Используя результаты предыдущих параграфов, найдем общий вид $\mathscr{T}_{1}$-непрерывной э. у. п. о. функции со значениями в $\mathcal{F}(\mathfrak{Y}(\mathscr{H}))_{\text {。 }}$. Поскольку $\beta=\{\mathbf{C I}\}$, то, как следует из доказательства предложения $5, \mathscr{T}_{1}$-непрерывность в этом случае эквивалентна $\mathscr{g}_{2}$-непрерывности.

Всякое нормальное представление алгебры $\mathscr{P}(\mathscr{H})$ с точностью до унитарной эквивалентности кратно тождественному, поэтому можно считать, что в теореме 1
\[
\mathscr{K}=\mathscr{H} \otimes \mathscr{H}_{0}, \quad \pi[X]=X \otimes \mathrm{I}_{0},
\]

где $\mathscr{H}_{0}$ — некоторое гильбертово пространство, $I_{0}$ — единичный оператор в $\mathscr{H}_{0}$. Из (2.9) тогда вытекает, что
\[
W_{g}=I \otimes W_{g}^{0},
\]

где $g \rightarrow W_{g}^{0}$ — непрерывное унитарноје представление $G$ в $\mathscr{H}_{0}$. Из (2.18) следует, что
\[
B(g) \psi=\psi \otimes b_{0}(g) ; \psi \in \mathscr{H},
\]

где $b_{0}(g)$ — сильно непрерывный коцикл представления $g \rightarrow W_{g}^{0}$ со значениями в $\mathscr{H}_{0}$. Тогда $B(g) X=X \otimes b_{0}(g)$, где введено обозначение $X \otimes \varphi_{0}$ для оператора из $\mathscr{E}$ в $\mathscr{H} \otimes \mathscr{H}_{0}$, отображающего
16-1

вектор $\psi$ в $X \psi \otimes \psi_{0}$. Функция $z(g), g \in G$, оказывается вещественной функцией, удовлетворяющей уравнению
\[
z(g h)-z(g)-z(h)=\operatorname{Im}\left(b_{0}\left(g^{-1}\right) \mid b_{0}(h)\right) .
\]

Формула (2.21) принимает в итоге вид
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{L}(g)[X]=A^{*}\left(X \otimes W_{\varepsilon}^{0}\right) A+A^{*}\left(X \otimes b_{0}(g)\right)+ \\
+\left(X \otimes b_{0}\left(g^{-1}\right)^{*}\right) A+X\left[-\frac{1}{2}\left\|b_{0}(g)\right\|^{2}+i z(g)\right]+C^{*} X+X C,
\end{array}
\]

где $A$ — произвольный ограниченный оператор из $\mathscr{C}$ в $\mathscr{H} \otimes \mathscr{H}_{0}$, CEF( $\mathscr{C})$.

Предположим далее, что $\mathscr{H}$ сепарабельно, а группа $G$ удовлетворяет второй аксиоме счетности. Тогда $\mathscr{H}$, а значит и $\mathscr{G}$, сепарабельны, и мы можем получить более детальное ккоординатное представление». Чтобы выделить кгауссовскую» компоненту, рассмотрим разложение $\mathscr{H}_{0}=\mathscr{H}_{1} \oplus \mathscr{H}_{2}$, где $\mathscr{H}_{1}=\{\varphi$ : $\left.: W_{g}^{0} \varphi=\varphi, \forall g \in G\right\}$, и пусть $b_{0}(g)=b_{1}(g) \oplus b_{2}(g)$ — соответствующее разложение коцикла $b_{0}(g)$. Выберем пронзвольный безусловный базис $\left\{r_{3}\right\}$ в $\mathscr{H}_{1}$. Пусть $\left\{r^{\prime}\right\}$ — сопряженный базис, морфизмы группы $G_{\text {в }}$ С. Пусть $\left\{v_{1}\right\}$ — безусловный базис в $\mathscr{H}_{2}$; определим $R_{j}, V_{j} \in \mathscr{D}(\mathscr{H})$ соотношением
\[
A \psi-\left(\sum_{j} R_{j} \psi \otimes r_{j}\right) \oplus\left(\sum_{k} V_{k} \psi \otimes \sigma_{k}\right), \psi \in \mathcal{X} .
\]

Формула (4.2) дает
\[
\mathscr{L}(\mathrm{g})[X]=\mathscr{L}_{1}(\mathrm{~g})[X]+\mathscr{L}_{2}(\mathrm{~g})[X]+C^{*} X+X C,
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{L}_{1}(g)[X]=\sum_{j, k} \gamma_{j k} R_{j}^{*} X R_{k}+ \\
+\sum_{j}\left[R_{j}^{*} X r_{j}(g)-\overline{r_{j}(g)} X R_{j}\right]-\frac{1}{2} \sum_{j, k} \gamma^{j k} \overline{r_{j}(g)} r_{k}(g) X,
\end{array}
\]

причем ряд $\sum_{j, k} \gamma_{j k} R_{j}^{*} R_{k}$ сходится ультраслабо, а числовои ряд $\sum_{j, k} \gamma^{j k} \overline{r_{j}(g)} r_{k}(g)$ сходится абсолютно,
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{L}_{2}(g)[X]=\sum_{j, k} V_{j}^{*} X V_{*}\left(o_{j} \mid W_{g}^{0} v_{k}\right)+ \\
+\sum_{j}\left[V_{j}^{*} X\left(\partial_{j}\left|b_{2}(g)+b_{2}\left(g^{-1}\right)\right| \sigma_{j}\right) X V_{j}\right]+X l_{2}(g),
\end{array}
\]

где $l_{2}(g)=-\frac{1}{2}\left\|b_{2}(g)\right\|^{2}+i z(g)$.

Функция $\mathscr{L}_{1}(g), g \in G$, и есть кгауссовское» слагаемое. Более подробную информацию о $\mathscr{L}_{2}(g)$ можно получить в случае абелевой сепарабельной локально компактной группы $G$. Тогда существует разложение $\mathscr{H}_{2}$ в прямой интеграл
\[
\mathscr{H}_{2}=\int_{\mathscr{E} \backslash \mathscr{E}} \oplus \mathscr{H}(x) \mu(d x),
\]
\[
W_{g}^{0}=\int_{\mathscr{Q}} \oplus g(x) \mu(d x) .
\]

При этом
\[
b_{2}(g)=\int_{\mathscr{X} \backslash \ell} \oplus[g(x)-1] \omega(x) \mu(d x),
\]

где $\omega(x) € \mathscr{H}(x)$ и функция $\varphi(x)=\|\omega(x)\|^{2}$ такова, что интеграл
\[
\int_{\mathscr{Q} \backslash e}|g(x)-1|^{2} \varphi(x) \mu(d x)
\]

сходится для всех $g$ и стремится к нулю при $g \rightarrow \varepsilon$. (см. [19], стр. 155). Рассуждая как в ([19], с 54), получаем
\[
l_{2}(g)=\int_{\mathscr{R} \backslash e}[g(x)-1-i J(g, x)] \varphi(x) \mu(d x)+i \lambda(g),
\]

где $J(g, x)$ — стандартная функция, определенная в [19], [25], а $\lambda$ — непрерывный морфизм группы $G$ в R.
В силу (4.6)
\[
v_{j}=\int_{\mathscr{Q}} \oplus v_{j}(x) \mu(d x),\left(\int\left\|v_{j}(x)\right\|^{2} \mu(d x)<\infty\right) .
\]

Обозначая $\varphi_{j k}(x)=\left(v_{j}(x) \mid v_{k}(x)\right), \varphi_{j}(x)=\left(v_{j}(x) \mid \omega(x)\right)$, преобразуем (4.5) к виду
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{L}_{2}(g)[X]=\sum_{j, k} V_{j}^{*} X V_{k} \int_{\mathscr{X} \backslash \varepsilon} g(x) \varphi_{j k}(x) \mu(d x)+ \\
+\sum_{j}\left[V_{j}^{*} X \int_{\mathscr{R} \backslash}[g(x)-1] \varphi_{j}(x) \mu(d x)+\right. \\
+\int_{\mathscr{X}}\left[[g(x)-1] \overline{\varphi_{j}(x)} \mu(d x) X V_{j}\right]+X l_{2}(g) \text {, } \\
\end{array}
\]

где $l_{2}(g)$ дается формулой (4.10). По пострюению, ряд

\[
\left[\begin{array}{cc}
\varphi_{j k}(x) & \overline{\varphi_{k}(x)} \\
\varphi_{j}(x), & \varphi(x)
\end{array}\right]_{h, k-1, \ldots}
\]

является положительно определенной для $\mu$-почти всех $x$.
В качестве примера приведем каноническое представление функции (1.8) при $\mathscr{L}_{0}[X]=V^{*} \dot{X}+X V$, где $V \in \mathscr{F}(\mathscr{H})$. Разлагая в ряд экспоненты в интеграле
\[
\mathscr{L}(g)[X]=\int_{0}^{\infty}\left(e^{i x g} e^{V^{*} x} X e^{V x}-e^{V *} e^{V x_{0}} X\right) \frac{e^{-\beta x}}{x} d x,
\]

приходим к представлению
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{L}(g)[X]=\sum_{j, k=1}^{\infty}\left(V^{*}\right)^{\prime} X V^{k} \int_{0}^{\infty} e^{i x g} \frac{x^{j+k-1}}{j ! k !} e^{-\beta x} d x+ \\
+\sum_{j=1}^{\infty}\left[\left(V^{*}\right)^{\prime} X+X V^{j}\right] \int_{0}^{\infty}\left(e^{i x g}-1\right) \frac{x^{j-1}}{j !} e^{-\beta x} d x+ \\
+X \int_{0}^{\infty}\left(e^{i x g}-1\right) x^{-1} e^{-\beta x} d x+C^{*} X+X C,
\end{array}
\]

где
\[
C=\frac{1}{2} \ln \left(1-\frac{2 \operatorname{Re} V}{\beta}\right)-\ln \left(1-\frac{V}{\beta}\right) .
\]
«Гауссовские» функции вида (4.4) были введены в случае $G=\mathbf{R}^{\prime}$ в работах Баркиелли, Ланца и Проспери [11], [12] в связи с проблемой непрерывных квантовых измерений (см. далее § II.5). Более общие выражения, включающие кпуассоновские» слагаемые (которые отвечают функциям вида (4.11) с чисто атомической мерой $\mu$ и конечным числом слагаемых), рассматривались в [13].

Если $\mathscr{L}(g)$ — скалярная э. у. п. о. функция, то представление, отвечающее факторизуемой п.о. функции $\Phi(g(\cdot))=$ $=\exp \int \mathscr{L}(g(t)) d t$ на группе функций аргумента $t$ со значениями в $G$ является безгранично делимым и действует в фоковском пространстве. Это утверждение составляет часть теоремы вложения Араки — Вудса [19], [25]. С точки зрения настоящей работы, основной математический результат, полученный в [13], можно интерпретировать как конструкцию специального представления (2:1) в некотором фоковском пространстве для кфакторизуемых» п.о. функций со значениями в $\mathcal{F}(\mathscr{F}(\mathscr{E}))$, задаваемых хронологически-упорядоченными экспонентами $\boldsymbol{\Phi}(g(\cdot))=$ $=\mathscr{T} \exp \int \mathscr{L}(g(t)) d t$. В работе Партасарати [26] эта конструкция была обобщена на класс функций $\mathscr{L}(g)$, близкий к (4.2). Следует, однако, заметить, что общие свойства положительной определенности, о которых шла речь в $\S 1$, в этих работах выявлены не были, и авторы использовали конкретную форму рассматриваемых функций.