В качестве частного случая колебательной системы, описываемой уравнением (13.1), рассмотрим нелинейный вибратор, находящийся под воздействием гармонической силы. Колебания такой системы, как указывалось выше, описываются следующим дифференциальным уравнением:
$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+kx=f(x,\frac{dx}{dt})+\epsilon E\sin vt\ast ).$$

Анализируя во введении это уравнение, мы пришли к заключению, что в первом приближении может быть обнаружен только основной резонанс.

Итак, пользуясь ранее выведенными формулами, построим приближенные решения уравнения (15.1) в случае основного резонанса ( $p=1,q=1$ ). Согласно (14.39) и (14.40) в первом приближении имеем:
$$x=a\cos (ut+\vartheta ),$$

где $a$ и $\vartheta$ должны быть определены из системы уравнений:
$$\begin{array}{l}\frac{da}{dt}=-\frac{\epsilon }{2\pi \omega m}{\int }_0^{2\pi }{f}_0(a,\psi )\sin \psi d\psi -\frac{\epsilon E}{m(\omega +u)}\cos \vartheta ,\\ \frac{d\vartheta }{dt}=\omega -u-\frac{\epsilon }{2\pi \omega am}{\int }_0^{2\pi }{f}_0(a,\psi )\cos \psi d\psi +\frac{\epsilon E}{ma(\omega +u)}\sin \vartheta .\end{array}\}$$

Во втором приближении полагаем
$$x=a\cos \psi +\epsilon u_1(a,\psi ),$$

где $u_1(a,\psi )$ определяется как вынужденное колебание, возбуждалемое в системе выспими гармониками внешней силы в режиме синусоидальных колебаний:
$$\begin{array}{rl}{u}_1(a,\psi )& =\frac{1}{2\pi }\sum _{meq1}\frac{e^{im\psi }}{{\omega }^2(1-m^2)}{f}_m^{(0)}(a),\\ f_m^{(0)}(a)& =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{f}_0(a,\psi )e^{-im\psi }d\psi ,\end{array}$$
*) В данном случае предполагается, что амплитуда внешней гармонической силы мала. Если, исходя из физических соображений, такого вывода сделать нельзя, то имеем уравнение
$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+kx=\epsilon f(x,\frac{dx}{dt})+E\sin vt,$$

которое заменой $x=y+\frac{E}{k-v^{2}m}\sin vt$ приводится к уравнению типа (13.1).

а $a$ и $\vartheta$ должны быть определены из системы уравнений второго приближения, для построения которой воспользуемся формулами (14.34) и (14.35).

Сначала находим согласно (14.31) и (14.32) главную гармонику функции ${\epsilon }^2{f}_1(a,\varphi )$ :
главная гармоника $\{{\tilde{\epsilon }}^2{f}_1(a,\psi )\}=$
$$=\frac{{\epsilon }^2\cos \psi }{\pi }{\int }_0^{2\pi }{\overline{f}}_1(a,\psi )\cos \psi d\psi +\frac{{\epsilon }^2\sin \psi }{\pi }{\int }_0^{2\pi }{\overline{f}}_1(a,\psi )\sin \psi d\psi ,$$

где обозначено:
$$\begin{array}{l}{\overline{f}}_1(a,\psi )=f_x^{\prime }(a\cos \psi ,-a\omega \sin \psi )u_1(a,\psi )+\\ +f_{x^{\prime }}^{\prime }(a\cos \psi ,-a\omega \sin \psi )[A_1\cos \psi -a{B}_1\sin \psi +\frac{\partial u_1}{\partial \vartheta }(\omega -u)].\end{array}$$

Далее, согласно (14.35) для определения $A_2(a,\vartheta )$ и $B_2(a,\vartheta )$ составляем систему
$$\begin{array}{l}m[(\omega -u)\frac{\partial A_2}{\partial \vartheta }-2a\omega B_2]=\\ =-m[\frac{\partial A_1}{\partial a}{A}_1+\frac{\partial A_1}{\partial \vartheta }{B}_1-a{B}_1^2]+\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }{\overline{f}}_1(a,\psi )\cos \psi d\psi ,\\ m[(\omega -u)a\frac{\partial B_2}{\partial \vartheta }+2\omega A_2]=\\ =-m[a\frac{\partial B_1}{\partial a}{A}_1+a\frac{\partial B_1}{\partial \vartheta }{B}_1+2A_1{B}_1]-\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }{\overline{f}}_1(a,\psi )\sin \psi d\psi .\end{array}$$

После этого, зная $A_1(a,\vartheta ),A_2(a,\vartheta ),B_1(a,\vartheta ),B_2(a,\vartheta )$, не представляет труда составить уравнения, определяющие $a$ и $\vartheta$, во втором приближении.
Остановимся подробнее на исследовании первого приближения.
Как и в случае нелинейной системы, находящейся под воздей-. ствием возмущения, не зависящего явно от времени, положим для сокращения (см. (7.4))
$$\begin{array}{l}{\lambda }_e(a)=\frac{\epsilon }{\pi a\omega }{\int }_0^{2\pi }{f}_0(a,\psi )\sin \psi d\psi ,\\ k_e(a)=k-\frac{\epsilon }{\pi a}{\int }_0^{2\pi }{f}_0(a,\psi )\cos \psi d\psi \end{array}\}$$

и заметим, что введенные параметры ${\lambda }_e(a),k_e(a)$ являются соответственно эквивалентным коэффициентом затухания и полным эквивалентным коэффициентом упругости для рассматриваемой колебательной системы в «свободном» состоянии при отсутствии внешнего возбуждения, т. е. для системы, описываемой уравнением вида
$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+kx=\epsilon f(x,\frac{dx}{dt}).$$

После этого уравнения (15.3) можно записать следующим образом:
$$\begin{array}{l}\frac{da}{dt}=-{\delta }_e(a)a-\frac{\epsilon E}{m(\omega +u)}\cos \vartheta ,\\ \frac{d\vartheta }{dt}={\omega }_e(a)-u+\frac{\epsilon E}{ma(\omega +u)}\sin \vartheta ,\end{array}\}$$

где ${\delta }_e(a)=\frac{{\lambda }_e(a)}{2m},{\omega }_e(a)=\sqrt{\frac{k_e(a)}{m}}$ являются соответственно эквивалентным декрементом затухания и эквивалентной частотой нелинейных собственных колебаний, описываемых уравнением (15.6).

Рассмотрим стационарные режимы колебаний. Для получения в первом приближении стационарных значений амплитуды $a$ и фазы $\vartheta$ необходимо приравнять нулю правые части уравнений (15.7), после чего получим соотношения:
$$\begin{array}{l}-{\delta }_e(a)a-\frac{\epsilon E}{m(\omega +v)}\cos \vartheta =0,\\ {\omega }_e(a)-u+\frac{\epsilon E}{ma(\omega +u)}\sin \vartheta =0,\end{array}\}$$

или с точностью до величин второго порядка малости следующие соотнопения:
$$\begin{array}{rl}2mva{\delta }_e(a)& =-\epsilon E\cos \vartheta ,\\ ma[\omega {)}_e^2(a)-u^2]& =-\epsilon E\sin \vartheta ,\end{array}\}$$

откуда, исключая фазу $\vartheta$, находим зависимость между амплитудой стационарных колебаний и частотой внешней силы:
$$m^2{a}^2[{({\omega }_e^2(a)-u^2)}^2+4u^2{\delta }_e^2(a)]={\epsilon }^2{E}^2.$$

Полученные нами уравнения (15.9) и (15.10) совпадают с уравнениями, которые в классической линейной теории используются для определения амплитуды и фазы вынужденного колебания
$$x=a\cos (vt+\vartheta )$$

в системе с массой $m$, коэффициентом упругости $k_e(a)$ и коэффициентом затухания ${\lambda }_e(a)$ (и соответственно с частотой ${\omega }_e(a)=\sqrt{\frac{k_e(a)}{m}}$ и декрементом ${\delta }_e(a)=\frac{{\lambda }_e(a)}{2m})$, находящейся под воздействием внешней синусоидальной силы $\epsilon E\sin vt$.

Поэтому можем сформулировать следующее правило. Пусть дана некоторая нелинейная система, находящаяся под воздействием внешней синусоидальной силы с частотой, близкой к собственной частоте системы. Требуется найти значения амплитуды и фазы стационарного синхронного колебания (15.2).

Для этого, линеаризируя данную колебательную систему в свободном состоянии (т. е. не принимая во внимание внешней силы $\epsilon E\sin vt$ ), определяем функции амплитуды — эквивалентный декремент и эквивалентную частоту собственных колебаний.

Подставив найденные значения в классические соотношения линейной теории колебаний (15.9) и (15.10), получим уравнение для определения искомых величин амплитуды и фазы.

Настоящее правило сформулировано для частного случая колебательной системы, ошисываемой дифференциальным уравнением (15.1), однако оно может быть распространено и на более общие случаи колебательных систем.

Выведем условия устойчивости для рассматриваемых синхронных стационарных колебаний.

Для резонансного случая уравнения первого приближения (15.7) с точностью до величин второго порядка малости могут быть представлены в виде
$$\begin{array}{c}2u\frac{da}{dt}=-2ua{\delta }_e^{\ell }(a)-\frac{\epsilon E}{m}\cos \vartheta ,\\ 2ua\frac{d\vartheta }{dt}=[{\omega }_e^2(a)-u^2]a+\frac{\epsilon E}{m}\sin \vartheta ,\end{array}$$

а уравнения стационарных синхронных режимов-в виде
$$\begin{array}{l}R(a,\vartheta )=0,\\ \mathrm{\Phi }(a,\vartheta )=0,\end{array}\}$$

где через $R(a,\vartheta )$ и $\mathrm{\Phi }(a,\vartheta )$ обозначены соответственно правые части уравнений (15.12).

Пусть $a$ и $\vartheta$-какие-либо решения уравнений (15.13). Для исследования вопроса об их устойчивости воспользуемся выведенными ранее условиями (см. (14.46), (14.47)). Применительно к нашему случаю они будут иметь следующий вид:
$$\begin{array}{l}a{R}_a^{\prime }(a,\vartheta )+{\mathrm{\Phi }}_{\vartheta }^{\prime }(a,\vartheta )<0,\\ R_a^{\prime }(a,\vartheta ){\mathrm{\Phi }}_{\vartheta }^{\prime }(a,\vartheta )-R_{\vartheta }^{\prime }(a,\vartheta ){\mathrm{\Phi }}_a^{\prime }(a,\vartheta )>0.\end{array}$$

Раскроем смысл этих неравенств.
Из (15.14) имеем:
$$a{R}_a^{\prime }(a,\vartheta )+{\mathrm{\Phi }}_{\vartheta }^{\prime }(a,\vartheta )=-2ua{\delta }_e(a)-2v{a}^2\frac{d{\delta }_e(a)}{da}+\frac{\epsilon E}{m}\cos \vartheta ,$$

откуда, принимая во внимание первое уравнение системы (15.12), находим:
$$a{R}_a^{\prime }(a,\vartheta )+{\mathrm{\Phi }}_{\vartheta }^{\prime }(a,\vartheta )=-2va\frac{d(a{\delta }_e(a))}{da}-2va{\delta }_e(a)=-2v\frac{d(a^2{\delta }_e(a))}{da}\mathrm{s}$$

Имея в виду введенные обозначения (15.15), можем написать:

где
$$W(a)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\epsilon f(a\cos (\omega t+\vartheta ),-a\omega \sin (\omega t+\vartheta ))a\omega \sin (\omega t+\vartheta )d(\omega t+\vartheta )$$

представляет среднюю мощность, рассеянную силой $\epsilon f(x,\frac{dx}{dt})$ при колебаниях
$$x=a\cos (\omega t+\vartheta ).$$

При обычных законах трения $W(a)$ возрастает вместе с амплитудой, так что
$$W^{\prime }(a)>0\text{. }$$

Таким образом, если ограничиться рассмотрением систем с обычным законом трения, то условие (15.14) согласно выражениям (15.16) и (15.17) будет всегда выполняться.

Рассмотрим теперь условие (15.15). Для этого исследуем зависимость $a$ и $\vartheta$ — решений уравнений (15.13) — от частоты $u$.
Дифференцируя (15.13) по v, получим:
$$\begin{array}{l}{R}_a^{\prime }\frac{da}{dv}+R_{\vartheta }^{\prime }\frac{d\vartheta }{dv}=-R_u^{\prime },\\ {\mathrm{\Phi }}_a^{\prime }\frac{da}{dv}+{\mathrm{\Phi }}_{\vartheta }^{\prime }\frac{d\vartheta }{dv}=-{\mathrm{\Phi }}_u^{\prime }\end{array}\}$$

откуда находим:
$$(R_a^{\prime }{\mathrm{\Phi }}_{\vartheta }^{\prime }-{\mathrm{\Phi }}_a^{\prime }{R}_{\vartheta }^{\prime })\frac{da}{du}={\mathrm{\Phi }}_u^{\prime }{R}_{\vartheta }^{\prime }-R_u^{\prime }{\mathrm{\Phi }}_{\vartheta }^{\prime }.$$

С другой стороны, из (15.13) имеем
$$\begin{array}{l}{R}_{\vartheta }^{\prime }=\frac{\epsilon E}{m}\sin \vartheta ,R_u^{\prime }=-2{\stackrel{`}{o}}_e(a)a,\\ {\mathrm{\Phi }}_{\vartheta }^{\prime }=\frac{\epsilon E}{m}\cos \vartheta ,{\mathrm{\Phi }}_u^{\prime }=-2va,\end{array}\}$$

в связи с чем правую часть (15.20) можем записать следующим образом:
$${\mathrm{\Phi }}_{\gamma }^{\prime }{R}_{\vartheta }^{\prime }-R_{\gamma }^{\prime }{\mathrm{\Phi }}_{\vartheta }^{\prime }=2a\approx (-u\frac{E}{m}\sin \vartheta +{\delta }_e(a)\frac{E}{m}\cos \vartheta ),$$

чли, учитывая уравнения (15.9), в виде
$${\mathrm{\Phi }}_{\gamma }^{\prime }{R}_{\vartheta }^{\prime }-R_{\gamma }^{\prime }{\mathrm{\Phi }}_{\vartheta }^{\prime }=2u{a}^2[({\omega }_e^2(a)-u^2)-2{\hat{\delta }}_e^2(a)].$$

Таким образом, из (15.20) и (15.22) вытекает, что
$$(R_a^{\prime }{\mathrm{\Phi }}_{\vartheta }^{\prime }-{\mathrm{\Phi }}_a^{\prime }{R}_{\vartheta }^{\prime })\frac{da}{du}=2v{a}^2[({\omega }_e^2(a)-u^2)-2{\delta }_e^2(a)].$$

После этого очевидно, что условие устойчивости (15.15) может быть представлено в виде
$$\begin{array}{l}\frac{da}{du}>0,\text{ если }{\omega }_e^2(a)>u^2+2{\delta }_e^2(a),\\ \frac{da}{du}<0,\text{ если }{\omega }_e^2(a)<u^2+2{\delta }_e^2(a),\end{array}\}$$

или с точностью до величин первого порядка малости ( ${\dot{\delta }}_e^2(a)$ — величина второго порядка малости):
$$\begin{array}{l}\frac{da}{dv}>0,\text{ если }{\omega }_e(a)>u,\\ \frac{da}{dv}<0,\text{ если }{\omega }_e(a)<u,\end{array}\}$$

Полученные условия устойчивости (15.24) очень удобны при графическом представлении зависимости амплитуды от частоты.

В самом деле, воспользовавшись уравнением (15.10), построим кривую (рис. 79)
$$a=F(v)$$
(резонансную кривую), а также построим кривую
$$a=F_0(u),$$

определяемую уравнением точного резонанса
$${\omega }_e(a)=u$$
(так называемую скелетную кривую).
Тогда на ветви кривой (15.25), лежащей левее кривой (15.26), устойчивыми (т. е. соответствующими устойчивым амплитудам) будут те участки, на которых a возрастает вместе с $v$; на ветви, лежащей правее кривой (15.26), наоборот, устойчивыми будут те участки, на которых а убывает с возрастанием v.
Графическое построение делает наглядной зависимость устойчивой стационарной амплитуды от частоты возбуждающей силы и, в частности, позволяет определить точки срыва и скачка, обусловливающие гистерезисные явления, характерные только для нелинейных систем.
В качестве конкретного примера рассмотрим нелинейный вибратор с жесткой характеристикой нелинейной восстанавливающей силы ( $F=$ $=cx+d{x}^3$ ), находящийся под воздействием внешней синусоидальной силы. Пусть колебания вибратора описываются уравнением вида
$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+b\frac{dx}{dt}+cx+d{x}^3=E\sin vt,$$

где $x$ — координата, определяющая положение системы, $t$ — время, $m$ — масса системы, $b$ — коэфициент сопротивления, $F=cx+d{x}^3$ — нелинейная восстанавливающая упругая сила, $E$ и v-соответственно амплитуда и частота внешней синусоидальной силы.
Введем для упрощения безразмерные $x_1$ и $t_1$ по формулам:
$$x_1=\sqrt{\frac{c}{d}}x,t_1=\sqrt{\frac{c}{m}}t.$$

Тогда уравнение (15.27) можно представить в виде
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\delta \frac{dx}{dt}+x+x^3=E_1\sin vt,$$

где $\delta =\frac{b}{\sqrt{mc}},E_1=\frac{E}{c}\sqrt{\frac{a}{c}}$ и для упрощения опущены индексы при $x$ и $t$.
Допустим теперь, что в исследуемой системе трение, а также амплитуда внешней силы являются малыми и, кроме того, характеристика нелинейной восстанавливающей силы достаточно близка к линейной.
Тогда, сопоставляя уравнение (15.28) с (15.1), имеем:
$$\epsilon f(x,\frac{dx}{dt})=-\delta \frac{dx}{dt}-x^3,\epsilon E=E_1,$$

после чего, воспользовавшись формулами (15.2), (15.5) и (15.7), получим в первом приближении решение уравнения (15.18) для случая основного резонанса в виде
$$x=a\cos (vt+\vartheta ),$$

где $a$ и $\vartheta$ должны быть определены из системы уравнений
$$\begin{array}{l}\frac{da}{dt}=-\frac{\delta a}{2}-\frac{E_1}{1+u}\cos \vartheta ,\\ \frac{d\vartheta }{dt}=1-u+\frac{3a^2}{8}+\frac{E_1}{a(1+u)}\sin \vartheta .\end{array}\}$$

Перейдем сразу к рассмотрению стационарного режима синхронных колебаний. При таком режиме в первом приближении согласно (15.30) величина $x$ будет изменяться по косинусоиде с частотой внешнего [возбуждения и с постоянными амплитудой и фазой, определяемыми с точностью до величин второго порядка малости системой уравнений
$$\begin{array}{r}-\delta a-E_1\cos \vartheta =0,\\ a[{(1+\frac{3a^2}{8})}^2-u^2]+E_1\sin \vartheta =0.\end{array}\}$$

Согласно (15.5) для уравнения (15.28) имеем:
$${\delta }_e(a)=\delta ,{\omega }_e(a)=1+\frac{3a^2}{8}.$$

Исключая из соотношений (15.32) фазу $\vartheta$ (или нешосредственно подставляя значения ${\delta }_e(a)$ и ${\omega }_e(a)(15.33)$ в (15.10)), находим следующую зависимость между амплитудой стационарных колебаний и частотой внешней силы:
$$a^2\{{[{(1+\frac{3a^2}{8})}^2-u^2]}^2+{\delta }^2\}=E^2$$

из которой находим:
\[

u=\sqrt{\omega_{e}^{2}(a) \pm \sqrt{\frac{E_{1}^{2}}{a^{2}}-\delta^{2}}} .
\]

При помощи этой зависимости строим резонансную кривую (рис. 80), а также скелетную кривую, определяемую уравнением
$$1+\frac{3a^2}{8}=u$$
(рис. 80, пунктирная линия).
При помощи полученной диаграммы согласно приведенному на стр. 190 правилу легко установить зоны устойчивых и неустойчивых амплитуд.

Так, устойчивым амплитудам будут соответствовать участки резонансной кривой $MAB$

Рис. 80. и $DCN$. Точки $B$ и $D$ будут являться точками срыва и скачка амплитуды.

Диаграмма, прпведенная на рис. 80 , позволяет полностью проанализировать характер колебаний в исследуемой системе при изменении частоты внешней силы. Так, при увеличении частоты внешней силы, начииая от малых значений, амплитуда вынужденных колебаний парастает сначала по кривой $MAB$. В точке $B$ происходит срыв амплитуды — значение амплитуды скачком переходит в точку $C$ и при дальнейшем увеличении частота изменяется по кривой $CN$. Если теперь начать уменьшать частоту, то амплитуда вынужденных колебаний будет изменяться по кривой $NCD$. Дойдя до точки $D$, значение амплитуды перейдет в точку $A$ и дальше будет изменяться по верхней ветви резонансной кривой $AM$.

Заметим, что, говоря об изменении частоты внешней силы, мы подразумеваем очень медленное ее изменение, такое, что практически в каждый момент систему можно рассматривать как стационарную. Ниже этот вопрос будет более подробно рассмотрен в связи с явлением прохождения через резонанс.

Приведем теперь решение уравнения (15.28), соответствующее второму приближению. Согласно формулам (15.4) и (14.42) во втором приближении имеем:
$$x=a\cos (vt+\vartheta )+\frac{a^3}{32}\cos 3(vt+\vartheta ),$$

где $a$ и $\vartheta$ должны быть определены из системы уравнений второго при ближения:
$$\begin{array}{l}\frac{da}{dt}=-\frac{\delta a}{2}+\frac{3a^3\delta }{16}-E_1[\frac{1}{1+u}-\frac{3a^2(7-u)}{8(3-u)(1+v{)}^2}]\cos \vartheta -\frac{E_1\delta }{2(1+u{)}^2}\sin \vartheta ,\\ \frac{d\vartheta }{dt}=1-u+\frac{3a^2}{8}-\frac{{\delta }^2}{8}-\frac{15a^4}{256}+\\ +\frac{E_1}{a}[\frac{1}{1+u}-\frac{3a^2(5-3v)}{8(3-u)(1+u{)}^2}]\sin \vartheta -\frac{E_1\delta }{2a(1+u{)}^2}\cos \vartheta .\end{array}$$

Как следует из выражения (15.37), во втором приближении появляются высшие гармоники, п колебание уже не будет являться чисто синусоидальным.

Приравнивая правые части уравнений (15.38) нулю и исключая угол $\vartheta$, получаем зависимость между амплитудой колебания $a$ и часто-
Рис. 81 той внешней силы $\vee$ во втором приближении. При помощи этого соотношения строим резонансную кривую во втором приближении (рис. 81, пунктирная линия).
Как указывалось выпе, в колебательной системе, описываемой уравнением (15.1), в первом приближении возможно обнаружить только один резонанс, а именно главный резонанс $(p=1,q=1)$. Демультипликационные резонансы заметны только при рассмотрении высщих приближений.

Для того чтобы проиллюстрировать это, построим первое и второе приближение для колебательной системы, описываемой уравнением (15.28) в случае $p=1,q=3$.
Согласно формулам (14.38), (14.39) в первом приближении имеем:
$$x=a\cos (\frac{1}{3}vt+\vartheta )\text{, }$$

где $a$ и $\vartheta$ должны быть определены из уравнений
$$\begin{array}{l}\frac{da}{dt}=-\frac{\delta a}{2},\\ \frac{d\vartheta }{dt}=1-\frac{1}{3}u+\frac{3a^2}{8}.\end{array}\}$$

Правые части уравнений (15.40) зависят только от $a$ и характеризуют систему в нерезонансном случае. Интегрируя эти уравнения, получаем для $x$ выражение
$$x=a_0{e}^{-\frac{\delta }{2}t}\cos [t-\frac{3a_0^2}{8\delta }{e}^{-\delta t}+{\vartheta }_0],$$
$a_0$ и ${\vartheta }_0$ — произвольные постоянные. Таким образом, в первом приближении колебания системы описываются затухающей по экспоненциальному закону косинусоидой и частота колебаний зависит от амплитуды.

Никакого әффекта резонанса в первом приближении не будет; а ввиду того, что амплитуда внешнего синусоидального возбуждения порядка $\epsilon$, то в первом приближении не имеют места даже вынужденные колебания с частотой возбуждения (вынужденные колебания будут заметны при рассмотрении улучшенного первого приближения).

Подсчитаем теперь второе приближение. Воспользовавшись формулами (14.40) и (14.41), находим для $x$ следующее выражение:
$$x=a\cos (\frac{1}{3}ut+\vartheta )+\frac{a^3}{32}\cos 3(\frac{1}{3}vt+\vartheta )-\frac{E_1}{8}\sin vt,$$

в котором $a$ и $\vartheta -$ репения уравнений:
$$\begin{array}{l}\frac{da}{dt}=-\frac{\delta a}{2}+\frac{3}{16}\cdot a^3-\frac{3a^2{E}_1}{32(1+\frac{u}{3})}\cos 3\vartheta ,\\ \frac{d\vartheta }{dt}=1-\frac{u}{3}+\frac{3a^2}{8}-\frac{{\hat{\delta }}^2}{8}-\frac{15a^4}{256}+\frac{3a{E}_1}{32(1+\frac{u}{3})}\sin 3\vartheta .\end{array}$$

Выражения (15.42) и (15.43) свидетельствуют о влиянии внешнего возбуждения на колебательную систему, которое мы обнаруживаем при рассмотрении второго приближения. Так, согласно (15.42) в выражении для $x$, кроме обертонов собственной частоты, появились также и гармоники с частотой внешней силы. При помощи уравнений (15.43) мы можем обнаружить резонансные зоны и построить резонансные кривые.

Приравнивая правые части уравнений (15.43) нулю, получаем с точностью до величин третьего порядка малости следующие зависимости, определяющие стационарные значения амплитуды $a$ п фазы колебаний $\vartheta$ :
$$\begin{array}{l}-{\delta }_e(a)a-\frac{3a^2{E}_1}{32}\cos 3\vartheta =0,\\ {\omega }_e^2(a)-\frac{u^2}{9}+\frac{3a{E}_1}{32}\sin 3\vartheta =0.\end{array}\}$$

Здесь введены обозначения:
$$\begin{array}{l}{\delta }_e(a)=\delta -\frac{3}{8}\delta a^2,\\ {\omega }_e^2(a)=1+\frac{3a^2}{4}-\frac{{\delta }^2}{4}-\frac{15a^4}{128}.\end{array}\}$$

Исключая из зависимостей (15.44) фазу $\vartheta$, находим соотношение между амплитудой и частотой возмущающей силы:
$${[{\omega }_e^2(a)-\frac{v^2}{9}]}^2+{\delta }_e^2(a)=\frac{9a^2{E}_1^2}{1026},$$

или
\[

u=3 \sqrt{\omega_{e}^{2}(a) \pm \sqrt{\frac{9 a^{2} E_{1}^{2}}{1026}-\delta_{e}^{2}(a)}},
\]

при помощи которого можно построить резонансную кривую.
Приведем теперь пример, для которого уже в первом приближении
Рис. 82. можно обнаружить дробный резонанс.
Рассмотрим линейный колебательный контур с регенерацией при помощи электронной лампы (рис. 82).
Как известно, на этом примере Мандельштамом и Папалекси [29] было изучено явление резонанса $n$-го рода, причем решение получаемого уравнения находилось для установившегося режима методом Пуанкаре, а для исследования процесса установления колебаний применялся метод Ван-дер-Поля.
Для указанной колебательной системы дифференциальное уравнение, описывающее движение, имеет вид
$$CL\frac{d^{2}i}{d{\tau }^2}+CR\frac{di}{d\tau }+i=i_a+C\frac{d\mathcal{E}}{d\tau },$$

где
$$i_a=f_0\left(V_{\mathrm{s}}\right)$$

есть уравнение характеристики лампы, зависящее от управляющего напряжения.

После ряда преобразований уравнение (15.48) может быть сведено к виду*)
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+x=\epsilon f(x,\frac{dx}{dt})+E\sin nt,$$

где обозначено:
$$\begin{array}{c}f(x,\frac{dx}{dt})=F^{\prime }(x)\frac{dx}{dt}+\frac{\xi }{1+\xi }x,\\ F(x)=\frac{1}{1+\xi }{f}_1(x)-2\vartheta x,\end{array}\}$$
*) См. [29], т. II, стр. 21.

Остановимся на исследовании резонансного случая. Для того чтобы можно было применить для построения приближенного решения формулы $\mathrm{\$}14$, необходимо в уравнении (15.50) сделать замену переменных:
$$x=y+\frac{E}{1-n^2}\sin nt,$$

после чего получаем следуюпее уравнение:
$$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+y=\epsilon f[y+\frac{E}{1-n^2}\sin nt,\frac{dy}{dt}+\frac{En}{1-n^2}\mathrm{con}nt].$$

Допустим, что регенерация в контуре осуществляется при помощи электронной лампы с характеристикой:
$$i_a=a+bx+c{x}^2-d{x}^3,$$

где $V_0=12b,I_0=142ма,a,b,c,d-$ постоянные. Тогда для правой частп (15.50) получаем выражение
$$f(x,\frac{dx}{dt})=(k+2x+\gamma x^2)\frac{dx}{dt}+\frac{\xi }{0,016}x,$$

в котором приняты обозначения:
$$\begin{array}{c}s=\frac{0,016}{1+\xi },k=k_0+2\overline{\vartheta }\frac{\xi }{\beta },\beta =0,016,\\ \overline{\vartheta }=0,013,\gamma =-2,k_0=-0,05\\ (a=0,95,b=3,35,c=2,25,d=1,5).\end{array}\}$$

Подставляя значение $f(x,\frac{dx}{dt})$ (15.56) в уравнение (15.54), находим для правой части рассматриваемого уравнения следующее выражение:
$$\begin{array}{l}f[y+\frac{E}{1-n^2}\sin nt,\frac{dy}{dt}+\frac{En}{1-n^2}\cos nt]=\\ =[k+2y+\frac{2E}{1-n^2}\sin nt+\gamma (y^2+\frac{2yE}{1-n^2}\sin nt+\\ +\frac{E^2}{{(1-n^2)}^2}{\sin }^{2}nt)](\frac{dy}{dt}+\frac{En}{1-n^2}\cos nt)+\\ +\frac{\xi }{0,016}(y+\frac{E}{1-n^2}\sin nt).\end{array}$$

Построим тешерь решение уравнения (15.54) в первом приближении для случая $n=2$, т. е. для случая, когда в колебательной системе может возникнуть резонанс деления на два.

Воспользовавшись формулами (14.39) и (14.25) и полагая $p=1$, $q=2$, после ряда выкладок получаем:
$$y=a\cos (t+\vartheta ),$$

где $a$ и $\vartheta$ должны быть определены из системы уравнений первого приближения
$$\begin{array}{l}\frac{da}{dt}=\epsilon \{\frac{1}{2}a(k+\frac{\gamma a^2}{4})+\frac{\gamma E^{2}a}{36}+\frac{aE}{6}\sin 2\vartheta \},\\ \frac{d\vartheta }{dt}=\epsilon \{-\frac{\xi }{2\beta }+\frac{E}{6}\cos 2\vartheta \}.\end{array}\}$$

Система уравнений первого приближения (15.60) дает возможность исследовать как стационарный режим, так и процесс установления колебаний при резонансе второго рода.

Для исследования процесса установления колебаний необходимо проинтегрировать систему (15.60) и найти $a$ и $\vartheta$ как функции времени. В данном случае интегрирование системы (15.60) может быть произведено до конца. Для этого сделаем в уравнениях (15.60) замену переменных согласно формулам:
$$u=a\cos \vartheta ,v=a\sin \vartheta .$$

После ряда выкладок вместо уравнений (15.60) получаем для новых переменных $и$ и $v$ следующую систему:
$$\begin{array}{l}\frac{du}{dt}=\epsilon \{\frac{1}{2}u[k+\frac{\gamma }{4}(u^2+v^2)]+\frac{\gamma E^2}{36}u+\frac{E}{6}v+\frac{\xi }{2\beta }v\},\\ \frac{dv}{dt}=\epsilon \{\frac{1}{2}v[k+\frac{\gamma }{4}(u^2+v^2)]+\frac{\gamma E^2}{36}v+\frac{E}{6}u-\frac{\xi }{2\beta }u\}.\end{array}\}$$

Система (15.62), как это показано в работе [29], может быть приведена к уравнению типа Бернулли.

Действительно, умножая уравнения (15.62) соответственно на v и $u$ и вычитая из первого второе, находим:
$$v\frac{du}{dt}-u\frac{dv}{dt}=v^2\frac{d}{dt}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{\epsilon }{2}[-(u^2-v^2)\frac{E}{3}-(u^2+v^2)\frac{\xi }{\beta }].$$

Умножая первое уравнение системы (15.62) на $u$ и складывая полученный результат со вторым уравнением, умноженным на $v$, получим:
$$\frac{da}{dt}=\epsilon a[k+\frac{\gamma }{4}(a+\frac{2E^2}{9})]+\frac{2\epsilon uv}{3}E.$$

Обозначая
$$\frac{u}{v}=\chi ,$$

можем вместо (15.63) и (15.64) написать следующую систему:
$$\begin{array}{l}\frac{d\gamma }{dt}=\frac{\epsilon }{2}[(-\frac{E}{3}-\frac{\xi }{\beta }){\chi }^2-(-\frac{E}{3}+\frac{\xi }{\beta })],\\ \frac{dn}{dt}=\epsilon a[k+\frac{\gamma }{4}(a+\frac{2E^2}{9})]-\frac{2\epsilon Ea}{3}\frac{\chi }{1+{\chi }^2}.\end{array}$$

Уравнение (15.66) легко интегрируется.
После того как мы определим из него $\chi (t)$, (15.67) может быть приведено к виду
$$\frac{da}{dt}=\frac{\epsilon \gamma }{4}{a}^2+\phi (t)a,$$

где $\phi (t)$ — известная функция времени.
Подстановкой $W=\frac{1}{a}$ (15.68) приводится к линейному уравнению
$$\frac{dW}{dt}=-\phi (t)W-\frac{\epsilon \gamma }{4}.$$

В результате получаем следующую известную формулу, выражающую закон изменения амплитуды колебания со временем:
$$a=\frac{{\int }_0^0\phi (t)dt}{C_1-\frac{\epsilon \gamma }{4}{\int }_0^t{e}^t\phi (t)dt}dt$$

где $C_1$ — постоянная интегрирования.
Перейдем теперь к определению установившихся колебаний, совершающихся с постоянной амшлитудой и фазой.

Iриравнивая правые части системы (15.60) нулю, получаем соотнопения:
$$\begin{array}{rl}k+\frac{\gamma a^2}{4}+\frac{\gamma E^2}{18}+\frac{E}{3}\sin 2\vartheta & =0,\\ -\frac{\xi }{\beta }+\frac{E}{3}\cos 2\vartheta & =0,\end{array}\}$$

определяющие стационарные значения амшлитуды и фазы колебаний. Исключая из (15.71) фазу $\vartheta$, находим известную зависимость
$$a^2=-\frac{2E^2}{9}-\frac{4}{\gamma }[k\pm \sqrt{\frac{E^2}{9}-\frac{{\xi }^2}{{\beta }^2}}],$$

при помощи которой можно построить резонансиые кривые, характеризующие зависимость амплитуды $a$ от расстройки है (рис. 83). Стационарные значения фазы $\vartheta$ находим с помощью формулы
$$\mathrm{tg}2\vartheta =-\frac{k+\frac{\gamma a^2}{4}+\frac{\gamma E^2}{18}}{\frac{\xi }{\beta }},$$

Рис. 83.
где $a$ определяется из (15.72).
Для определения устойчивых значений стадионарной амплитуды поступаем согласно общим правилам.
Находим сначала величины:
$$\begin{array}{l}{A}_a^{\prime }(a,\vartheta )=\frac{1}{2}(k+\frac{3\gamma a^2}{4})+\frac{\gamma E^2}{36}+\frac{E}{6}\sin 2\vartheta ,\\ A_{\vartheta }^{\prime }(a,\vartheta )=\frac{Ea}{3}\cos 2\vartheta ,\\ B_a^{\prime }(a,\vartheta )=0,\\ B_{⋎}^{\prime }(a,\vartheta )=-\frac{E}{3}\sin 2\vartheta .\end{array}\}$$

После этого составляем уравнения в вариациях:
$$\begin{array}{l}\frac{d5a}{dt}=\epsilon \{\frac{1}{2}(k+\frac{3\gamma a^2}{4})+\frac{\gamma E^2}{36}+\frac{E}{6}\sin 2\vartheta \}\lesssim a+\\ \frac{d\hat{\delta }\vartheta }{dt}=-\frac{E}{3}\sin 2\vartheta \partial \vartheta \end{array}$$

из которых находим условия устойчивости стационарных значений $a$ и ษ:
$$\begin{array}{r}\frac{1}{2}(k+\frac{3\gamma a^2}{4})+\frac{\gamma E^2}{36}+\frac{E}{6}\sin 2\vartheta -\frac{E}{3}\sin 2\vartheta <0,\\ \{\frac{1}{2}(k+\frac{3\gamma a^2}{4})+\frac{\gamma E^2}{36}+\frac{E}{6}\sin 2\vartheta \}(-\frac{E}{3}\sin 2\vartheta )>0.\end{array}\}$$

Эти условия после ряда преобразований можно представить в виде следующих известных неравенств:
$$\begin{array}{c}k+\frac{1}{2}\gamma a^2+\frac{\gamma E^2}{18}<0,\\ \gamma [k+\frac{\gamma a^2}{4}+\frac{\gamma E^2}{18}]>0,\end{array}$$

анализ которых совместно с зависимостью (15.72) дает возможность определить величину и границы областей устойчивости периодического решения с периодом $2{\pi }^{\ast }$ ).