Перейдем теперь к рассмотрению колебательных систем со многими степенями свободы, находящихся под воздействием внепних периодических обобщенных сил, зависящих явно от времени и имеющих следующий вид:
\[
\begin{array}{c}
Q_{r}\left(v t, q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}, \varepsilon\right)=\varepsilon Q_{r}^{(1)}\left(v t, q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}\right)+ \\
+\varepsilon^{2} Q_{r}^{(2)}\left(v t, q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}\right)+\ldots \\
(r=1,2, \ldots, N) .
\end{array}
\]

Тогда мы приходим к рассмотрению системы $N$ уравнений второго порядка:
\[
\begin{array}{c}
\sum_{s=1}^{N}\left(a_{r s} \ddot{q}_{s}+c_{r s} q_{s}\right)=\varepsilon Q_{r}^{(1)}\left(v t, q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}\right)+ \\
+\varepsilon^{2} Q_{r}^{(2)}\left(v t, q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}\right)+\ldots \\
\quad(r=1,2, \ldots, N)
\end{array}
\]

в которой, как и в предыдущем параграфе, $q_{r}(r=1,2, \ldots, N)$ – обобщенные координаты, $a_{r s}=a_{s r}, c_{r s}=c_{s r}$ – постоянные.

Предположим, как и в $\S 13$, что функции $Q_{r}\left(v t, q_{1}, \ldots, q_{N}, q_{1}, \ldots\right.$ $\left.\ldots, \dot{q}_{N}, \varepsilon\right)(r=1,2, \ldots, N)$ являются периодическими по отношению к $v t$ с периодом $2 \pi$ и могут быть представлены в виде конечных сумм Фурье с коэфициентами, являющимися некоторыми полиномами по отношению к $q_{r}, \dot{q}_{r}(r=1,2, \ldots, N)$.

Кроме того, предположим, что для невозмущенной системы уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\sum_{s=1}^{N}\left(a_{r s} \ddot{q}_{s}+c_{r s} q_{s}\right)=0 \\
(r=1,2, \ldots, N)
\end{array}
\]

выполняются условия, приведенные в § 21, стр. 261.
При этих предположениях будем искать решения системы (22.2), соответствующие одночастотному режиму, близкому к какому-либо нормальному колебанию, для определенности положим $\kappa$ нормальному колебанию с частотой $\omega_{1}$. При этом будем рассматривать как нерезонансные случаи, так и резонансные.

Ввиду того, что исследование одночастотных режимов формально сводится к исследованию некоторого одного эквивалентного уравнения второго порядка вместо системы $N$ уравнений второго порядка, то при построении приближеных решений для системы (22.2) воспользуемся, кроме методики и результатов предыдущих двух параграфов, также результатами главы III.

В нерезонансном случае*), исходя из соображений, приведенных в § 13 (стр. 158), решение системы (22.2) следует искать в виде асимптотических рядов
\[
\begin{array}{c}
q_{\bar{s}}=q_{s}^{(1)} a \cos \psi+\varepsilon u_{s}^{(1)}(a,
u t, \psi)+\varepsilon^{2} u_{s}^{(2)}(a, v t, \psi)+\varepsilon^{3} \ldots \\
(s=1,2, \ldots, N),
\end{array}
\]

в которых $u_{\mathrm{s}}^{(1)}(a, \psi, v t), u_{\mathrm{s}}^{(2)}(a, \psi, v t), \ldots(s=1,2, \ldots, N)$ – периодические по обеим угловым переменным с периодом $2 \pi$ функции, а амплитуда $a$ и фаза $\&$ должны быть определены из уравнений:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=\varepsilon A_{1}(a)+\varepsilon^{2} A_{2}(a)+\ldots, \\
\frac{d \psi}{d t}=\omega_{1}+\varepsilon B_{1}(a)+\varepsilon^{2} B_{2}(a)+\ldots
\end{array}\right\}
\]

Для определения функций $u_{s}^{(1)}(a, v t, \psi), u_{s}^{(2)}(a, v t, \psi), \ldots(s=1,2, \ldots N)$, $A_{1}(a), A_{2}(a), \ldots, B_{1}(a), B_{2}(a), \ldots$ можем воспользоваться непосредственно результатами, полученными в 13 для случая системы с одной стегенью свободы.

Вместо системы (22.2), описывающей одночастотный колебательный режим, рассматриваем соответствующее ей одно уравнение второго порядка
\[
m_{1}\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega_{1}^{2} x\right)=\sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} Q_{r}\left(
u t, \varphi_{1}^{(1)} x, \ldots, \varphi_{N}^{(1)} x, \varphi_{1}^{(1)} \dot{x}, \ldots, \varphi_{N}^{(1)} \dot{x}, \varepsilon\right),
\]

для которого, воспользовавшись непосредственно формулами (13.35),
*) Здесь под нерезонансным случаем мы подразумеваем случай, когда частота внешней силы $
u$ не совпадает ни с одной из собственных частот системы и не выполняются соотношения типа $v \approx \frac{p}{q} \omega_{k}(k=1,2, \ldots, N)$, где $p$ и $q$ – целые взаимно простые числа.

находим:
\[
\left.\begin{array}{l}
\varepsilon A_{1}(a)=-\frac{1}{4 \pi^{2} m_{1} \omega_{1}} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \varepsilon \sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} Q_{r 0}^{(1)}(a, \theta, \psi) \sin \psi d \theta d \psi, \\
\varepsilon B_{1}(a)=-\frac{1}{4 \pi^{2} m_{1} \omega_{1} a} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \varepsilon \sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} Q_{r_{0}}^{(1)}(a, \theta, \psi) \cos \psi d \theta d \psi,
\end{array}\right\}
\]

где введены обозначения:
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon Q_{r 0}^{(1)}(a, \theta, \psi)=\varepsilon Q_{r}^{(1)}\left(\theta, \varphi_{1}^{(1)} a \cos \psi, \ldots, \varphi_{N}^{(1)} a \cos \psi,-\varphi_{1}^{(1)} a \omega_{1} \sin \psi, \ldots,\right. \\
\left.\ldots,-\varphi_{N}^{(1)} a \omega_{1} \sin \psi\right) \\
(r=1,2, \ldots, N) .
\end{array}
\]

Далее, находим $u_{s}^{(1)}(a, \psi, v t)(s=1,2, \ldots, N)$ как вынужденные \”регуляризированные» колебания, возбуждаемые в невозмущенной системе (22.3) силами (22.8), которые представляем в виде сумм Фурье (т. е. внепними обобщенными силами в первом приближении, взятыми в режиме синусоидальных колебаний: $q_{r}=\varphi_{r}^{(1)} a \cos \psi, \dot{q}_{r}=-\varphi_{r}^{(1)} a \omega_{1} \sin \psi(r=1,2, \ldots, N)$ :
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon Q_{r 0}^{(1)}(a,
u t, \psi)=\varepsilon \sum_{n, m} Q_{r 0}^{(1)}(a) e^{i(n
u t+m \psi)} \\
(r=1,2, \ldots, N)
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
Q_{r 0}^{(1)}(a)=\frac{1}{4 \pi^{2}} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} Q_{r 0}^{(1)}(a, \theta, \psi) e^{-i(n \theta+m \psi)} d \theta d \psi \\
(r=1,2, \ldots, N) .
\end{array}
\]

Итак, $u_{s}^{(1)}(a, v t, \psi)(s=1,2, \ldots, N)$ должны быть определены как вынужденные колебания из системы линейных дифференциальных уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\sum_{s=1}^{N}\left(a_{r s} \frac{d^{2} u_{s}^{(1)}}{d t^{2}}+c_{r_{s}} u_{s}^{(1)}\right)=\varepsilon \sum_{n, m} Q_{r_{0}}^{(1)}(a) e^{i(n v t+m \psi)} \\
(r=1,2, \ldots, N) .
\end{array}
\]

Здесь $\psi=\omega_{1} t+\vartheta$.
Искомые функции $u_{\mathrm{s}}^{(1)}(a, v t, \psi)(s=1,2, \ldots, N)$ ищем в виде рядов
\[
\begin{array}{c}
u_{s}^{(1)}(a, v t, \psi)=\sum_{n, m} k_{n, m}^{(s)}(a) e^{i(n v t+m \psi)} \\
(s=1,2, \ldots, N),
\end{array}
\]

в которых коэффициенты $k_{n, m}^{(s)}(a)$ подлежат определению.
Подставляя значения $u_{s}^{(1)}(a, v t, \psi)(s=1,2, \ldots, N)(22.12)$ в уравнения (22.11) и приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках, получаем для определения коэффициентов $k_{n, m}^{(s)}(a) \quad(s=1,2, \ldots, N)$

систему алгебраических уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\sum_{s=1}^{N}\left\{a_{r s}\left[-\omega_{1}^{2} m-2 \omega_{1} m n-
u^{2} n^{2}\right]+c_{r s}\right\} k_{n, m}^{(s)}(a)=Q_{r_{0}}^{(1)}(a) \\
(r=1,2, \ldots, N),
\end{array}
\]

для решения которой воспользуемся нормальными координатами.
Будем искать выражение для $k_{n, m}^{(s)}(a)$ в виде суммы
\[
k_{n, m}^{(s)}(a)=\sum_{k=1}^{N} c_{k} \Psi_{s}^{(k)} \quad(s=1,2, \ldots, N),
\]

где $\varphi_{s}^{(k)}$ – нормальные функции, а $c_{k}$ – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

Подставляя (22.14) в систему уравнений (22.13) и учитывая, что $\varphi_{\mathrm{s}}^{(k)}(s, k=1,2, \ldots, N)$ удовлетворяют системе однородных алгебраических уравнений
\[
\begin{array}{c}
\sum_{s=1}^{N}\left[-a_{r s} \omega_{k}^{2}+c_{r s}\right] \varphi_{s}^{(k)}=0 \\
(r=1,2, \ldots, N)
\end{array}
\]

получим:
\[
\begin{array}{c}
\sum_{k=1}^{N} \sum_{s=1}^{N} a_{s r}\left[\omega_{k}^{2}-\left(\omega_{1} m+n v\right)^{2}\right] c_{k} \varphi_{s}^{(k)}=Q_{r 0}^{(1)}(a) \\
(r=1,2, \ldots, N) .
\end{array}
\]

Умножая эти уравнения соответственно на $\varphi_{1}^{\left(k_{1}\right)}, \varphi_{2}^{\left(k_{1}\right)}, \ldots, \varphi_{N}^{\left(k_{1}\right)}$ и суммируя результат по $r$, находим:
\[
\sum_{k=1}^{N} c_{k}\left[\omega_{k}^{2}-\left(\omega_{1} m+n v\right)^{2}\right] \sum_{s=1}^{N} \sum_{r=1}^{N} a_{s r} \varphi_{s}^{(k)} \varphi_{r}^{\left(k_{1}\right)}=\sum_{r=1}^{N} Q_{r 0}^{(1)}(a) \varphi_{r}^{\left(k_{1}\right)} .
\]

Принимая во внимание ортогональность нормальных функций (выражения (21.9)) и обозначение (21.14), находим:
\[
c_{h}=\frac{\sum_{r=1}^{N} Q_{\tau 0}^{(1)}(a) \varphi_{r}^{(k)}}{m_{k}\left[\omega_{h}^{2}-\left(\omega_{1} m+v n\right)^{2}\right]} \quad(k=1,2, \ldots, N) .
\]

Подставляя значения $c_{k}(k=1,2, \ldots, N)$ (22.17) в (22.14) и результат подстановки в (22.12), получаем выражения для $u_{\mathrm{s}}^{(1)}(a, v t, \psi)$ $(s=1,2, \ldots, N)$ :
\[
\begin{array}{c}
s u_{s}^{(1)}(a, v t, \psi)=\sum_{n, m} \sum_{k=1}^{N} \varphi_{s}^{(k)} \frac{\sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(k)} Q_{r 0}^{(1)}(a) e^{i(n v t+m \psi)}}{m_{k}\left[\omega_{k}^{2}-\left(n
u+m \omega_{1}\right)^{2}\right]} \\
(s=1,2, \ldots, N) .
\end{array}
\]
¿ля «регуляризации» выражений (22.18) заметим, что их правые части могут сделаться неограниченными, если $n$ и $m$ таковы, что
\[
\pm{ }^{\omega_{1}}=n
u+m^{0}{ }_{1},
\]

а последнее равенство ввиду того, что мы рассматриваем нерезонансный случай, эквивалентно равенству
\[
n^{2}+\left(m^{2}-1\right)^{2}=0, \text { или } n=0, \quad m= \pm 1 .
\]

Таким образом, для «регуляризации» выражений (22.18) необходимо, чтобы при $k=1$ отсутствовали члены с гармониками $e^{ \pm i \psi}$, а они как раз и будут отсутствовать благодаря нашему выбору функции (22.7). Итак, для $u_{8}^{(1)}\left(a_{1}, v t, \psi\right)(s=1,2, \ldots, N)$ получаем выражения: $u_{8}^{(1)}(a, v t, \psi)=$
\[
\begin{array}{l}
=\frac{1}{4 \pi^{2}} \sum_{\substack{n, m \\
(n
eq 0, k=1 \\
m
eq \pm 1 \text { ДIन } k=1)}} \sum_{s}^{(k)} \frac{\left\{\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(k)} Q_{r 0}^{(1)}(a, \theta, \psi) e^{-i(n \theta+m \psi)} d \theta d \psi\right\} e^{i(n v t+m \psi)}}{m_{k}\left[\omega_{k}^{2}-\left(n
u+m \omega_{1}\right)^{2}\right]} \\
(s=1,2, \ldots, N) . \\
\end{array}
\]

Для определения функций $A_{2}(a)$ и $B_{2}(a)$ можем либо воспользоваться непосредственно формулами § 13 (формулы (13.37)), либо составить уравнения гармонического баланса, выражающие равенство коэффициентов при первой гармонике угла $\psi$ в левой и правой частях уравнения (22.6) после подстановки в него значений $x=a \cos \psi$, $q_{s}=\varphi_{s}^{(1)} a \cos \psi+\varepsilon u_{s}^{(1)}(a, v t, \psi)(s=1,2, \ldots, N)$ с учетом, разумеется, того, что $a$ и $\psi$ определяются уравнениями (22.5), причем все вычисления следует вести с точностью до величин второго порядка малости включительно.

После элементарных выкладок получаем для $A_{2}(a)$ и $B_{2}(a)$ следующие выражения:
\[
\left.\begin{array}{c}
A_{2}(a)=-\frac{1}{2 \omega_{1} m_{1}}\left[\frac{d B_{1}(a)}{d a} a A_{1}(a)+2 A_{1}(a) B_{1}(a)\right]- \\
-\frac{1}{4 \pi^{2} \omega_{1} m_{1}} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} \bar{Q}_{r}^{(2)}(a, \theta, \psi) \sin \psi d \theta d \psi, \\
B_{2}(a)=\frac{1}{2 \omega_{1} m_{1} a}\left[\frac{d A_{1}(a)}{d a} A_{1}(a)-a B_{1}^{2}(a)\right]- \\
-\frac{1}{4 \pi^{2} \omega_{1} m_{1} a} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} \bar{Q}_{r}^{(2)}(a, \theta, \psi) \cos \psi d \theta d \psi,
\end{array}\right\}
\]

где обозначено:
\[
\begin{array}{c}
\bar{Q}_{r}^{(2)}(a, \theta, \psi)=Q_{r}^{(2)}\left(\theta, \varphi_{1}^{(1)} a \cos \psi, \ldots, \varphi_{N}^{(1)} a \cos \psi,-\right. \\
\left.-\varphi_{1}^{(1)} a \omega_{1} \sin \psi, \ldots,-\varphi_{N}^{(1)} a \omega_{1} \sin \psi\right)+\sum_{s=1}^{N}\left\{\frac{\partial Q_{r}^{(1)}}{\partial q_{s}} u_{s}^{(1)}(a, \theta, \psi)+\right. \\
\left.+\frac{\partial Q_{r}^{(1)}}{\partial \dot{q}_{s}}\left[\varphi_{s}^{(1)} A_{1}(a) \cos \psi-\varphi_{s}^{(1)} a B_{1}(a) \sin \psi+\frac{\partial u_{s}^{(1)}}{\partial \psi} \omega_{1}+\frac{\partial u_{s}^{(1)}}{\partial t}\right]\right\}_{\substack{q_{s}=\varphi(s) \cos \varphi \\
\dot{q}_{s}=-\varphi_{s}^{(1)} a \omega_{1} \sin \Psi}}
\end{array}
\]
\[
(r=1, \” 2, \ldots, N) .
\]

Перейдем к рассмотрению резонансного случая.
Ради простоты изложения вместо общего случая, когда
\[
\omega_{1} \approx \frac{p}{q}
u
\]

где $p$ и $q$-некоторые взаимно простые числа, рассмотрим случай; называемый главным резонансным, когда $p=q=1$. При этом заметим, что все рассуждения могут быть перенесены и на общий случай без существенных изменений.

Как уже нами выше указывалось, при рассмотрении резонансного случая, в зависимости от характера стоящей перед нами задачи, могут возникнуть два подхода к ее решению-исследование непосредственно резонансной области и изучение, помимо резонансной области, также подходов к ней из нерезонансной области.

Здесь мы рассмотрим второй, как наиболее общий случай, причем для нахождения соответствующих асимптотических формул опять воспользуемся результатами, полученными для системы с одной степенью свободы, в § 14 .

Исходя из рассуждений, приведенных на стр. 176, приближенные решения будем искать в виде рядов
\[
\begin{array}{c}
q_{s}=\varphi_{s}^{(1)} a \cos (v t+\vartheta)+\varepsilon u_{s}^{(1)}(a, v t, \psi)+\varepsilon^{2} u_{s}^{(2)}(a, v t, \psi)+\ldots \\
(s=1,2, \ldots, N),
\end{array}
\]

где $\psi=v t+\eta, u_{\mathrm{s}}^{(1)}(a, \theta, \psi), u_{\mathrm{s}}^{(2)}(a, \theta, \psi), \ldots(s=1,2, \ldots, N)$ периодические функции по обеим угловым переменным $\theta$ и $\psi$ с периодом $2 \pi$, а $a$ и $\vartheta$ должны быть определены как функции времени из системы дифференциальных уравнений
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=\varepsilon A_{1}(a, \vartheta)+\varepsilon^{2} A_{2}(a, \vartheta)+\ldots, \\
\frac{d \vartheta}{d t}=\omega_{1}-
u+\varepsilon B_{1}(a, \vartheta)+\varepsilon^{2} B_{2}(a, \vartheta)+\ldots
\end{array}\right\}
\]

Для построения первого и второго приближения нам необходимо найти выражения для $A_{1}(a, \vartheta), B_{1}(a, \vartheta), A_{2}(a, \vartheta), B_{2}(a, \vartheta)$ и $u_{s}^{(1)}(a, v t, \psi)$ $(s=1,2, \ldots, N)$.

Для определения $A_{1}(a, \vartheta)$ и $B_{1}(a, \vartheta)$ сразу же составляет систему, аналогичную уравнениям (14.34).

Для этого в уравнениях (14.34) необходимо заменить $\omega$ на $\omega_{1}$, учесть наличие обобщенной массы $m_{1}$ и вместо $f_{0}(a, \theta, \psi)$ подставить $\sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} Q_{r_{0}}^{(1)}(a, \theta, \psi)$, где
\[
Q_{r_{0}}^{(1)}(a, \theta, \psi)=Q_{r}^{(1)}\left(\theta, \varphi_{1}^{(1)} a \cos \psi, \ldots, \quad-\varphi_{1}^{(1)} a \omega_{1} \sin \psi, \ldots\right) .
\]

В результате получаем систему уравнений
\[
\left.\begin{array}{c}
\left(\omega_{1}-
u\right) \frac{\partial A_{1}}{\partial \vartheta}-2 a \omega_{1} B_{1}= \\
=\frac{1}{2 \pi^{2} m_{1}} \sum_{\sigma} e^{i \sigma q \vartheta} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} Q_{r_{0}}^{(1)}(a, \theta, \psi) e^{-i \sigma q \theta^{\prime}} \cos \psi d \theta d \psi, \\
\left(\omega_{1}-
u\right) a \frac{\partial B_{1}}{\partial \vartheta}+2 \omega_{1} A_{1}= \\
=-\frac{1}{2 \pi^{2} m_{1}} \sum_{\sigma} e^{i \sigma q \vartheta} \int_{0}^{2 \pi} \sum_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} Q_{r_{0}}^{(1)}(a, \theta, \psi) e^{-i \sigma q \vartheta^{\prime}} \sin \psi d \theta d \psi \\
\left(\vartheta^{\prime}=\psi-\theta\right),
\end{array}\right\}
\]

из которой не представляет затруднений найти частные периодические по $\vartheta$ значения $A_{1}(a, \vartheta), B_{1}(a, \vartheta)$, как об этом уже упоминалось выше.

Для построения асимптотических формул во втором приближении определяем $u_{s}^{(1)}(a, v t, v t+\vartheta)(s=1,2, \ldots, N)$ как вынужденные \”регуляризированные» колебания, возбуждаемые в невозмущенной системе внешними возмущающими силами, взятыми в режиме синусоидальных колебаний, причем при «регуляризации» в отличие от нерезонансного случая в соответствующи суммах должны отсутствовать члены, для которых могут выполняться соотношения между индексами $n, m$ типа $n q+$ $+(m+1) p=0$ (для слагаемых, в знаменателе которых присутствует $\omega_{1}$ ).

Таким образом, «регуляризированное» выражение для $u_{s}^{(1)}(a$, v , $v t+\vartheta)(s=1,2, \ldots, N)$ будет иметь вид
\[
u_{s}^{(1)}(a, v t, v t+\vartheta)=
\]
\[
\begin{array}{l}
\times e^{i[n v t+m(
u t+\vartheta)]} \quad(s=1,2, \ldots, N) . \\
\end{array}
\]

Для составления уравнений, определяющих $A_{2}(a, \vartheta)$ и $B_{2}(a, \vartheta)$, воспользуемся соответствующими формулами, выведенными в § 14 для системы с одной степенью свободы, либо уравнениями гармонического баланса. Вывод этих уравнений в явном виде предоставляем читателю.

Остановимся еще на рассмотрении частного случая системы (22.2), часто встречаюегося при решении практически важных задач, когда возмущающие обобщенные силы имеют вид:
\[
\begin{array}{c}
Q_{r}\left(\theta, q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}, \varepsilon\right)= \\
=\varepsilon Q_{r}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}, \varepsilon\right)+\varepsilon E_{r} \sin \theta \\
(r=1,2, \ldots, N),
\end{array}
\]

и, следовательно, колебания описываются системой дифференциальных уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\sum_{s=1}^{N}\left(a_{r s} \ddot{q}_{s}+c_{\dot{r s}} q_{r}\right)=\varepsilon Q_{r}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}, \varepsilon\right)+\varepsilon E_{r} \sin \theta \\
(r=1,2, \ldots, N) .
\end{array}
\]

Будем рассматривать основной резонанс ( $p=1, q=1$ ), причем для упрощения остановимся на исследовании только первого приближения.

Согласно общему методу, изложенному выше, частным решением системы (22.27), соответствующим одночастотным колебаниям, близким к первому нормальному, в первом приближении будет:
\[
\begin{array}{l}
q_{s}=\varphi_{s}^{(1)} a \cos (\theta+\vartheta) \\
(s=1,2, \ldots, N),
\end{array}
\]

где функции времени $a$ и $\vartheta$ должны быть определены из системы уравнений первого приближения:
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d a}{d t}=-\frac{1}{2 \pi m_{1} \omega_{1}} \int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} \varepsilon Q_{r_{0}}^{(1)}(a, \psi) \varphi_{r}^{(1)} \sin \psi d \psi- \\
-\frac{\sum_{r=1}^{N} \varepsilon E_{r} \varphi_{r}^{(1)}}{m_{1}\left(\omega_{1}+
u\right)} \cos \vartheta, \\
\frac{d \vartheta}{d t}=\omega_{1} \cdots
u-\frac{1}{2 \pi m_{1} \omega_{1} a} \int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} \varepsilon Q_{r_{0}}^{(1)}(a, \psi) \varphi_{r}^{(1)} \cos \psi d \psi+ \\
+\frac{\sum_{r=1}^{N} \varepsilon E_{r} \varphi_{r}^{(1)}}{m_{1} a\left(\omega_{1}+
u\right)} \sin \vartheta,
\end{array}\right\}
\]

в которой, кағ и выше, $\omega_{1}$ – собственная частота невозмущенной системы, $\varphi_{r}^{(1)}(r=1,2, \ldots, N)$ – нетривиальные решения системы однородных алгебраических уравнений (22.15), а
\[
\begin{array}{c}
Q_{r_{0}}^{(1)}(a, \psi)=Q_{r_{0}}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} a \cos \psi, \ldots,-\varphi_{1}^{(1)} a \omega_{1} \sin \psi, \ldots\right) \\
(\theta+\vartheta=\psi) \quad(r=1,2, \ldots, N) .
\end{array}
\]

Упростим несколько систему (22.29). Для этого по аналогии c § 15 введем обозначения:
\[
\left.\begin{array}{c}
\lambda_{e}^{(1)}(a)=\frac{1}{\pi a \omega_{1}} \int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} \varepsilon Q_{r 0}^{(1)}(a, \psi) \varphi_{r}^{(1)} \sin \psi d \psi, \\
\omega_{e}^{(1)}(a)=\omega_{1}-\frac{1}{2 \pi a m_{1} \omega_{1}} \int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} \varepsilon Q_{r}^{(1)}(a, \psi) \varphi_{r}^{(1)} \cos \psi, d \psi, \\
E^{(1)}=\sum_{r=1}^{N} \varepsilon E_{r} \varphi_{r}^{(1)} .
\end{array}\right\}
\]

Тогда уравнения первого приближения (22.29) могут быть записаны в виде
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d a}{d t} & =-\delta_{e}^{(1)}(a) a-\frac{E^{\prime 1)}}{m_{1}\left(\omega_{1}+
u\right)} \cos \vartheta \\
\frac{d \vartheta}{d t}=\omega_{e}^{(1)}(a)-
u+\frac{E^{(1)}}{m_{1} a\left(\omega_{1}+
u\right)} \sin \vartheta
\end{array}\right\}
\]

где $\delta_{e}^{(1)}(a)=\frac{\lambda_{e}^{(1)}(a)}{2 m_{1}}$.
Введенные здесь параметры $\lambda_{e}^{(1)}(a)$ и $\omega_{e}^{(1)}(a)$ представляют собой оответственно эквивалентный коәффициент затухания и полную эквивалентную собственную частоту колебательной системы, описывасмой уравнением вида
\[
m_{1}\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega_{1}^{2} x\right)=\sum_{r=1}^{N} \varepsilon Q_{r_{0}}^{(1)} \varphi_{r}^{(1)},
\]

аналогия с которым уже проводилась нами выше.

Таким образом, и в этом частном случае уравнения первого приближения (можно показать то же самое и для уравнений высшего приближения), составленные при исследовании резонансного случая в системах с $N$ степенями свободы, будут такими же, как и для системы с одной степенью свободы (с массой $m_{1}$ и собственной частотой $\left.\omega_{1}\right)$, находящейся под воздействием возмущающей силы $\sum_{r=1}^{N} \varepsilon Q_{r_{0}}^{(1)} \varphi_{r}^{(1)}$ (обобщенной силы, действующей на первую нормальную координату) и возмущающей синусоидальной силы с амплитудой $\sum_{r=1}^{N} \varepsilon E_{r} \varphi_{r}^{(1)}$ (см. формулу (15.7)).

Остановимся на исследозании стационарных режимов колебаний с постоянными амплитудами и фазами.

Приравнивая правые части уравнений первого приближения (22.25) нулю, получим для определения стационарных значений амплитуды $a$ и фазы $\vartheta$ систему
\[
\left.\begin{array}{c}
\ldots \hat{\partial}_{e}^{(1)}(a) a+\frac{E^{(1)}}{m_{1}\left(\omega_{1}+
u\right)} \cos \theta=0, \\
\omega_{e}^{(1)}(a)-
u+\frac{E^{(1)}}{m_{1} a\left(\omega_{1}+
u\right)} \sin \theta=0 .
\end{array}\right\}
\]

Исключая из этих уравнений $\vartheta$, находим с точностью до величин второго порядка малости зависимость между амплитудой $a$ и частотой внешних сил $
u$ :
\[
m_{1}^{2} a^{2}\left[\left(\omega_{e}^{(1)^{2}}(a)-
u^{2}\right)^{2}+4 \xi_{e}^{(1)^{2}}(a)
u^{2}\right]=E^{(1)^{2}} .
\]

Полученное уравнение совпадает по своей структуре с уравнением (15.10), составленным для нелинейной системы с одной степенью свободы, и потому в нашем случае для составления уравнения (22.33) мы можем воспользоваться .правилом, сформулированным в § 15 . В нашем случае это правило будет заключаться в следующем.

Пусть колебания некоторой системы, имеющей $N$ степеней свободы, описываются системой нелинейных дифференциальных уравнений типа (22.27), и пусть частота внешних сил у близка к основной собственной частоте невозмущенной системы $\omega_{1}$. Требуется найти значения амплитуды и фазы стационарных одночастотных колебаний. Для этого рассматриваем колебательную систему с одной степенью свободы, с массой $m_{1}$ и собственной частотой $\omega_{1}$, находящуюся под воздействием силы $\sum_{r=1}^{N} \varepsilon Q_{r}^{(1)} \varphi_{r}^{(1)}$ (обобщенной силы, действующей на первую нормальную координату). Линеаризируя эту систему, определяем эквивалентный декремент затухания $\delta_{e}^{(1)}(a)$ и эквивалентную частоту собственных колебаний $\omega_{e}^{(1)}(a)$ каю функции амплитуды и найденные значения подставляем в классические соотнопения линейной теории вынужденных колебаний (22.32) и (22.33), причем амплитуда вынуждающей синусоидальной силы находится по формуле $E^{(1)}=\sum_{r=1}^{N} \varepsilon E_{r}^{(1)} \varphi_{r}^{(1)}$, т. е. опять-таки она является обобщенной силой, действующей на первую нормальную координату.

Для определения стационарных значений фазы колебания из соотношений (22.32) получаем формулу
\[
\vartheta=\operatorname{arctg} \frac{\omega_{e}^{(1)}(a)-v}{2 v \hat{\delta}_{e}^{(1)}(a)} .
\]

При помощи соотношения (22.33) мы можем построить резонансную кривую, характеризующую резонансные колебания, возникающие в нашей системе со многими степенями свободы в результате воздействия внешней синусоидальной силы, частота которой близка к одной из собственных частот системы.

Для определения устойчивых и неустойчивых участков этой резонансной кривой мы получаем правила, аналогичные правилам, приведенным в $\S 15$.

Так, условиями устойчивости (с точностью до величин первого порядка малости включительно) будут неравенства
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}>0, \text { если } \omega_{e}^{(1)}(a)>
u, \\
\frac{d a}{d t}<0, \text { если } \omega_{e}^{(1)}(a)<
u .
\end{array}\right\}
\]

В качестве примера применения полученных результатов остановимся на исследовании вынужденных колебаний в конкретной механической системе со многими степенями свободы.

Рассмотрим приведенную систему коленчатого вала, изображенную на рис. 118 , где на участке между первой и второй массами имеется нелинейная связь. Предположим для упрощения, что на среднюю массу действует периодический крутящий момент типа
\[
M=E \sin \theta,
\]

Рис. 118.
где $E=$ const, $\frac{d \theta}{d t}=
u-$ частота момента, пропорциональная числу оборотов двигателя, а моменты, действующие на массы, расположенные на концах приведенного вала, равны нулю.

Обозначим моменты инерцип масс двигателя через $I_{1}, I_{2}, I_{3}$, а углы отклонения от равномерного вращения через $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3}$.

Тогда жесткость участка вала между первой и второй массами зависит от характеристики нелинейной муфты. Жесткость участка вала между второй и третьей массами обозначим через $c_{2}$. Упругий момент, зависящий от разности углов поворота прилегающих масс, для первого участка будет:
\[
F\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right)=c_{1}^{\prime}\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right)+\varepsilon f\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right),
\]

где функция $\varepsilon f\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right)$ определяется конкретно заданной характеристикой нелинейной муфты, а $c_{1}^{\prime}$ – некоторая постоянная; для второго участка упругий момент будет:
\[
c_{2}\left(\varphi_{3}-\varphi_{2}\right) .
\]

Предположим также, что на втором участке вала учитывается внутреннее трение, которое будем считать пропорциональным скорости (с коэффициентом пропорциональности а).

Тогда уравнения крутильных колебаний рассматриваемой системы будут:
\[
\left.\begin{array}{l}
I_{1} \ddot{\varphi_{1}}-F\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right)=0, \\
{ }_{2} \ddot{\varphi}_{2}+F\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right)-c_{2}\left(\varphi_{3}-\varphi_{1}\right)=M+\alpha\left(\dot{\varphi}_{3}-\dot{\varphi}_{2}\right), \\
I_{3} \ddot{\varphi_{3}}+c_{2}\left(\varphi_{3}-\varphi_{2}\right)=-\alpha\left(\dot{\varphi}_{3}-\dot{\varphi}_{2}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Вводя обозначөния:
\[
\varphi_{2}-\varphi_{1}=q_{1}, \varphi_{3}-\varphi_{2}=q_{2},
\]

уравнения (22.36) можно привести $\kappa$ следующей системе двух уравнений второго порядка (одну степень свободы – вращение, мы исключаем из рассмотрения):
\[
\left.\begin{array}{l}
I_{2} \ddot{q}_{1}+c_{1}^{\prime}\left(1+\frac{I_{2}}{I_{1}}\right) q_{1}-c_{2} q_{2}=-\left(1+\frac{I_{2}}{I_{1}}\right) \varepsilon f\left(q_{1}\right)+\alpha \dot{q}_{2}+E \sin \theta, \\
I_{2} \ddot{q}_{2}-c_{1}^{\prime} q_{1}+c_{2}\left(1+\frac{I_{2}}{I_{3}}\right) q_{2}=\varepsilon f\left(q_{1}\right)-\alpha\left(1+\frac{I_{2}}{I_{3}}\right) \dot{q}_{2}-E \sin \theta .
\end{array}\right\}
\]

Допустим, что нелинейность, коэффициент трения и амплитуда внешнего момента малы, а также, что для системы (22.37) выполняются условия, приведенные в § 21 (стр. 261).

Предположим также, что частота внепней синусоидальной силы близка к. первой собственной частоте $\omega_{1}$; в этом случае, естественно, в системе будут возбуждаться колебания, соответствующие первому нормальному колебанию с частотой, близкой $\kappa \omega_{1}$, в то время как колебания с частотой $\omega_{2}$, находясь вне резонанса, из-за наличия трения будут затухать.

Тогда согласно (22.28) частным решением системы (22.37), соответствующим одночастотному режиму, близкому к первому нормальному колебанию, будет:
\[
\left.\begin{array}{l}
q_{1}=\varphi_{1}^{(1)} a \cos (\theta+\vartheta), \\
q_{2}=\varphi_{2}^{(1)} a \cos (\theta+\vartheta),
\end{array}\right\}
\]

үде $\varphi_{1}^{(1)}$ и $\varphi_{2}^{(1)}$ – фундаментальные функции, являющиеся нетривиальными решениями системы однородных алгебраических уравнений:
\[
\left.\begin{array}{rl}
& {\left[c_{1}^{\prime}\left(1+\frac{I_{2}}{I_{1}}\right)-\omega_{1}^{2} I_{2}\right] \varphi_{1}^{(1)}-c_{2} \varphi_{2}^{(1)}=0} \\
-c_{1}^{\prime} \varphi_{1}^{(1)}+\left[c_{2}\left(1+\frac{I_{2}}{I_{3}}\right)-\omega_{1}^{2} I_{2}\right] \varphi_{2}^{(1)}=0
\end{array}\right\}
\]
(\”) – корень частотного уравнения «невозмущенной» системы:
\[
\left|\begin{array}{cc}
c_{1}^{\prime}\left(1+\frac{I_{2}}{I_{1}}\right)-\omega^{2} I_{2} & -c_{2} \\
-c_{1}^{\prime} \quad c_{2}\left(1+\frac{I_{2}}{I_{3}}\right)-\omega^{2} I_{2}
\end{array}\right|=0,
\]

а $a$ и $\vartheta$ должны быть определены или из уравнений первого приближения, цли для стационарного режима по формулам типа (22.33) и (22.34), которые мы сейчас и составим, воспользовавшись схемой, приведенной на стр. 278.

Находим:
\[
\begin{array}{c}
m_{1}=I_{2}\left(\varphi_{1}^{(1)^{2}}+\varphi_{2}^{(1)^{2}}\right), \\
\delta_{e}^{(1)}(a)=\frac{\alpha}{m_{1}}\left[\left(\frac{I_{2}}{I_{3}}+1\right) \varphi_{2}^{(1)^{2}}-\varphi_{1}^{(1)} \varphi_{2}^{(1)}\right], \\
\omega_{e}^{(1)}(a)=\omega_{1}-\frac{\varepsilon\left[\varphi_{2}^{(1)}-\left(1-\frac{I_{2}}{I_{1}}\right) \varphi_{1}^{(1)}\right]}{2 \pi m_{1} \omega_{1} a} \int_{0}^{2 \pi} f\left(\varphi_{1}^{(1)} a \cos \psi\right) \cos \psi d \psi, \\
E^{(1)}=E\left(\varphi_{1}^{(1)}-\varphi_{2}^{(1)}\right) .
\end{array}
\]

Подставляя эти выражения в формулы (22.39), получаем зависимость, при помощи которой легко можно построить резонансную кривую.
Рис. 119.
Рис. 120 ,
Так, например, в случае, если характеристика нелинейной упругой муфты имеет вид, представленный на рис. 119 , то резонансная кривая будет такая, как на рис. 120.