-\frac{1}{2} B(g)^{*} B(g)+i z(g)\right]+C^{*} X+X C ; g \in G, X \in \mathcal{A} .
\end{array}
\]

Для любого набора объектов, удовлетворяющего условиям а) -с), соотношение (2.21) задает э.у.п.о. функцию со значениями в $\mathfrak{F}$. Функция $\mathscr{L}(g)$ нормирована в том и только в том случае, когда
\[
\operatorname{Re} C=-\frac{1}{2} A^{*} A .
\]

Для скалярных э.у.п.о. функций представление сводится в существенном к выражению в квадратных скобках; соответствующий результат был получен Гишарде [19] (см. также Партасарати и Шмидт [25]). В случае $G=\{e\}$ теорема 1 и прецложение 2 дают общий вид вполне диссипативного отображения $\mathscr{L} \in \mathcal{F}(\mathscr{A}):$
\[
\mathscr{L}[X]=\Phi[X]+C^{*} X+X C,
\]

где $C \in \mathcal{A} \”, \Phi$ вполне положительное отображение из $\mathscr{A}$ в $\mathscr{A} \”$ [15], [22].

Доказательство. Если $\mathscr{L}(g)$ определено соотношением $(2.21)$, ro
\[
\begin{array}{c}
D \mathscr{L}(g, h ; X, Y)=\left(W_{g} \pi[X] A-A X+B(g) X\right)^{*} . \\
\left(W_{h} \pi[Y] A-A Y+B(h) Y\right),
\end{array}
\]

откуда следует обратное утверждение теоремы. Последнее утверждение следует из того, что $B(e)=0$ и $z(e)=0$.

Пусть теперь $\mathscr{L}(g)$ – э. у.п.о. функцня со значениями в $\mathcal{F}(\mathscr{A})$.
Пусть $\mathscr{K}, W, \pi$ и $\mathscr{B}(g)[X]$ построены как в доказательстве предложения 3. Введем подпространство $\mathfrak{F}(\mathscr{H}, \mathscr{K})$ вида
\[
\mathfrak{P}=\operatorname{cl}\{\mathscr{B}(g)[X] Y ; g \in G ; X, Y \in \mathscr{A}\},
\]

где сl означает ультраслабое замыкание линейной оболочки множества $\Re$. Заметим, что если $A_{1}, A_{2} \in \mathfrak{R}$, то $A_{1}{ }^{*} A_{2} \in \mathscr{A}^{\prime \prime}$ в силу $(2.11)$

Лемма 1. Общее решение уравнения (2.10) дается формулой
\[
\mathscr{B}(g)[X]=W_{g} \pi[X] A-A X+B(g) X,
\]

где $A \in \mathbb{R}$, а $B(g), g \in G$, – функция со свойствами, описанными в п. b) теоремы 1, принимающая значения в $\mathfrak{R}$.

Доказательство. Разложим $\mathscr{B}(g)[X]$ по формуле
\[
\mathscr{B}(g)[X]=\mathscr{B}_{0}(g)[X]+V[X],
\]

где $V[X]=\mathscr{B}(e)[X]$. Полагая $g=h=e$ в $(2.10)$, получаем
\[
V[Y X]=\pi[Y] V[X]+V[Y] X ; X, Y \in \mathscr{A} .
\]

Более того $V[X]^{*} V[Y] \in \mathscr{A}$, если $X, Y \in \mathscr{A}$, так как согласно (2.11) $V[X]^{*} V[Y]=D \mathscr{L}(e, e ; X, Y)$. Из результата Кристенсена и Эванса ([15], теорема 2.1) следует, что найдется оператор $A €$ $\in \mathscr{H}(\mathscr{G}, \mathscr{K})$, такой, что
\[
V[X]=\pi[X] A-A X ; X \in \mathscr{A} .
\]

Более того, $A$ лежит в $\operatorname{cl}\{V[X] Y ; X, Y \in \mathscr{A}\} \subset \mathfrak{M}$.
Для $\mathscr{B}_{0}(g)[X]$ получаем из $(2.10),(2.23)$
\[
\begin{aligned}
\mathscr{B}_{0}(h g)[Y X] & =W_{h} \pi[Y] \mathscr{B}_{0}(g)[X]+\mathscr{B}_{0}(h)[Y] X+ \\
& +\left(W_{h}-I\right) \pi[Y] V[X] .
\end{aligned}
\]

Полагая $h=e, X=\mathrm{I}$ и принимая во внимание, что $\mathscr{B}_{0}(e)[X] \equiv$ $\equiv 0$, получаем
\[
\mathscr{B}_{0}(g)[Y]=\pi[Y] B_{0}(g),
\]

где $B_{0}(g)=\mathscr{B}_{0}(g)$ [I]. Полагая $X=Y=1$ в (2.25), и учитывая, что $V[I]=0$, мы видим, что $B_{0}(g)$ удовлетворяет уравнению (2.19). Подставляя (2.26) в (2.25) и полагая $Y=\mathrm{I}$, получаем $\pi[X] B_{0}(h g)=W_{h} \pi[X] B_{0}(g)+B_{0}(h) X+\left(W_{h}-I\right) V[X]$.

Принимая во внимание уравнение коцикла для $B_{0}(g)$, получаем
\[
\pi[X] B_{0}(h)-B_{0}(h) X=\left(W_{h}-1\right) V[X] .
\]

Подставляя $V[X]$ из (2.24) и обозначая
\[
B(h)=B_{0}(h)-\left(W_{h}-1\right) A,
\]

мы видим, что $B(h)$ удовлетворяет условию (2.18); поскольку $\left(W_{h}-\mathrm{I}\right) A$ является коциклом представления $h \rightarrow W_{h}$, то $B(h)$ удовлетворяет уравнению (2.19) вместе с $B_{0}(h)$.

Сопоставляя соотношения (2.23), (2.24), (2.26), (2.27), получаем нскомую формулу для $\mathscr{B}(g)[X]$. Поскольку $B_{0}(h)=$ $=\mathscr{B}_{0}(g)[1] \in \mathfrak{M}$ и $W_{h} A \in \mathbb{M}$, в силу того, что $A \in \mathbb{M}$ и соотношения $(2.10)$, то $B(h) \in \mathbb{R}$.
Лемма 2. Для любых $g, h \in G$
\[
B(g) * B(h) \in \text { ? }
\]

Доказательство. Из (2.18) получаем $B(g)^{*} B(h) X=$. $=B(g)^{*} \pi[X] \cdot B(h)=X B(g)^{*} B(h)$, так что $B(g) * B(h) \in \mathscr{A}^{\prime}$. Поскольку $B(g) \in \mathfrak{M}$ по лемме 1 , то $B(g)^{*} B(h) \mathscr{A A}^{\prime \prime}$. Таким образом, $B(g)$ *B $(h) \in \mathscr{A A}^{\prime} \cap \mathbb{A}^{\prime \prime}$.

Из (2.11) и леммы 1 следует, что для $D \mathscr{L}(g, h ; X, Y)$ имеет место соотношение (2.22). Рассмотрим эрмитову функцию
$\cdot 115$

—————————————————————-
0013ru_fiz_kvan_book26_no_photo_page-0017.jpg.txt

\[
\begin{array}{c}
\mathscr{L}_{0}(g)[X]=\mathscr{L}(g)[X]-A^{*} W_{\mathrm{g}} \pi[X] A- \\
-A^{*} B(g) X-X B\left(g^{-1}\right)^{*} A .
\end{array}
\]

Прямое, но достаточно громоздкое вычисление с использованием формул (2.18) и (2.19), а также леммы 2 показывает, что
\[
D \mathscr{L}_{0}(g, h ; X, Y)=X^{*} Y \cdot B(g)^{*} B(h) .
\]

Положим
\[
\begin{aligned}
\Delta(g)= & \mathscr{L}_{0}(g)[\mathrm{I}] \equiv \mathscr{L}(g)[\mathrm{I}]-A^{*} W_{g} A- \\
& -A^{*} B(g)-B\left(g^{-1}\right)^{*} A .
\end{aligned}
\]

Лемма 3. Операторно-значная функцня $\Delta(g), g \in G$, обладает свойствами:
1) $\Delta(g)^{\prime} \in \mathscr{A}^{\prime \prime}, g \in G$
2) $\Delta\left(g^{-1}\right)=\Delta(g)^{*}, g \in G$
3) $\Delta(g h)-\Delta(g)-\Delta(h)+\Delta(e)=B\left(g^{-1}\right) * B(h)$, $g, h \in G$.
Доказательство: 1) Очевидно, $\mathscr{L}(g)[1] \in \mathscr{A}$; тот факт, что остальные слагаемые в (2.30) принадлежат $\mathscr{A}^{\prime \prime}$, следует из того, что $A, W_{g} A, B(g) \in \mathfrak{P}$. Свойство 2) вытекает из эрмитовости функции $\mathscr{L}_{0}(g)$; свойство 3 ) вытекает из (2.29), если положить $X=Y=\mathrm{I}$.

Пусть $\mathscr{Z}$ – условное ожидание из алгебры фон Неймана $\mathscr{A}^{\prime \prime}$ на ее центр 3 . Положим
\[
z_{0}(g)=\mathscr{E}(\operatorname{Im} \Delta(G))
\]

и рассмотрим операторно-значную функцию
\[
l_{0}(g)=-\frac{1}{2} \cdot B(g)^{*} B(g)+i z_{0}(g) ; g \in G .
\]

Эта функция обладает следующими свойствами:
1) $l_{0}(g) \in B, \mathrm{~g} \in G ; l_{0}(e)=0$;
2) $l_{0}\left(g^{-1}\right)=l_{0}(g)^{*}, g \in G$
3) $l_{0}(g h)-l_{0}(g)-l_{0}(h)=B\left(g^{-1}\right)^{*} B(h)$.

Первые два свойства следуют из соответствующих свойств $\Delta(g)$ и соотношения $B\left(g^{-1}\right)=-W_{g}^{*} B(g)$, непосредственно вытекающего из уравнения коцнкла (2.19). Третье свойство проверяется прямыми вычислениями, использующими уравнение коцикла и свойство 3) функцин $\Delta(g)$.
Из соотношения (2.29) тогда следует, что эрмитова функция
\[
\begin{array}{c}
\Lambda(g)[X]=\mathscr{L}_{0}(g)[X]-l_{0}(g) \cdot X= \\
=\mathscr{L}(g)[X]-A^{*} W_{g} \pi[X] A-A^{*} B(g) X-X B\left(g^{-1}\right)^{*} A- \\
-\left[-\frac{1}{2} B(g)^{*} B(g)+i z_{0}(g)\right] X,
\end{array}
\]

удовлетворяет уравнению
\[
D \Lambda(g, h ; X, Y)=0 ; g, h \in G ; X, Y \in \mathcal{A} .
\]

Лемма 4. Пусть $\Lambda(g), g \in G$ – эрмитова функция со значеннями в $\mathcal{f}$, такая, что $\Lambda(g)[X] \epsilon \mathscr{A}$ для всех $X \in \mathscr{A}$ и $g \in G$, в удовлетворяющая уравнению (2.33). Тогда
\[
\Lambda(g)[X]=C^{*} X+X C+i \lambda(g) X,
\]

где $C \in \mathcal{A} \”$, а $\lambda(g)$ – морфизм группы $G$ в аддитивную группу $3^{h}$.
Доказательство. Положим
\[
\Lambda(g)[X]=\Lambda(e)[\mathrm{I}] \circ X+\Lambda_{0}(g)[X] .
\]

Тогда (2.33) сводится к
\[
\Lambda_{0}(g h)[X Y]=\dot{\Lambda}_{0}(g)[X] Y+X \Lambda_{0}(h)[Y] .
\]

Отсюда, в частности, следует, что $\Lambda_{0}(e)$ является дифференцированием из $\mathscr{A}$ в $\mathscr{A}^{\prime \prime}$ и поэтому согласно ([15], следствие 2.3.), найдется $C_{1} \in \mathcal{A}{ }^{\prime \prime}$, такой, что
\[
\Lambda_{0}(e)[X]=C_{1} X-X C_{1} .
\]

Из (2.35) получаем при $Y=\mathrm{I}, g=e$ и при $V=\mathrm{I}, h=e$, соответственно,
\[
\begin{array}{c}
\Lambda_{0}(h)[X]=\Lambda_{0}(e)[X]+X \Lambda_{0}(h)[I], \\
\left.\Lambda_{0}(g)[Y]=\Lambda_{0}(g)[I] Y+\Lambda_{0}^{\prime} e\right)[Y] .
\end{array}
\]

Отсюда видно, что $\lambda_{0}(g)=\Lambda_{0}(g)[\mathrm{I}] \in \mathscr{A}^{\prime}$, и следовательно $\lambda_{0}(g) €$ ЄЗ. Полагая в (2.36) $X=Y=I$, получаем, что $\lambda_{0}(g)$ является морфизмом $G$ в аддитивную группу 3 .
Из соотношений (2.37), (2.38) получаем
\[
\Lambda_{0}(g)[X]=C_{1} X-X C_{1}+\lambda_{0}(g) X .
\]

Воспользуемся теперь эрмитовостью; подставляя выражение (2.39) в условие $\Lambda_{0}\left(g^{-1}\right)=\Lambda_{0}(g)^{*}$, после некоторых преобразований получаем
$\left[\operatorname{Re} C_{1}, X\right]=X \operatorname{Re} \lambda_{0}(g) ; X \in \mathscr{A}$.

Отсюда следует, что $\operatorname{Re} \lambda_{0}(g)=0$ и $\operatorname{Re} C_{1} \in \mathscr{A}$ \”. Поэтому $C_{1}=$ $=\operatorname{Re} C_{1}+i H$, где $H \mathscr{A}^{h}$, и $\lambda_{0}(g)=i \lambda(g)$, где $\lambda(g)-$ морфизм $G$ в $3^{h}$. Подставляя это в (2.39) и (2.35) и полагая $C=$ $=\frac{1}{2} \Lambda(e)[\mathrm{I}]-i H$, получаем (2.34).

Для завершения доказательства теоремы 1 заметим, что функция $\Lambda(g)$, определенная соотношением (2.32), удовлетворяет всем условиям леммы 4 и поэтому представима в виде (2.34). Обозначая $z(g)=z_{0}(g)+\lambda(g)$, мы видим, что $z(g)$ удовлетворяет условиям, перечисленным в п. с). Теорема полностью доказана.