В дальнейшем $\mathscr{A}$ является алгеброй фон Неймана. Обозначим ( выпуклое множество нормальных состояний на $\mathscr{A}$. Значение состояния $S \in \mathcal{S}$ на элементе $X \in \mathscr{A}$ будем обозначать $\langle S, X\rangle$. Элементы $\mathscr{A}^{h}$ будут называться наблюдаемыми. Обозначим $\mathfrak{X}$ выпуклое множество тестов, т. е. наблюдаемых $X$, таких, что $0 \leqslant X \leqslant I$.

Пусть $(\mathscr{X}, \mathscr{B})$ – измеримое пространство, которое мы будем считать стандартным. Инструментом с пространством исходов $(\mathscr{X}, \mathscr{B})$ [16] называется функция множеств $\mathscr{M}=\{\mathscr{M}(B), B \in \mathscr{B}\}$, принимающая значения в $\mathfrak{F}(\mathscr{A})_{\sigma}$ и удовлетворяющая условиям
1) $\mathscr{M}(B)$ – положительное отображение для любого $B \in \mathscr{B}$;
2) $\mathscr{X}(\mathscr{X})[\mathrm{I}]=\mathrm{I}$
3) $\mathscr{A} \sigma^{2}$ аддитивна в топологии $\mathscr{T}_{2}$.

Инструмент называется вполне положительным [24], если $\mathscr{M}(B)$ является вполне положительным отображением для всех $B \in \mathscr{B}$. Вполне положительные инструменты играют основную роль в дальнейшем.
Введем величины
\[
\mu_{\mathcal{S}, X}^{\mathscr{N}}(B)=\langle S, \mathscr{N}(B)[X]\rangle ; \quad S \in \mathcal{S}, X \in \mathfrak{X}, B \in \mathscr{B} .
\]

Предложение 6. Соотношение (1.1) устанавливает взаимнооднозначное соответствие между инструментами $\mathscr{x}$ и наборами величин $\mu_{\overline{s_{1} X}}^{\mathscr{\mu}}(B)$, удовлетворяющими условиям:
1) для любых $S \in \mathcal{S}, X \in \mathcal{X}$ функция множеств $\mu_{\overline{s, X}}^{\mathscr{M}}(B) ; B \in \mathscr{B}$, является меррй со значениями в $[0,1]$; мера $\mu_{S, 1}^{\mathcal{N}}$ является вероятностной;
2) для любых $B \in \mathscr{B}, X \in \mathfrak{X}$ функция $\mu_{\tilde{S}, X}^{\mathscr{K}}(B) ; \mathcal{S} \in$, является аффинной, т. е.

для $S_{1}, S_{2} \in \mathcal{S}, 0 \leqslant p \leqslant 1$;
3) для любых $B \in \mathscr{B}, S \in \mathcal{S}$ функция $\mu_{\mathcal{S}, X}^{\mathcal{X}}(B) ; X \in \mathbb{X}$, является

аффинной и нормальной, (последнёе означает, что $\mu_{\bar{s}, X_{\alpha}}^{\mathcal{R}}(B) \uparrow \mu_{\bar{s}, X}^{\mathcal{M}}(B)$, если $\left.X_{a} \uparrow X\right)$.

Доказательство. Проверка свойств 1) -3) для величин, определяемых формулой (1.1), проводится непосредственно. Пусть теперь задан набор величин со свойствами 1)-3). Стандартные рассуждения (ср. [16], с. 50) показывают, что из условий 2), 3) для каждого фиксированного $B \in \mathscr{B}$ вытекает существование единственного отображения $\boldsymbol{M}(B) \in \mathscr{F}(\mathscr{A})_{0}$, удовлетворяющего соотношению (1.1) для всех $S \in \mathcal{O}, X \in \mathcal{E}$. Из условия 1) вытекіет, что функция множеств $\{\mathscr{M}(B) ; B \in \mathscr{B}\}$ удовлетворяет условиям 1), 2) в определении инструмента и конечно-аддитивна. Чтобы установить $\sigma$-аддитивность в топологии $\mathscr{T}_{2}$, достаточно доказать, что из $B_{1} \supset B_{2} \supset \ldots \supset B_{n} \supset \ldots, \bigcap_{n} B_{n}=\varnothing$ вытекает
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{\|X\|<1}\left\|\mathscr{A}\left(B_{n}\right)[X] \psi\right\|=0 ; \quad \psi \in \mathscr{H} .
\]

Для доказательства нам понадобится следующий вариант неравенства Кэдисона (ср., например [31]): если $Ф \in \mathcal{F}(\mathscr{A})$ – положительное отображение и $\Phi[1] \leqslant \mathrm{I}$, то
\[
\Phi[X]^{*} \Phi[X] \leqslant \Phi\left[X^{*} X\right] \leqslant \Phi[I] \cdot\|X\|^{2}, \quad X \in \mathscr{A} .
\]

для любого нормального $X \in \mathscr{A}$.
При доказательстве (1.2) можно не ограничивая общности считать, что $\|\psi\|=1$. Применяя (1.3) к отображению $\boldsymbol{x}\left(B_{n}\right)$, получаем
\[
\left\|\mathcal{N}\left(B_{n}\right)[X] \psi\right\|^{2} \leqslant 2\left(\psi \mid \mathcal{M}\left(B_{n}\right)[1] \psi\right) \cdot\|X\|^{2}=2 \mu_{s_{\psi}, 1}^{\mathscr{N}}\left(B_{n}\right) \cdot\|X\|^{2},
\]

где $S_{\text {, }}$ – нормальное состояние, определяемое соотношением $\left\langle S_{*}, X\right\rangle=(\boldsymbol{\psi} \mid X \psi)$. Отсюда ввиду свойства 1) следует (1.2).

Пример 1. Пусть $A$ наблюдаемая с дискретным спектром, так что $A=\sum a_{i} E_{i}$, где $a_{i} \in \mathbf{R}$, $\left\{E_{i}\right\}$ ортогональное разложение единицы в \& . «Проекционный постулат» фон Неймана [5] сопоставляет такой наблюдаемой в. п. инструмент
\[
\boldsymbol{\mu}(B)[X]=\sum_{i: a_{i} \in^{B}} E_{i} X E_{i} ; \quad B \in \mathbf{R},
\]

описывающий «идеальное», т. е. экстремально точное измерение наблюдаемой $A$.

Пример 2. Пусть $A^{1}, \ldots, A^{4}$ – наблюдаемые, такие, что $\left[A^{\prime}, A^{n}\right]=0 ; j, k=1, \ldots, s$, и пусть $\psi\left(x^{1}, \ldots, x^{*}\right)$ – вещественная функция на ‘ $\mathbf{R}^{\prime}$, удовлетворяющая соотношениям
\[
\begin{array}{c}
\int \ldots \int\left|\psi\left(x^{1}, \ldots, x^{s}\right)\right|^{2} d x^{1} \ldots d x^{s}=1, \\
\int \ldots \int x^{\prime}\left|\psi\left(x^{1}, \ldots, x^{s}\right)\right|^{2} d x^{1} \ldots d x^{s}=0 ; \quad j=1, \ldots, s .
\end{array}
\]

Инструмент
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{A}(B)[X]=\int \ldots \int \boldsymbol{f _ { B }}\left(x^{1}-A^{1}, \ldots, x^{s}-A^{s}\right) \times \\
\times X \Psi\left(x^{1}-A^{1}, \ldots, x^{s}-A^{s}\right) d x^{1} \ldots d x^{s}
\end{array}
\]

описывает «приближенное совместное измерение наблюдаемых $A^{1}, \ldots, A^{4}$ (ср. [11]), которое является тем более точным, чем ближе плотность распределения вероятностей $\left|\psi\left(x^{1}, \ldots, x^{s}\right)\right|^{2}$ к дельта-функции, т. е. чем меньше (предполагаемые конечными) величины
\[
\gamma^{j k}=\int \ldots \int x^{j} x^{k}\left|\psi\left(x^{1}, \ldots, x^{s}\right)\right|^{2} d x^{1} \ldots d x^{s},
\]

определяющие ковариации ошибок измерения.
Понятие инструмента является далеко идущим обобщением проекционного постулата фон Неймана и служит для описания статистики последовательных измерений в квантовой механике. Всякое измерение влечет изменение состояния квантовой системы, которое дуальным образом можно описывать в пространстве ограниченных наблюдаемых. Отображение $\boldsymbol{M}(B)$ описывает такое изменение, связанное с данным измерением, если фиксируется результат, что исход измерения лежит в множестве $B$. Отображение $\boldsymbol{A}(X)$ описывает полное изменение, происходящее, если измерение производится, но его исход не фиксируется: Вероятностная мера $\mu_{S, I}^{\mathscr{A}}$ задает распределение вероятностей исходов соответствующего измерения в состоянии $S$. Для краткости будем называть его распределением вероятностей инструмента д с состоянии $S$.

Пусть производится последовательность измерений, описываемых инструментами $\underline{\boldsymbol{l}}_{1}, \ldots, \boldsymbol{\mathscr { l }}_{n}$ со значениями в пространствах $\left(\mathscr{X}_{1}, \mathscr{A}_{1}\right), \ldots,\left(\mathscr{X}_{n}, \mathscr{B}_{n}\right)$. Тогда соотношение
\[
\begin{array}{c}
\mu_{\bar{S}, I}^{\mathscr{A}_{1}}, \ldots, \underline{\boldsymbol{M}}_{n}\left(B_{1} \times \ldots \times B_{n}\right)= \\
=\left\langle S, \boldsymbol{A}_{1}\left(B_{1}\right)\left[\ldots \boldsymbol{\mu}_{n}\left(B_{n}\right)[I] \ldots\right]\right\rangle ; \quad B_{1} \in \mathscr{B}_{1}, \ldots, B_{n} \in \mathscr{B}_{n},
\end{array}
\]

задает аддитивную функцию множеств на булевой полуалгебре прямоугольников $B_{1} \times \ldots \times B_{n}$, которая $\sigma$ – аддитивна по каждому аргументу $B_{3}$, и таким образом, продолжается до (вероятностной) меры на $\sigma$-алгебре $\mathscr{B}_{1} \times \ldots \times \mathscr{B}_{n}$ подмножеств произведения $\mathscr{\mathscr { E }}_{1} \times \ldots \times \mathscr{\mathscr { Z }}_{n}$, порождаемой прямоугольниками. (Здесь используется стандартность пространств $\left(\mathscr{X}_{j}, \mathscr{A}_{j}\right)$, ср. [16], с. 52.) Эта мера задает совместное распределение вероятностей рассматриваемой последовательности измерений. Мы изучим вопрос об описании измерений, длящихся непрерывно, что соответствует континуальному аналогу выражений тиna $(1.9)$.

В дальнейшем нам понадобится следующий принцип продол-жения. Пусть $\mathscr{A}=\{\mathscr{M}(B) ; B \in \mathscr{B}\}$ функция множеств, определен ная на булевой полуалгебре $\mathscr{B}_{0}$ и принимающая значения в $\mathscr{f}(\mathscr{A})_{\sigma}$. Определим величины $\mu_{\bar{s}, X}^{\mathscr{K}}(B)$ соотношением (1.1). Пусть эти величины удовлетворяют условиям 1) -3) с заменой $\mathscr{B}$ на $\mathscr{B}_{0}$. В частности, функции множеств $\mu_{\tilde{s} ; X}^{\mathscr{M}}(B) ; B \in \mathscr{B}_{0}$ б-аддитивны на булевой полуалгебре $\mathscr{B}_{0}$. Тогда все они однозначно продолжаются до мер на $\mathscr{B}$, где $\mathscr{B}-\sigma$-алгебра, порожденная $\mathscr{B}_{0}$. Совокупность множеств $B$, для которых выполняются условия 2 ), 3 ), с одной стороны, содержит $\mathscr{B}_{0}$, а с другой – является монотонным классом и поэтому совпадает с $\mathscr{8}$. Таким образом, условия 1) -3) выполняются и для продолженного набора величин $\left\{\mu_{\bar{S} X}^{\mathcal{A}}(B) ; B \in \mathscr{B}, S \in \mathcal{S}, X \in \mathfrak{X}\right\}$. Согласно предложению 6 , этот набор однозначно определяет инструмент с пространством исходов $(\mathscr{X}, \mathscr{B})$, который, таким образом, является продолжением на $\mathscr{B}$ отображения $\mathscr{M}(B) ; B \in \mathscr{B}_{0}$, вполне положительны, то полученный инструмент вполне положителен, поскольку совокупность множеств $B$, для которых $\mathscr{M}(B)$ вполне положительно, также является монотонным классом.

В частности, вернемся к ситуации, описываемой формулой (1.9). Определим функцию множеств $\mathscr{A}$ со значениями в $\mathfrak{F}(\mathscr{A})_{0}$ на булевой полуалгебре прямоугольников соотношением
\[
\mathscr{\boldsymbol { A }}\left(B_{1} \times \ldots 义 B_{n}\right)=\mathscr{N}_{1}\left(B_{1}\right) \cdot \ldots \cdot \mathscr{M}_{n}\left(B_{n}\right) .
\]

Тогда выполняются условия, обеспечивающие продолжение, и $\mathscr{A}$ продолжается до инструмента с пространством исходов цией инструментов $\mathscr{M}_{1}, \ldots, \mathscr{A}_{n}$ [16]. Если инструменты $\mathscr{M}_{1}, \ldots$ $\ldots, \mathscr{M}_{n}$ вполне положительны, то инструмент $\mathscr{K}$ вполне положителен, в силу следствия 2 и принципа продолжения.

Пусть $\mathscr{X}_{1}=\ldots=\mathscr{X}_{n}=\mathscr{X}$ – абелева сепарабельная локально компактная группа с $\sigma$-алгеброй $\mathscr{A}=\mathscr{R}(G)$ борелевских подмножеств $G$ (в этом случае мы используем аддитивные обозначения для групповой операции). Определим свертку инструментов $\mathscr{A}_{1}, \ldots, \mathscr{A}_{n}$ со значениями в $(\mathscr{X}, \mathscr{B})$ соотношением
\[
\begin{array}{c}
\left(x_{1} * \ldots * \mathscr{x}_{n}(B)=\mathscr{x}\left(\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right): x_{1}+\ldots+x_{n} \in B\right) \equiv\right. \\
\equiv \int_{x_{1}+\ldots+x_{n} \mathrm{E}^{B}} \boldsymbol{x}_{1}\left(d x_{1}\right) \ldots \ldots \boldsymbol{x}_{n}\left(d x_{n}\right) .
\end{array}
\]

Отметим, что, несмотря на абелевость группы $G$, свертка инструментов, вообще говоря, не коммутативна. Свертка в. п. инструментов вполне положительна. Свертка $\mathscr{\mathscr { x }}_{1} * \ldots * \underline{\mathscr{x}}_{n}$ опи-

сывает сумму результатов ряда последовательных измерений. Интересующий нас вопрос о непрерывных измерениях тесно связан с предельным поведением сверток инструментов при $n \rightarrow \infty$.