Пусть $\mathbf{R}$ – временная ось, $\mathscr{y}$ – пространство всех функций на $\mathbf{R}$ со значениями в $\mathbf{R}^{s}, \mathscr{\theta}_{a, b}-\sigma$-алгебра подмножеств $\boldsymbol{q}$, порожденная приращениями $y(s)-y(t) ; a \leqslant t \leqslant s \leqslant b$. Следующее определение мотивировано определением процесса непрерывного квантового измерения из [11], однако использует значительно более узкое пространство траекторий; фактически мы показываем, что для описания траекторий непрерывного измерения достаточно рассматривать (обобщенные) производные функций без разрывов второго рода. Кнструментальным процессом с независимыми приращениями (и. н. п. процессом) мы называем семейство $\left\{\mathscr{N}_{a, b} ; a<b, a, b \in \mathbf{R}\right\}$, где $\mathscr{P}_{a, b}$ – инструмент с пространством исходов ( $\mathcal{Y}, \mathscr{B}_{a, b}$ ), причем
\[
\mathscr{P}_{a, b}(E) \cdot \mathscr{P}_{b, c}(F)=\mathscr{N}_{a, c}(E \cap F) ;
\]

если $a<b<c$ и $E \in \mathscr{B}_{a, b}, F \in \mathscr{B}_{b, c}$.
В следующем параграфе будет показано, что и. н. п. процессы возникают как пределы последовательных измерений и в этом смысле описывают процессы непрерывного измерения. Исходом такого процесоа на отрезке времени $[a, b]$ является траектория $y(t) ; t \in[a, b]$. И. н. п. процесс определяет распределение вероятностей на соответствующем множестве траекторнй
\[
\mu_{S, \mathrm{I}}(B)=\left\langle S, \mathcal{N}_{a, b}(B)\{\mathrm{I}\}\right\rangle ; B \in \mathscr{B}_{a, b} .
\]

С физической точки зрения нсходом процесса непрерывного измерения естественнее считать производную $y^{\prime}(t)$, однако возникающие распределения вероятностей сосредоточены на множествах функций, недифференцируемых в обычном смысле.

Определим для каждой пары $a, b \in \mathbf{R}, a<b$, инструмент с пространством исходов $\mathbf{R}^{\mathbf{s}}$ соотношением
\[
\mathscr{I}_{a, b}(B)=\dot{\mathscr{N}}_{a, b}(y(\cdot): y(b)-y(a) \in B) ; B \in \mathscr{B}\left(\mathbf{R}^{s}\right) .
\]

Из (4.1) вытекает, что семейство $\left\{\boldsymbol{x}_{a, b} ; a<b\right\}$ образует сверточную хемигруппу инструментов. Рассмотрим цилиндрнческие подмножества of вида
\[
E=\left\{y(\cdot): y\left(\tau_{1}\right)-y\left(\tau_{0}\right) \in B_{1}, \ldots, y\left(\tau_{p}\right)-y\left(\tau_{p-1}\right) \in B_{p}\right\},
\]

где $\tau_{0}<\tau_{1}<\ldots<\tau_{p} ; B_{1}, \ldots, B_{p} \in \mathscr{B}\left(\mathbf{R}^{s}\right)$. Конечномерными распределениями и. н. п. процесса $\left\{\mathscr{P}_{a, b}\right\}$ будем называть наборы отображений
\[
\boldsymbol{x}_{\tau_{0}, \tau_{1}, \ldots, \tau_{p}}\left(B_{1}, \ldots, B_{p}\right)=\mathcal{N}_{\tau_{0,} \tau_{p}}(E),
\]

для всевозможных $p ; \tau_{0}, \ldots, \tau_{p} ; B_{1}, \ldots, B_{p}$. В силу (4.1),
\[
\boldsymbol{x}_{\tau_{0}, \tau_{1}, \ldots, \tau_{p}}\left(B_{1}, \ldots, B_{p}\right)=\boldsymbol{x}_{\tau_{0}, \tau_{1}}\left(B_{1}\right) \cdot \ldots \cdot \boldsymbol{x}_{\tau_{p-1}, \tau_{p}}\left(B_{p}\right) .
\]

Предложение 10. Пусть $\left\{\boldsymbol{A}_{a, b}\right\}$ – произвстьная сверточная хемигрупла инструментов с пространством исходов $\mathbf{R}^{s}$. Тогда существует и.н.п. процесс $\left\{\mathcal{N}_{a, b}\right\}$, конетномерные распрелеления которого даются соотюшением (4.5).

Доказательство. Фиксируем $a<b$ и обозначим через $\mathscr{g}_{a, b}^{0}$ булеву полуалгебру цилиндрических подмножеств $\mathcal{y}$ вила (4.3), где $\tau_{0}=a, \tau_{p}=b$. Соотношения (4.5), (4.4) задают аддитивную функцию множеств $\left\{\mathcal{A}_{a, b}\left(E_{j}\right)\right\}$ на $\mathscr{D}_{a, b}^{0}$ со значениями в $\mathscr{f}(\mathscr{A})_{\sigma}$. При этом выполняется соотношение $(4.1)$ для $E \in \mathscr{B}_{a, b}^{0}$, $F \in \mathscr{B}_{b, \epsilon^{*}}^{0}$ Для лобых фиксированных $S \in \subseteq$ и $X \in \mathbb{X}$ функция мнохеств
\[
\mu_{S, X}(E)=\left\langle S, \mathscr{N}_{a, b}(E)[X]\right\rangle ; E \in \mathscr{B}_{a, b}^{0},
\]

является положительной мерой на $\mathscr{B}_{a, b}^{0}$ и по теореме Колмогорова продолжается на $\sigma$-алгебру $\mathscr{B}_{a, b}$. Оствется сослаться на принцип продолжения из $\S 1$.
И.н. п. процесс $\left\{\mathscr{P}_{a, b}\right\}$ называется вполне положительным, если каждый инструмент $\mathscr{N}_{a, b}$ вполне положителен. Если процесс вполне положнтелен, то соответствующая хемигруппа вполне положительна и обратно. И.н.п. процесс $\left\{\mathcal{P}_{a, b}\right\}$ называется однородным, если
\[
\mathscr{N}_{a+\tau, b+\tau}(E)=\mathscr{A}_{a, b}\left(T_{\tau}^{-1}(E)\right) ; \quad E \in \mathscr{B}_{a+\tau, b+\tau}
\]

для всех $a, b, \tau \in \mathbf{R}$, тде $(T, y)(t)=y(t+\tau)$. Если процесс однороден, то соответствующая хемигруппа сводится к полугруппе $\left\{\boldsymbol{\mu}_{t} ; 0<t\right\}$. Если процесс $\left\{\mathscr{\mathcal { P }}_{a, b}\right\}$ однороден, вполне положителен и удовлетворяет следующим условиям непрерывности
\[
\begin{array}{c}
\lim _{t \rightarrow 0}\left\|\mathscr{N}_{a, a+t}(y)-\mathrm{ld}\right\|=0 \\
\lim _{t \rightarrow 0}\left\|\mathscr{N}_{a, a+t}(y(\cdot):|y(a+t)-y(a)| \geqslant \lambda)\right\|=0,
\end{array}
\]

для всех $\lambda>0$, то согласно теореме 3 , полугруппа $\left\{\boldsymbol{\mu}_{t}\right\}$ имеет характеристнческие функции вида $\Phi_{t}(g)=\exp t \overline{\mathscr{L}}(g)$, где $\mathscr{\mathscr { L }}(g)$ – квазихарактеристическая функция. При этом конечномерные распределения (4.5) пмеют совместные характеристические функцни вида
\[
\begin{array}{c}
\Phi_{\tau_{0}, \tau_{1}, \ldots, \tau_{p}}\left(g_{1}, \ldots, g_{\rho}\right)= \\
=\exp \left(\tau_{1}-\tau_{0}\right) \mathscr{L}\left(g_{1}\right) \cdot \ldots \cdot \exp \left(\tau_{p}-\tau_{p-1}\right) \mathscr{L}\left(g_{p-1}\right) ; \\
g_{1}, \ldots, g_{p} \in R^{s} .
\end{array}
\]

Функция $\mathscr{L}(g)$ называется генератором процесса $\left\{\mathcal{P}_{a, b}\right\}$.
Пусть $\overline{\mathcal{y}} \subset \mathcal{Q}$ – некоторое подпространство функций на $\mathbf{R}$ со значениями в $\mathbf{R}^{8}$. И.н.п. с траекториями в $\tilde{\mathcal{Y}}$ определяется как выше, с тем отличием, что вместо б-алгебры $\mathscr{B}_{a, b}$ рассматривается следовая $\sigma$-алгебра $\tilde{\mathscr{T}}_{a, b}=\mathscr{S}_{a, b} \cap \mathscr{\mathcal { Y }}$. Через $\mathscr{D}$ будем обозначать пространство функция на $\mathbf{R}$ со значениями в $\mathbf{R}^{\prime}$, непрерывных справа и имеющих пределы слева в каждой точке.

Предложение 11. Пусть $\mathscr{L}(g)$ – квазихарактеристичееская функция. Существует однородный вполне положительныи и. н. п. процесс с траекториями в $\mathscr{D}$, генератором которого является функция $\mathscr{L}(g)$.

Доказательство. Обозначим через $\tilde{\mathscr{B}}_{a, b}^{0}$ булеву полуялгебру цилиндрических подмножеств $\mathscr{D}$ вида (4.3). Рассуждая как в предложении 10 , определим функцию множеств $\left\{\tilde{\mathcal{F}}_{a, b}(E) ; E \in \tilde{\mathscr{B}}_{a, b}^{0}\right\}$, исходя из формул (4.4)-(4.6). Для любого $E \mathcal{N}_{a, b}(E)$ является вполне положительным отображением из $\delta(\mathscr{A}$ ). При этом выполняются свойства кнезависимости приращений (4.1) и однородности. Согласно принципу продолжения, для завершения доказательства достаточно доказать, что для любых фиксиро-
\[
\tilde{\mu}_{s, X}(E)=\left\langle S, \tilde{\mathcal{N}}_{a, b}(E)[X]\right\rangle ; E \tilde{\mathscr{F}}_{a, b}^{0},
\]

б-аддитивна на $\tilde{\boldsymbol{J}}_{a, b}^{0}$ и, таким образом, продопжается на о-алгебру $\tilde{\mathscr{F}}_{a, b}$ борелевских подмножеств $\mathscr{D}$. Для этого достаточно установить, что $\tilde{\mu}_{s, x}$ удовлетворяет одному из известных критернев существования случайного элемента в $\mathscr{D}$ с заданными конечномерными распределениями. Мы покажем, что для любого $\lambda>0$
\[
\lim _{h \downarrow 0} \tilde{\mu}_{s, x}(y(\cdot):|y(t+h)-y(t)|>\lambda)=0 ; a \leqslant t<t+h \leqslant b,
\]
и
\[
\begin{array}{l}
\tilde{\mu}_{s, x}\left(y(\cdot):\left|y(t)-y\left(t_{1}\right)\right|>\lambda,\left|y\left(t_{2}\right)-y(t)\right|>\lambda\right) \leqslant \\
\leqslant C\left(1+\lambda^{-2}\right)^{2}\left(t-t_{1}\right)\left(t_{2}-t\right) ; \quad a \leqslant t_{1}<t<t_{2} \leqslant b .
\end{array}
\]

Тем самым выполняются условня модификации критерия Скорохода, принадлежащей Биллингсли ([1], с. 185).

В самом деле; сопоставляя (4.1), (4.2) и (4.7), имеем
\[
\begin{array}{c}
\tilde{\mu}_{s, x}(y(\cdot):|y(t+h)-y(t)| \geqslant \lambda)= \\
=\left\langle S, \boldsymbol{\mu}_{t-a}\left(\mathbf{R}^{s}\right)\left[\boldsymbol{\mu}_{h}(x:|x| \geqslant \lambda)\left[\boldsymbol{A}_{b-t-h}\left(\mathbf{R}^{s}\right)[X]\right]\right] \leqslant\right. \\
\leqslant\left\|\boldsymbol{\mu}_{h}(x:|x| \geqslant \lambda)\right\| .
\end{array}
\]

Используя (2.9), получаем (4.8). Аналогично
\[
\begin{array}{c}
\tilde{\mu}_{s, X}\left(y(\cdot):\left|y(t)-y\left(t_{1}\right)\right| \geqslant \lambda,\left|y\left(t_{2}\right)-y\left(t_{1}\right)\right| \geqslant \lambda\right) \Rightarrow \\
=\left\langle\mathcal{S}, \mathscr{M}_{t_{1}-a}\left(\mathbf{R}^{s}\right)\left[\mathscr { A } _ { t – t _ { 1 } } ( x _ { 1 } : | x _ { 1 } | \geqslant \lambda ) \left[\mathscr{K}_{t_{2}-t}\left(x_{2}:\left|x_{2}\right| \geqslant \lambda\right) \times\right.\right.\right. \\
\left.\times\left[\mathscr{K}_{b-t_{2}}\left(\mathbf{R}^{s}\right)[X] \mid\right]\right\rangle \leqslant\left\|\mathscr{H}_{t-t_{1}}\left(x_{1}:\left|x_{1}\right| \geqslant \lambda\right)\right\| \times \\
\times\left\|\mathscr{K}_{t_{2}-t_{1}}\left(x_{2}:\left|x_{2}^{\prime}\right| \geqslant \lambda\right)\right\| .
\end{array}
\]

Подставляя (2.9), получаем (4.9).
Пример 4. Пусть $\left\{\mathscr{P}(B) ; B \in \mathscr{B}\left(\mathbf{R}^{s} \backslash 0\right)\right\}$ – функция множеств, удовлетворяющая определению в. п. инструмента с пространством исходов $\mathbf{R}^{s} \backslash 0$, за исключением условия нормировки 2). Таким образом, $C=\mathscr{P}\left(\mathbf{R}^{s} \backslash 0\right)[I]$ – произвольный положительный оператор из $\mathscr{A}$. Соотношение
\[
\mathscr{L}(g)[X]=\int_{\mathbf{R}^{s} \backslash 0} g(x) \mathscr{P}\left(d x^{2} \ldots d x^{s}\right)[X]-C \circ X ; \quad g \in \mathrm{R}^{s},
\]

определяет непрерывную функцию, которая является нормированной э. у. п.о. функцией в силу § 1.1. Соответствующая сверточная полугруппа дается формулой

где $\mathscr{L}_{0}[X]=-C_{\circ} X$, и ряд сходится по норме. Для доказательства найдем преобразование Фурье $\Phi_{t}(g)=\int g(x) \mathscr{x}_{t}(d x)$. Обозначим $\mathscr{L}_{1}(g)=\int_{R^{s} \backslash 0} g(x) \mathscr{P}(d x)$ и используя (4.11), находим
\[
\begin{array}{l}
\therefore \mathscr{L}_{1}(g) e^{\left(t-t_{m}\right) \mathscr{L}_{0}} d t_{1} \ldots d t_{m} \text {. } \\
\end{array}
\]

По формуле Дайсона ([16], с. 9) это равно $\exp t\left(\mathscr{L}_{0}+\mathscr{L}_{1}(g)\right)=$ $=\exp t \mathscr{L}(g)$, что и доказывает утверждение.

Из формулы (4.11) вытекает, что однородный и.н.п. процесс $\left\{\mathcal{N}_{a, b}\right\}$ с генератором $\mathscr{L}(g)$ имеет кусочно-постоянные траектории; пусть, например, $\boldsymbol{B}$ – множество траекторий в $\mathscr{D}$, которые имеют ровно $m$ скачков на отрезке $[a ; b]$, причем $j$-й скачок происходит на отрезке $\Delta_{j} \subset[a, b]$ и имеет величину $x_{j} \in B_{j}$, где $B_{j} \in \mathscr{B}\left(\mathbf{R}^{8}\right)$. Тогда в предположении, что отрезки $\Delta_{1}, \Delta_{2}, \ldots$ следуют один за другим, не пересекаясь,
\[
\begin{array}{c}
\mathcal{A}_{a, b}(B)=\int_{\Delta_{1}} \ldots \int_{\Delta_{m}} e^{\left(t_{t}-a\right) \mathscr{L} \cdot \mathscr{P}}\left(B_{1}\right) e^{\left(t_{2}-t_{1}\right) \mathscr{L}} \ldots \\
\ldots \mathscr{P}\left(B_{m}\right) e^{\left(b-t_{m}\right) \mathscr{L}_{0}} d t_{1} \ldots d t_{m} .
\end{array}
\]

Пронесс $\left\{\mathcal{P}_{a, b}\right\}$, таким образом, тесно связан с (точечным) квантовым случайным процессом в смысле Дэвиса [16], являясь соответствующим процессом приращений.