Проблема обоснования асимптотических методов может исследоваться с различных точек зрения.

Можно, например, искать условия, при которых разность между точным решением и его асимптотическим приближением для достаточно малых значений параметра становится сколь угодно малой на сколь угодно большом, но все же конечном интервале времени.

Можно также поставить и значительно более сложные задачи, пытаясь устанавливать соответствие между такими свойствами точных и приближенных решений, которые зависят от их поведения на бесконечном интервале.

В настоящем параграфе мы будем рассматривать первую задачу как более простую.

Поскольку излагавшиеся ранее асимптотические методы допускают приведение к методу усреднения, мы для общности сформулируем ее применительно к системе дифференциальных уравнений в стандартной форме.
Итак, будем рассматривать систему уравнений
\[
\frac{d x}{d t}=\varepsilon X(t, x)
\]
( $x, X$-точки $n$-мерного евклидова пространства) с малым параметром в.
Построим для нее соответствующую систему усредненных уравнений
\[
\frac{d \xi}{\mid d t}=\varepsilon X_{0}(\xi)
\]

и приступим к доказательству теоремы, устанавливающей, что при весьма общих условиях разность $x(t)-\xi(t)$ может быть сделана сколь угодно малой для достаточно малого $\varepsilon$ на сколь угодно большом интервале $0<t<T$. Так как $\xi(t)$ зависит от $t$ через посредство произведения $\varepsilon t$, то для того, чтобы в течение указанного интервала времени $\xi$ могло успеть значительно отойти от своего начального значения, т. е. чтобы этот интервал оказался достаточно длительным с точки зрения изменения $\xi$, за $T \boldsymbol{\|}$ следует брать величину порядка $\frac{L}{\varepsilon}$, где $L$ может быть сделано сколь угодно большим при достаточно малом ะ.

Сформулируем поэтому утверждение о малости ошибки $x(t)-\xi(t)$ первого приближения следующим образом.
Теорема. Если функция $X(t, x)$ удовлетворяет условиям:
a) Для некоторой области $D$ можно указать такие положительные постоянные $M$ и $\lambda$, что для всех вещественных значений $t \geqslant 0$ и для любых точек $x, x^{\prime}, x^{\prime \prime}$ из этой области удовлетворяются неравенства
\[
|X(t, x)| \leqslant M ;\left|X\left(t, x^{\prime}\right)-X\left(t, x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant \lambda\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right| .
\]
б) Равномерно по отношению к $x$ в области $D$ существует предел
\[
\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} X(t, x) d t=X_{0}(x) .
\]

Тогда любым, сколь угодно малым положительным $\rho$, $\eta$ и сколь угодно большому $L$ можно сопоставить такое положительное $\varepsilon_{0}$, что если $\xi=\xi(t)$ есть решение уравнения
\[
\frac{d \xi}{d t}=\varepsilon X_{0}(\xi)
\]

определенное в интервале $0<t<\infty$ и лежащее в области $D$ вместе со всей своей $\rho$-окрестностью $\left.{ }^{*}\right)$, то для $0<\varepsilon<\varepsilon_{0}$ в интервале $0<t<\frac{L}{\varepsilon}$ справедливо неравенство
\[
|x(t)-\xi(t)|<\eta,
\]

в котором $x=x(t)$ представляет решение уравнения
\[
\frac{d x}{d t}=\varepsilon X(t, x)
\]

совпадающее с $\xi(t)$ при $t=0$.
Доказательство. Фиксируем некоторое положительное число $a$ и строим функцию
\[
\Delta_{a}(x)=\left\{\begin{array}{cl}
A_{a}\left\{1-\frac{|x|^{2}}{a^{2}}\right\}^{2}, & |x| \leqslant a, \\
0, & |x|>a,
\end{array}\right.
\]

где положительная постоянная $A_{a}$ определяется соотношением
\[
\int_{E_{n}} \Delta_{a}(x) d x=1
\]

в котором интегрирование выполняется по всему рассматриваемому пространству $E_{n} ; d x$ обозначает бесконечно малый элемент обычного $n$-мерного евклидова объема.

Очевидно, введенная функция $\Delta_{a}(x)$ ограничена вместе со своими частными производными до второго порядка включительно. Так как эта функция и ее производные тождественно равны нулю для $|x|>a$, нетрудно убедиться, что интеграл
\[
I_{a}=\int_{E_{n}}\left|\frac{\partial \Delta_{a}(x)}{\partial x}\right| d x
\]

оказывается конечным для всякого положительного $a$.
*) Мы будем называть $p$-окрестностью некоторого множества $A$ множество всех точек, расстояние которых до $A$ меньше $\rho$.

Заметив это, рассмотрим функцию
\[
u(t, x)=\int_{D} \Delta_{a}\left(x-x^{\prime}\right)\left\{\int_{0}^{t}\left[X\left(t, x^{\prime}\right)-X_{0}\left(x^{\prime}\right)\right] d t\right\} d x^{\prime} .
\]

В силу условия б) можно построить такую монотонно убывающую функцию $f(t)$, стремящуюся к нулю при $t \rightarrow \infty$, что во всей области $D$
\[
\left|\frac{1}{t} \int_{0}^{t}\left[X(t, x)-X_{0}(x)\right] d t\right| \leqslant f(t) .
\]

Имеем поэтому
\[
|u(t, x)| \leqslant t f(t) \int_{D} \Delta_{a}\left(x-x^{\prime}\right) d x^{\prime} \leqslant t f(t) \int_{E_{n}} \Delta_{a}\left(x-x^{\prime}\right) d x^{\prime}=t f(t) \int_{E_{n}} \Delta_{a}\left(x^{\prime}\right) d x^{\prime},
\]
T. e.
\[
|u(t, x)| \leqslant t f(t) .
\]

Далее имеем:
\[
\left.\frac{\partial u(t, x)}{\partial x}\left|\leqslant t f(t) \int_{D}\right| \frac{\partial \Delta_{a}\left(x-x^{\prime}\right)}{\partial x}\left|d x^{\prime} \leqslant t f(t) \int_{E_{n}}\right| \frac{\partial \Delta_{a}(x)}{\partial x} \right\rvert\, d x,
\]

или ввиду (26.7)
\[
\left|\frac{\partial u(t, x)}{\partial x}\right| \leqslant I_{a} t f(t)
\]

С другой стороны, благодаря условию а)
\[
\left|X_{0}(x)\right| \leqslant M ; \quad\left|X_{0}\left(x^{\prime}\right)-X_{0}\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant \lambda\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right| ; \quad x, x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in D,
\]

и потому
\[
\left|X\left(t, x^{\prime}\right)-X_{0}\left(x^{\prime}\right)-X(t, x)+X_{0}(x)\right| \leqslant 2 \lambda\left|x^{\prime}-x\right| ; \quad x, x^{\prime} \in D .
\]

Заметим теперь из (26.8), что
\[
\frac{\partial u(t, x)}{\partial t}=\int_{D}\left\{X\left(t, x^{\prime}\right)-X_{0}\left(x^{\prime}\right)\right\} \Delta_{a}\left(x-x^{\prime}\right) d x^{\prime},
\]

откуда на основании (26.13) убеждаемся, что в области $D$ справедливо неравенство
\[
\left|\frac{\partial u(t, x)}{\partial t}-\left\{X(t, x)-X_{0}(x)\right\} \int_{D} \Delta_{a}\left(x-x^{\prime}\right) d x^{\prime}\right| \leqslant 2 \lambda a .
\]

Но по определению функции $\Delta_{a}(x)$ для любой точки $x$, $a$-окрестность которой принадлежит $D$, имеем:
\[
\int_{D} \Delta_{a}\left(x-x^{\prime}\right) d x^{\prime}=\int_{\left|x-x^{\prime}\right|<a} \Delta_{a}\left(x-x^{\prime}\right) d x^{\prime}=1,
\]

и таким образом, соотношение (26.14) для таких точек дает:
\[
\left|\frac{\partial u(t, x)}{\partial t}-X(t, x)+X_{0}(x)\right| \leqslant 2 \lambda a .
\]

Фиксируем теперь число $a$ так, чтобы
\[
a<\rho, \quad a<\frac{\eta^{*}}{8 \lambda L e^{L \lambda}}, \quad \text { где } \eta^{*}=\min (\eta, \rho),
\]

и введем функции
\[
F(\varepsilon)=\sup _{|\tau| \leqslant L}\left|\tau f\left(\frac{\varepsilon}{\varepsilon}\right)\right| ; \quad \Phi(t)=\frac{1}{t^{2}} \int_{0}^{t} t f(t) d t
\]

Ӥмеем, очевидно,
\[
F(\varepsilon) \rightarrow 0, \quad \varepsilon \rightarrow 0 ; \quad \Phi(t) \rightarrow 0, \quad t \rightarrow \infty .
\]

Поэтому можем найти столь малое положительное $\varepsilon_{0}$, чтобы для всякого положительного $\varepsilon$, не превосходящего $\varepsilon_{0}$, удовлетворялись неравенства
\[
F(\varepsilon)<a ; \quad F(\varepsilon)<\frac{\eta^{*}}{2} ; \quad \Phi\left(\frac{L}{\varepsilon}\right) \leqslant \frac{\eta^{*}}{4 L^{2} e^{L \lambda}\left(\lambda+I_{a} M\right)} .
\]

Произведя такой выбор, рассмотрим выражение
\[
\bar{x}=\bar{x}(t)=\xi(t)+\varepsilon u(t, \xi(t)),
\]

где $\xi(t)$ есть решение уравнения (26.2), принадлежащее со своей $\rho$-окрестностью к области $D$. Благодаря (26.10), (26.16), (26.17) имеем:
\[
|s u(t, \xi)| \leqslant s t f(t) \leqslant F(s)<a<\rho
\]

в интервале
\[
0<t<\frac{L}{\varepsilon},
\]

и потому в этом интервале $\bar{x}(t) \in D$.
Имеем далее:
\[
\frac{d \bar{x}}{d t}-\varepsilon X(t, \bar{x})=R,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
R=\frac{d \xi}{d t}+\varepsilon \frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{d \xi}{d t}+\varepsilon \frac{\partial u}{\partial t}-\varepsilon X(t, \xi+\varepsilon u)=\varepsilon\left\{\frac{\partial u}{\partial t}-X(t, \xi)+X_{0}(\xi)\right\}+ \\
+\varepsilon^{2} \frac{\partial u}{\partial \xi} X_{0}(\xi)+\varepsilon\{X(t, \xi)-X(t, \xi+\varepsilon u)\} .
\end{array}
\]

Отсюда вследствие неравенства, (26.10), (26.11), (26.12), (26.15) получаем:
\[
|R| \leqslant 2 \lambda a \varepsilon+I_{a} M \varepsilon^{2} t f(t)+\lambda \varepsilon^{2} t f(t)
\]

и, таким образом, в рассматриваемом интервале (26.20) найдем:
\[
\int_{0}^{t} e^{\varepsilon \lambda(t-\tau)}|R(\tau)| d \tau \leqslant e^{L \lambda} \int_{0}^{L / s}|R(t)| d t<\left\{2 \lambda a L+\left(I_{a} M+\lambda\right) L^{2} \Phi\left(\frac{L}{\varepsilon}\right)\right\} e^{\lambda L},
\]

или ввиду (26.16), (26.17)
\[
\int_{0}^{t} e^{3 \lambda(t-\tau)}|R(\tau)| d \tau<\frac{\eta^{*}}{4}+\frac{\eta^{*}}{4}=\frac{\eta^{*}}{2}
\]

так что
\[
\int_{0}^{t} e^{\varepsilon \lambda(t-\tau)}|R(\tau)| d \tau<\frac{\eta}{2} ; \quad \int_{0}^{t} e^{\varepsilon \lambda(t-\tau)}|R(\tau)| d \tau<\frac{\rho}{2} .
\]

Пусть теперь $x=x(t)$ представляет решение уравнения (26.1), для которого $x(0)=\xi(0)$.
Тогда в интервале
\[
0<t<t^{*} ; \quad t^{*} \leqslant \frac{L}{\varepsilon},
\]

в котором $x(t) \in D$, можно написать:
\[
|X(t, x)-X(t, \bar{x})| \leqslant \lambda|x-\bar{x}|,
\]

откуда благодаря (26.21) замечаем, что
\[
\left|\frac{d(x-\bar{x})}{d t}\right| \leqslant \lambda s|x-\bar{x}|+|R(t)|,
\]

и так как разность $x-\bar{x}$ аннулируется при $t=0$, то
\[
|x-\bar{x}| \leqslant \int_{0}^{t} e^{\varepsilon \lambda(t-\tau)}|R(\tau)| d \tau .
\]

Поэтому на основании (26.22) видим, что в интервале (26,23) выполняются неравенства
\[
|x-\bar{x}|<\frac{\eta}{2}, \quad|x-\bar{x}|<\frac{p}{2},
\]

из которых вследствие (26.18), (26.19) убеждаемся, что
\[
|x-\xi|<\frac{\eta}{2}+F(\varepsilon)<\eta ; \quad|x-\xi|<\frac{\rho}{2}+F(\varepsilon)<p .
\]

Покажем теперь, что число $t^{*}$ может быть взято равным $\frac{L}{\varepsilon}$,
В самом деле, если этого сделать нельзя, то неравенство
\[
|x-\xi|<p
\]

не может выполняться во всем интервале ( $0, \frac{L}{\varepsilon}$ ), так как в последнем случае мы имели бы $x(t) \in D$ для всякого $t$ из $\left(0, \frac{L}{\varepsilon}\right)$. Но так как неравенство (26.25) заведомо выполняется для достаточно малых $t$, то из соображений непрерывности ясно, что существует такое $t_{1}$, что в интервале $\left(0, t_{1}\right)$ это неравенство выполняется и, кроме того,
\[
\left|x\left(t_{1}\right)-\xi\left(t_{1}\right)\right|>\rho-\delta,
\]

где за $\delta$ может быть взято любое сколь угодно малое число. Возьмем
\[
\delta=\frac{1}{2}\left\{\frac{p}{2}-F(\varepsilon)\right\}
\]

и положим $t^{*}=t_{1}$, что возможно, так как на сегменте $\left[0, t_{1}\right]$ точка $x(t)$ принадлежит к области $D$. Но тогда в силу (26.24)
\[
\left|x\left(t_{1}\right)-\xi\left(t_{1}\right)\right|<\frac{\rho}{2}+F(\varepsilon)=\rho-2 \delta<\rho-\delta,
\]

что противоречит (26.26).
Итак, можем положить $t^{*}=\frac{L}{\varepsilon}$, п неравенства (26.24) оказываются справедливыми в интервале $0<t<\frac{L}{\varepsilon}$, что и завершает доказательство нашей теоремы.

Заметим теперь, что если область $D$ ограничена (лежит в ограниченной части рассматриваемого евклидова пространства), то в условии б) можно исключить требование равномерности и сформулировать б) как условие существования предела (26.4) в каждой точке этой области. В самом деле, ввиду условия а) функции
\[
F_{T}(x)=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} X(t, x) d t
\]

удовлетворяют неравенству
\[
\left|F_{T}\left(x^{\prime}\right)-F_{T}\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant \lambda\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|,
\]

и таким образом, последовательность этих функций при $T \rightarrow \infty$ является равностепенно-непрерывной. Но тал каж область $D$, будучи ограниченной, компактна, то всякая равностепенио-непрерывная последовательность, сходящаяся в каждой точке $D$, оказывается вместе с тем и равномерно сходящейся.

Заметим далее, что так как для всякой почти периодической функции $f(t)$ существует предел
\[
\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) d t
\]

то в случае ограниченности области $D$ условие б) удовлетворяется, если выражение $X(t, x)$ для каждого $x$ из $D$ оказывается почти периодической функцией переменной $t$.

Мы рассматривали здесь вопрос о погрешности первого приближения. Однако не предетавляет никаких затруднений получить асимптотические оценки погрешности и для высших приближений.