Используя результаты предыдущих параграфов, найдем общий вид ${\mathcal{T}}_1$-непрерывной э. у. п. о. функции со значениями в $\mathcal{F}(\mathfrak{Y}(\mathcal{H}){)}_{\text{。 }}$. Поскольку $\beta =\{\mathbf{C}\mathbf{I}\}$, то, как следует из доказательства предложения $5,{\mathcal{T}}_1$-непрерывность в этом случае эквивалентна ${\mathcal{g}}_2$-непрерывности.

Всякое нормальное представление алгебры $\mathcal{P}(\mathcal{H})$ с точностью до унитарной эквивалентности кратно тождественному, поэтому можно считать, что в теореме 1
$$\mathcal{K}=\mathcal{H}\otimes {\mathcal{H}}_0,\pi [X]=X\otimes {\mathrm{I}}_0,$$

где ${\mathcal{H}}_0$ — некоторое гильбертово пространство, $I_0$ — единичный оператор в ${\mathcal{H}}_0$. Из (2.9) тогда вытекает, что
$$W_g=I\otimes W_g^0,$$

где $g\to W_g^0$ — непрерывное унитарноје представление $G$ в ${\mathcal{H}}_0$. Из (2.18) следует, что
$$B(g)\psi =\psi \otimes b_0(g);\psi \in \mathcal{H},$$

где $b_0(g)$ — сильно непрерывный коцикл представления $g\to W_g^0$ со значениями в ${\mathcal{H}}_0$. Тогда $B(g)X=X\otimes b_0(g)$, где введено обозначение $X\otimes {\phi }_0$ для оператора из $\mathcal{E}$ в $\mathcal{H}\otimes {\mathcal{H}}_0$, отображающего
16-1

вектор $\psi$ в $X\psi \otimes {\psi }_0$. Функция $z(g),g\in G$, оказывается вещественной функцией, удовлетворяющей уравнению
$$z(gh)-z(g)-z(h)=\mathrm{Im}(b_0\left(g^{-1}\right)\mid b_0(h)).$$

Формула (2.21) принимает в итоге вид
$$\begin{array}{c}\mathcal{L}(g)[X]=A^{\ast }(X\otimes W_{\epsilon }^0)A+A^{\ast }(X\otimes b_0(g))+\\ +(X\otimes b_0{\left(g^{-1}\right)}^{\ast })A+X[-\frac{1}{2}{\Vert b_0(g)\Vert }^2+iz(g)]+C^{\ast }X+XC,\end{array}$$

где $A$ — произвольный ограниченный оператор из $\mathcal{C}$ в $\mathcal{H}\otimes {\mathcal{H}}_0$, CEF( $\mathcal{C})$.

Предположим далее, что $\mathcal{H}$ сепарабельно, а группа $G$ удовлетворяет второй аксиоме счетности. Тогда $\mathcal{H}$, а значит и $\mathcal{G}$, сепарабельны, и мы можем получить более детальное ккоординатное представление». Чтобы выделить кгауссовскую» компоненту, рассмотрим разложение ${\mathcal{H}}_0={\mathcal{H}}_1\oplus {\mathcal{H}}_2$, где ${\mathcal{H}}_1=\{\phi$ : $:W_g^0\phi =\phi ,\mathrm{\forall }g\in G\}$, и пусть $b_0(g)=b_1(g)\oplus b_2(g)$ — соответствующее разложение коцикла $b_0(g)$. Выберем пронзвольный безусловный базис $\left\{r_3\right\}$ в ${\mathcal{H}}_1$. Пусть $\left\{r^{\prime }\right\}$ — сопряженный базис, морфизмы группы $G_{\text{в }}$ С. Пусть $\left\{v_1\right\}$ — безусловный базис в ${\mathcal{H}}_2$; определим $R_j,V_j\in \mathcal{D}(\mathcal{H})$ соотношением
$$A\psi -(\sum _j{R}_j\psi \otimes r_j)\oplus (\sum _k{V}_k\psi \otimes {\sigma }_k),\psi \in \mathcal{X}.$$

Формула (4.2) дает
$$\mathcal{L}(\mathrm{g})[X]={\mathcal{L}}_1(\mathrm{g})[X]+{\mathcal{L}}_2(\mathrm{g})[X]+C^{\ast }X+XC,$$

где
$$\begin{array}{c}{\mathcal{L}}_1(g)[X]=\sum _{j,k}{\gamma }_{jk}{R}_j^{\ast }X{R}_k+\\ +\sum _j[R_j^{\ast }X{r}_j(g)-\overline{r_j(g)}X{R}_j]-\frac{1}{2}\sum _{j,k}{\gamma }^{jk}\overline{r_j(g)}{r}_k(g)X,\end{array}$$

причем ряд $\sum _{j,k}{\gamma }_{jk}{R}_j^{\ast }{R}_k$ сходится ультраслабо, а числовои ряд $\sum _{j,k}{\gamma }^{jk}\overline{r_j(g)}{r}_k(g)$ сходится абсолютно,
$$\begin{array}{c}{\mathcal{L}}_2(g)[X]=\sum _{j,k}{V}_j^{\ast }X{V}_{\ast }(o_j\mid W_g^0{v}_k)+\\ +\sum _j\left[V_j^{\ast }X\left({\partial }_j|b_2(g)+b_2\left(g^{-1}\right)|{\sigma }_j\right)X{V}_j\right]+X{l}_2(g),\end{array}$$

где $l_2(g)=-\frac{1}{2}{\Vert b_2(g)\Vert }^2+iz(g)$.

Функция ${\mathcal{L}}_1(g),g\in G$, и есть кгауссовское» слагаемое. Более подробную информацию о ${\mathcal{L}}_2(g)$ можно получить в случае абелевой сепарабельной локально компактной группы $G$. Тогда существует разложение ${\mathcal{H}}_2$ в прямой интеграл
$${\mathcal{H}}_2={\int }_{\mathcal{E}\mathrm{\setminus }\mathcal{E}}\oplus \mathcal{H}(x)\mu (dx),$$
$$W_g^0={\int }_{\mathcal{Q}}\oplus g(x)\mu (dx).$$

При этом
$$b_2(g)={\int }_{\mathcal{X}\mathrm{\setminus }\ell }\oplus [g(x)-1]\omega (x)\mu (dx),$$

где $\text{Math input error}$ и функция $\phi (x)=\Vert \omega (x){\Vert }^2$ такова, что интеграл
$${\int }_{\mathcal{Q}\mathrm{\setminus }e}|g(x)-1{|}^2\phi (x)\mu (dx)$$

сходится для всех $g$ и стремится к нулю при $g\to \epsilon$. (см. [19], стр. 155). Рассуждая как в ([19], с 54), получаем
$$l_2(g)={\int }_{\mathcal{R}\mathrm{\setminus }e}[g(x)-1-iJ(g,x)]\phi (x)\mu (dx)+i\lambda (g),$$

где $J(g,x)$ — стандартная функция, определенная в [19], [25], а $\lambda$ — непрерывный морфизм группы $G$ в R.
В силу (4.6)

Обозначая ${\phi }_{jk}(x)=(v_j(x)\mid v_k(x)),{\phi }_j(x)=(v_j(x)\mid \omega (x))$, преобразуем (4.5) к виду
$$\begin{array}{l}{\mathcal{L}}_2(g)[X]=\sum _{j,k}{V}_j^{\ast }X{V}_k{\int }_{\mathcal{X}\mathrm{\setminus }\epsilon }g(x){\phi }_{jk}(x)\mu (dx)+\\ +\sum _j[V_j^{\ast }X{\int }_{\mathcal{R}\mathrm{\setminus }}[g(x)-1]{\phi }_j(x)\mu (dx)+\\ +{\int }_{\mathcal{X}}[[g(x)-1]\overline{{\phi }_j(x)}\mu (dx)X{V}_j]+X{l}_2(g)\text{, }\end{array}$$

где $l_2(g)$ дается формулой (4.10). По пострюению, ряд

$${\left[\begin{array}{cc}{\phi }_{jk}(x)& \overline{{\phi }_k(x)}\\ {\phi }_j(x),& \phi (x)\end{array}\right]}_{h,k-1,\dots }$$

является положительно определенной для $\mu$-почти всех $x$.
В качестве примера приведем каноническое представление функции (1.8) при ${\mathcal{L}}_0[X]=V^{\ast }\dot{X}+XV$, где $V\in \mathcal{F}(\mathcal{H})$. Разлагая в ряд экспоненты в интеграле
$$\mathcal{L}(g)[X]={\int }_0^{\mathrm{\infty }}(e^{ixg}{e}^{V^{\ast }x}X{e}^{Vx}-e^{V\ast }{e}^{V{x}_0}X)\frac{e^{-\beta x}}{x}dx,$$

приходим к представлению
$$\begin{array}{c}\mathcal{L}(g)[X]=\sum _{j,k=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(V^{\ast }\right)}^{\prime }X{V}^k{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{ixg}\frac{x^{j+k-1}}{j!k!}{e}^{-\beta x}dx+\\ +\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}[{\left(V^{\ast }\right)}^{\prime }X+X{V}^j]{\int }_0^{\mathrm{\infty }}(e^{ixg}-1)\frac{x^{j-1}}{j!}{e}^{-\beta x}dx+\\ +X{\int }_0^{\mathrm{\infty }}(e^{ixg}-1)x^{-1}{e}^{-\beta x}dx+C^{\ast }X+XC,\end{array}$$

где
$$C=\frac{1}{2}\ln (1-\frac{2\mathrm{Re}V}{\beta })-\ln (1-\frac{V}{\beta }).$$
«Гауссовские» функции вида (4.4) были введены в случае $G={\mathbf{R}}^{\prime }$ в работах Баркиелли, Ланца и Проспери [11], [12] в связи с проблемой непрерывных квантовых измерений (см. далее § II.5). Более общие выражения, включающие кпуассоновские» слагаемые (которые отвечают функциям вида (4.11) с чисто атомической мерой $\mu$ и конечным числом слагаемых), рассматривались в [13].

Если $\mathcal{L}(g)$ — скалярная э. у. п. о. функция, то представление, отвечающее факторизуемой п.о. функции $\mathrm{\Phi }(g(\cdot ))=$ $=\exp \int \mathcal{L}(g(t))dt$ на группе функций аргумента $t$ со значениями в $G$ является безгранично делимым и действует в фоковском пространстве. Это утверждение составляет часть теоремы вложения Араки — Вудса [19], [25]. С точки зрения настоящей работы, основной математический результат, полученный в [13], можно интерпретировать как конструкцию специального представления (2:1) в некотором фоковском пространстве для кфакторизуемых» п.о. функций со значениями в $\mathcal{F}(\mathcal{F}(\mathcal{E}))$, задаваемых хронологически-упорядоченными экспонентами $\mathbf{\Phi }(g(\cdot ))=$ $=\mathcal{T}\exp \int \mathcal{L}(g(t))dt$. В работе Партасарати [26] эта конструкция была обобщена на класс функций $\mathcal{L}(g)$, близкий к (4.2). Следует, однако, заметить, что общие свойства положительной определенности, о которых шла речь в $\mathrm{\S }1$, в этих работах выявлены не были, и авторы использовали конкретную форму рассматриваемых функций.