Главная > АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ (H.Н. БОТОЛЮБОВ и ЮА.МИТРОПОЛЬСКИЙ)
<< Предыдущий параграф
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Проблема обоснования асимптотических методов может исследоваться с различных точек зрения.

Можно, например, искать условия, при которых разность между точным решением и его асимптотическим приближением для достаточно малых значений параметра становится сколь угодно малой на сколь угодно большом, но все же конечном интервале времени.

Можно также поставить и значительно более сложные задачи, пытаясь устанавливать соответствие между такими свойствами точных и приближенных решений, которые зависят от их поведения на бесконечном интервале.

В настоящем параграфе мы будем рассматривать первую задачу как более простую.

Поскольку излагавшиеся ранее асимптотические методы допускают приведение к методу усреднения, мы для общности сформулируем ее применительно к системе дифференциальных уравнений в стандартной форме.
Итак, будем рассматривать систему уравнений
\[
\frac{d x}{d t}=\varepsilon X(t, x)
\]
( $x, X$-точки $n$-мерного евклидова пространства) с малым параметром в.
Построим для нее соответствующую систему усредненных уравнений
\[
\frac{d \xi}{\mid d t}=\varepsilon X_{0}(\xi)
\]

и приступим к доказательству теоремы, устанавливающей, что при весьма общих условиях разность $x(t)-\xi(t)$ может быть сделана сколь угодно малой для достаточно малого $\varepsilon$ на сколь угодно большом интервале $0<t<T$. Так как $\xi(t)$ зависит от $t$ через посредство произведения $\varepsilon t$, то для того, чтобы в течение указанного интервала времени $\xi$ могло успеть значительно отойти от своего начального значения, т. е. чтобы этот интервал оказался достаточно длительным с точки зрения изменения $\xi$, за $T \boldsymbol{\|}$ следует брать величину порядка $\frac{L}{\varepsilon}$, где $L$ может быть сделано сколь угодно большим при достаточно малом ะ.

Сформулируем поэтому утверждение о малости ошибки $x(t)-\xi(t)$ первого приближения следующим образом.
Теорема. Если функция $X(t, x)$ удовлетворяет условиям:
a) Для некоторой области $D$ можно указать такие положительные постоянные $M$ и $\lambda$, что для всех вещественных значений $t \geqslant 0$ и для любых точек $x, x^{\prime}, x^{\prime \prime}$ из этой области удовлетворяются неравенства
\[
|X(t, x)| \leqslant M ;\left|X\left(t, x^{\prime}\right)-X\left(t, x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant \lambda\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right| .
\]
б) Равномерно по отношению к $x$ в области $D$ существует предел
\[
\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} X(t, x) d t=X_{0}(x) .
\]

Тогда любым, сколь угодно малым положительным $\rho$, $\eta$ и сколь угодно большому $L$ можно сопоставить такое положительное $\varepsilon_{0}$, что если $\xi=\xi(t)$ есть решение уравнения
\[
\frac{d \xi}{d t}=\varepsilon X_{0}(\xi)
\]

определенное в интервале $0<t<\infty$ и лежащее в области $D$ вместе со всей своей $\rho$-окрестностью $\left.{ }^{*}\right)$, то для $0<\varepsilon<\varepsilon_{0}$ в интервале $0<t<\frac{L}{\varepsilon}$ справедливо неравенство
\[
|x(t)-\xi(t)|<\eta,
\]

в котором $x=x(t)$ представляет решение уравнения
\[
\frac{d x}{d t}=\varepsilon X(t, x)
\]

совпадающее с $\xi(t)$ при $t=0$.
Доказательство. Фиксируем некоторое положительное число $a$ и строим функцию
\[
\Delta_{a}(x)=\left\{\begin{array}{cl}
A_{a}\left\{1-\frac{|x|^{2}}{a^{2}}\right\}^{2}, & |x| \leqslant a, \\
0, & |x|>a,
\end{array}\right.
\]

где положительная постоянная $A_{a}$ определяется соотношением
\[
\int_{E_{n}} \Delta_{a}(x) d x=1
\]

в котором интегрирование выполняется по всему рассматриваемому пространству $E_{n} ; d x$ обозначает бесконечно малый элемент обычного $n$-мерного евклидова объема.

Очевидно, введенная функция $\Delta_{a}(x)$ ограничена вместе со своими частными производными до второго порядка включительно. Так как эта функция и ее производные тождественно равны нулю для $|x|>a$, нетрудно убедиться, что интеграл
\[
I_{a}=\int_{E_{n}}\left|\frac{\partial \Delta_{a}(x)}{\partial x}\right| d x
\]

оказывается конечным для всякого положительного $a$.
*) Мы будем называть $p$-окрестностью некоторого множества $A$ множество всех точек, расстояние которых до $A$ меньше $\rho$.

Заметив это, рассмотрим функцию
\[
u(t, x)=\int_{D} \Delta_{a}\left(x-x^{\prime}\right)\left\{\int_{0}^{t}\left[X\left(t, x^{\prime}\right)-X_{0}\left(x^{\prime}\right)\right] d t\right\} d x^{\prime} .
\]

В силу условия б) можно построить такую монотонно убывающую функцию $f(t)$, стремящуюся к нулю при $t \rightarrow \infty$, что во всей области $D$
\[
\left|\frac{1}{t} \int_{0}^{t}\left[X(t, x)-X_{0}(x)\right] d t\right| \leqslant f(t) .
\]

Имеем поэтому
\[
|u(t, x)| \leqslant t f(t) \int_{D} \Delta_{a}\left(x-x^{\prime}\right) d x^{\prime} \leqslant t f(t) \int_{E_{n}} \Delta_{a}\left(x-x^{\prime}\right) d x^{\prime}=t f(t) \int_{E_{n}} \Delta_{a}\left(x^{\prime}\right) d x^{\prime},
\]
T. e.
\[
|u(t, x)| \leqslant t f(t) .
\]

Далее имеем:
\[
\left.\frac{\partial u(t, x)}{\partial x}\left|\leqslant t f(t) \int_{D}\right| \frac{\partial \Delta_{a}\left(x-x^{\prime}\right)}{\partial x}\left|d x^{\prime} \leqslant t f(t) \int_{E_{n}}\right| \frac{\partial \Delta_{a}(x)}{\partial x} \right\rvert\, d x,
\]

или ввиду (26.7)
\[
\left|\frac{\partial u(t, x)}{\partial x}\right| \leqslant I_{a} t f(t)
\]

С другой стороны, благодаря условию а)
\[
\left|X_{0}(x)\right| \leqslant M ; \quad\left|X_{0}\left(x^{\prime}\right)-X_{0}\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant \lambda\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right| ; \quad x, x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in D,
\]

и потому
\[
\left|X\left(t, x^{\prime}\right)-X_{0}\left(x^{\prime}\right)-X(t, x)+X_{0}(x)\right| \leqslant 2 \lambda\left|x^{\prime}-x\right| ; \quad x, x^{\prime} \in D .
\]

Заметим теперь из (26.8), что
\[
\frac{\partial u(t, x)}{\partial t}=\int_{D}\left\{X\left(t, x^{\prime}\right)-X_{0}\left(x^{\prime}\right)\right\} \Delta_{a}\left(x-x^{\prime}\right) d x^{\prime},
\]

откуда на основании (26.13) убеждаемся, что в области $D$ справедливо неравенство
\[
\left|\frac{\partial u(t, x)}{\partial t}-\left\{X(t, x)-X_{0}(x)\right\} \int_{D} \Delta_{a}\left(x-x^{\prime}\right) d x^{\prime}\right| \leqslant 2 \lambda a .
\]

Но по определению функции $\Delta_{a}(x)$ для любой точки $x$, $a$-окрестность которой принадлежит $D$, имеем:
\[
\int_{D} \Delta_{a}\left(x-x^{\prime}\right) d x^{\prime}=\int_{\left|x-x^{\prime}\right|<a} \Delta_{a}\left(x-x^{\prime}\right) d x^{\prime}=1,
\]

и таким образом, соотношение (26.14) для таких точек дает:
\[
\left|\frac{\partial u(t, x)}{\partial t}-X(t, x)+X_{0}(x)\right| \leqslant 2 \lambda a .
\]

Фиксируем теперь число $a$ так, чтобы
\[
a<\rho, \quad a<\frac{\eta^{*}}{8 \lambda L e^{L \lambda}}, \quad \text { где } \eta^{*}=\min (\eta, \rho),
\]

и введем функции
\[
F(\varepsilon)=\sup _{|\tau| \leqslant L}\left|\tau f\left(\frac{\varepsilon}{\varepsilon}\right)\right| ; \quad \Phi(t)=\frac{1}{t^{2}} \int_{0}^{t} t f(t) d t
\]

Ӥмеем, очевидно,
\[
F(\varepsilon) \rightarrow 0, \quad \varepsilon \rightarrow 0 ; \quad \Phi(t) \rightarrow 0, \quad t \rightarrow \infty .
\]

Поэтому можем найти столь малое положительное $\varepsilon_{0}$, чтобы для всякого положительного $\varepsilon$, не превосходящего $\varepsilon_{0}$, удовлетворялись неравенства
\[
F(\varepsilon)<a ; \quad F(\varepsilon)<\frac{\eta^{*}}{2} ; \quad \Phi\left(\frac{L}{\varepsilon}\right) \leqslant \frac{\eta^{*}}{4 L^{2} e^{L \lambda}\left(\lambda+I_{a} M\right)} .
\]

Произведя такой выбор, рассмотрим выражение
\[
\bar{x}=\bar{x}(t)=\xi(t)+\varepsilon u(t, \xi(t)),
\]

где $\xi(t)$ есть решение уравнения (26.2), принадлежащее со своей $\rho$-окрестностью к области $D$. Благодаря (26.10), (26.16), (26.17) имеем:
\[
|s u(t, \xi)| \leqslant s t f(t) \leqslant F(s)<a<\rho
\]

в интервале
\[
0<t<\frac{L}{\varepsilon},
\]

и потому в этом интервале $\bar{x}(t) \in D$.
Имеем далее:
\[
\frac{d \bar{x}}{d t}-\varepsilon X(t, \bar{x})=R,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
R=\frac{d \xi}{d t}+\varepsilon \frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{d \xi}{d t}+\varepsilon \frac{\partial u}{\partial t}-\varepsilon X(t, \xi+\varepsilon u)=\varepsilon\left\{\frac{\partial u}{\partial t}-X(t, \xi)+X_{0}(\xi)\right\}+ \\
+\varepsilon^{2} \frac{\partial u}{\partial \xi} X_{0}(\xi)+\varepsilon\{X(t, \xi)-X(t, \xi+\varepsilon u)\} .
\end{array}
\]

Отсюда вследствие неравенства, (26.10), (26.11), (26.12), (26.15) получаем:
\[
|R| \leqslant 2 \lambda a \varepsilon+I_{a} M \varepsilon^{2} t f(t)+\lambda \varepsilon^{2} t f(t)
\]

и, таким образом, в рассматриваемом интервале (26.20) найдем:
\[
\int_{0}^{t} e^{\varepsilon \lambda(t-\tau)}|R(\tau)| d \tau \leqslant e^{L \lambda} \int_{0}^{L / s}|R(t)| d t<\left\{2 \lambda a L+\left(I_{a} M+\lambda\right) L^{2} \Phi\left(\frac{L}{\varepsilon}\right)\right\} e^{\lambda L},
\]

или ввиду (26.16), (26.17)
\[
\int_{0}^{t} e^{3 \lambda(t-\tau)}|R(\tau)| d \tau<\frac{\eta^{*}}{4}+\frac{\eta^{*}}{4}=\frac{\eta^{*}}{2}
\]

так что
\[
\int_{0}^{t} e^{\varepsilon \lambda(t-\tau)}|R(\tau)| d \tau<\frac{\eta}{2} ; \quad \int_{0}^{t} e^{\varepsilon \lambda(t-\tau)}|R(\tau)| d \tau<\frac{\rho}{2} .
\]

Пусть теперь $x=x(t)$ представляет решение уравнения (26.1), для которого $x(0)=\xi(0)$.
Тогда в интервале
\[
0<t<t^{*} ; \quad t^{*} \leqslant \frac{L}{\varepsilon},
\]

в котором $x(t) \in D$, можно написать:
\[
|X(t, x)-X(t, \bar{x})| \leqslant \lambda|x-\bar{x}|,
\]

откуда благодаря (26.21) замечаем, что
\[
\left|\frac{d(x-\bar{x})}{d t}\right| \leqslant \lambda s|x-\bar{x}|+|R(t)|,
\]

и так как разность $x-\bar{x}$ аннулируется при $t=0$, то
\[
|x-\bar{x}| \leqslant \int_{0}^{t} e^{\varepsilon \lambda(t-\tau)}|R(\tau)| d \tau .
\]

Поэтому на основании (26.22) видим, что в интервале (26,23) выполняются неравенства
\[
|x-\bar{x}|<\frac{\eta}{2}, \quad|x-\bar{x}|<\frac{p}{2},
\]

из которых вследствие (26.18), (26.19) убеждаемся, что
\[
|x-\xi|<\frac{\eta}{2}+F(\varepsilon)<\eta ; \quad|x-\xi|<\frac{\rho}{2}+F(\varepsilon)<p .
\]

Покажем теперь, что число $t^{*}$ может быть взято равным $\frac{L}{\varepsilon}$,
В самом деле, если этого сделать нельзя, то неравенство
\[
|x-\xi|<p
\]

не может выполняться во всем интервале ( $0, \frac{L}{\varepsilon}$ ), так как в последнем случае мы имели бы $x(t) \in D$ для всякого $t$ из $\left(0, \frac{L}{\varepsilon}\right)$. Но так как неравенство (26.25) заведомо выполняется для достаточно малых $t$, то из соображений непрерывности ясно, что существует такое $t_{1}$, что в интервале $\left(0, t_{1}\right)$ это неравенство выполняется и, кроме того,
\[
\left|x\left(t_{1}\right)-\xi\left(t_{1}\right)\right|>\rho-\delta,
\]

где за $\delta$ может быть взято любое сколь угодно малое число. Возьмем
\[
\delta=\frac{1}{2}\left\{\frac{p}{2}-F(\varepsilon)\right\}
\]

и положим $t^{*}=t_{1}$, что возможно, так как на сегменте $\left[0, t_{1}\right]$ точка $x(t)$ принадлежит к области $D$. Но тогда в силу (26.24)
\[
\left|x\left(t_{1}\right)-\xi\left(t_{1}\right)\right|<\frac{\rho}{2}+F(\varepsilon)=\rho-2 \delta<\rho-\delta,
\]

что противоречит (26.26).
Итак, можем положить $t^{*}=\frac{L}{\varepsilon}$, п неравенства (26.24) оказываются справедливыми в интервале $0<t<\frac{L}{\varepsilon}$, что и завершает доказательство нашей теоремы.

Заметим теперь, что если область $D$ ограничена (лежит в ограниченной части рассматриваемого евклидова пространства), то в условии б) можно исключить требование равномерности и сформулировать б) как условие существования предела (26.4) в каждой точке этой области. В самом деле, ввиду условия а) функции
\[
F_{T}(x)=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} X(t, x) d t
\]

удовлетворяют неравенству
\[
\left|F_{T}\left(x^{\prime}\right)-F_{T}\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant \lambda\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|,
\]

и таким образом, последовательность этих функций при $T \rightarrow \infty$ является равностепенно-непрерывной. Но тал каж область $D$, будучи ограниченной, компактна, то всякая равностепенио-непрерывная последовательность, сходящаяся в каждой точке $D$, оказывается вместе с тем и равномерно сходящейся.

Заметим далее, что так как для всякой почти периодической функции $f(t)$ существует предел
\[
\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) d t
\]

то в случае ограниченности области $D$ условие б) удовлетворяется, если выражение $X(t, x)$ для каждого $x$ из $D$ оказывается почти периодической функцией переменной $t$.

Мы рассматривали здесь вопрос о погрешности первого приближения. Однако не предетавляет никаких затруднений получить асимптотические оценки погрешности и для высших приближений.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru