В качестве частного случая уравнения (1.1) рассмотрим свободные псевдогармонические колебания без затухания некоторой массы $m$, т. е. колебания, описываемые уравнением вида
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+p(x)=0,
\]

в котором зависимость
\[
F_{s}=p(x)
\]

между упругой силой и перемещением является нелинейной.
Предположим, что !эта нелинейность достаточно «слаба», так что можно положить
\[
p(x)=k x+\varepsilon \Phi(x) .
\]

Тогда уравнение (2.1) будет принадлежать к рассмотренному типу, причем
\[
\omega^{2}=\frac{k}{m}, f\left(x, \frac{d x}{d t}\right)=-\frac{\Phi(x)}{m},
\]

где $\varepsilon$-малый положительный параметр.
Для построения первого приближения рассмотрим разложение Фурье для функции $\Phi(a \cos \psi)$. Так как эта функция является четной, то в ее разложенй в ряд Фурье синусы будут отсутствовать:
\[
\Phi(a \cos \psi)=\sum_{n=0}^{\infty} C_{n}(a) \cos n \psi .
\]

Отсюда на основании (1.16) и (2.3) получим:
\[
g_{n}(a)=-\frac{C_{n}(a)}{m}, h_{n}(a)=0,
\]

откуда находим:
\[
A_{1}(a)=0, \quad B_{1}(a)=\frac{1}{2 \omega m a} C_{1}(a) .
\]

Таким образом, учитывая (1.23), (1.24), в первом приближении имеем:
\[
x_{\mathrm{I}}=a \cos \psi
\]

где $a$ и $џ$ определяются уравнениями
\[
\frac{d a}{d t}=0, \frac{d \psi}{d t}=\omega+\frac{\mathrm{s} C_{1}(a)}{2 \omega m a}=\omega_{\mathrm{I}}(a)
\]
(значок внизу у $x$ и $\omega(a)$ указывает номер приближения).
Из первого уравнения системы (2.6) следует, что амплитуда колебания не зависит от времени и сохраняет свое начальное значение
\[
a=a_{0}=\text { const. }
\]

Ввиду постоянства $a$ из второго уравнения (2.6) получаем:
\[
\psi=\omega_{\mathrm{I}}(a) t+\theta,
\]

где $\theta$ – фазовая постоянная, равная начальному значению фазы $\psi$.
Таким образом, в рассматриваемом случае изучаемое колебание в первом приближении будет гармоническим. Нелинейный характер уравнения (2.1) в первом приближении сказывается, очевидно, лишь в том, что частота колебаний $\omega_{I}(a)$ зависит от амплитуды. Иначе говоря, из-за присутствия в уравнении (2.1) нелинейного члена $\varepsilon \Phi(x)$ колебательная система теряет свою изохронность (изохронностью называется свойство линейных колебательных систем, состоящее в том, что их частота собственных колебаний не зависит от величины амшлитуды), причем, как это следует из выражения для $\omega_{1}(a)(2.6)$, потеря изохронности будет тем меньше, чем меныше будет $s \Phi(x)$ по сравнению с $\omega^{2} x$.

Перейдем теперь к построению второго приближения. По формуле (1.18) находим:
\[
u_{1}(a, \psi)=\frac{1}{k} \sum_{\substack{n=0 \\ n
eq 1}}^{\infty} \frac{C_{n}(a) \cos n_{\psi}}{n^{2}-1} .
\]

Подставив найденные выражения (2.5) и (2.7) в (1.30), получим:
\[
\left.\begin{array}{rl}
A_{2}(a) & =0, \\
B_{2}(a) & =-\frac{1}{2 \omega}\left[\frac{C_{1}(a)}{2 \omega m a}\right]^{2}+ \\
& +\frac{1}{2 \omega m \pi a} \sum_{\substack{n=0 \\
n
eq 1}}^{\infty} \frac{C_{n}(a)}{k\left(n^{2}-1\right)} \int_{0}^{2 \tau} \Phi^{\prime}(a \cos \psi) \cos \psi \cos n \psi d \psi .
\end{array}\right\}
\]

Поскольку
\[
\begin{array}{l}
C_{0}(a)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \Phi(a \cos \psi) d \psi, \\
C_{n}(a)=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \Phi(a \cos \psi) \cos n \psi d \psi \quad(n \geqslant 1),
\end{array}
\]

то, дифференцируя, найдем:
\[
\begin{array}{r}
\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \Phi^{\prime}(a \cos \psi) \cos \psi d \psi=\frac{d C_{0}(a)}{d a}, \\
\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \Phi^{\prime}(a \cos \psi) \cos \psi \cos n \psi d \psi=\frac{d C_{n}(a)}{d a} .
\end{array}
\]

и, следовательно, можем написать:
\[
\begin{array}{l}
B_{2}(a)=-\frac{1}{2 \omega}\left[\frac{C_{1}(a)}{2 \omega m a}\right]^{2}+ \\
\quad+\frac{1}{2 \omega m k a}\left\{\sum_{n=2}^{\infty} \frac{C_{n}(a) \frac{d C_{n}(a)}{d a}}{n^{2}-1}-2 C_{0}(a) \frac{d C_{0}(a)}{d a}\right\} .
\end{array}
\]

Таким образом, во втором приближении имеем:
\[
x_{1 \mathrm{I}}=a \cos \psi-\frac{\varepsilon C_{0}(a)}{k}+\frac{\varepsilon}{k} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{C_{n}(a) \cos n \psi}{n^{2}-1},
\]

причем
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=0, \\
\frac{d \psi}{d t}=\dot{\omega}_{\mathrm{II}}(a),
\end{array}\right\}
\]

где
\[
\begin{aligned}
\omega_{\mathrm{II}}(a)=\omega+\frac{\varepsilon C_{1}(a)}{2 \omega m a}-\frac{\varepsilon^{2}}{2 \omega}\left[\frac{C_{1}(a)}{2 \omega m a}\right]^{2}+ \\
+\frac{\varepsilon^{2}}{2 \omega m k a}\left\{\sum_{n=2}^{\infty} \frac{C_{n}(a) \frac{d C_{n}(a)}{d a}}{n^{2}-1}-2 C_{0}(a) \frac{d C_{0}(a)}{d a}\right\} .
\end{aligned}
\]

Мы видим, что и во втором приближении амплитуда $a$ не зависит от времени и сохраняет любое свое начальное значение. Фазовый угол вращается с постоянной скоростью
\[
\psi=\omega_{\mathrm{II}}(a) t+\theta \quad(\theta=\text { const }),
\]

и формула (2.10) дает приближенное представление общего решения (с точностью до величин порядка малости $\varepsilon^{2}$ ), содержащего две произвольные постоянные интеграции $a$ и $\theta$. Заметим, что для консервативных колебательных систем, описываемых уравнением типа (2.1), все величины $A_{n}(a)$ обращаются в нуль, так что уравнение для амплитуды основной гаруоники с точностыо до любой степени з будет:
\[
\frac{d a}{d t}=0
\]

что выражает уеловие стационарнссти колебания с произвольной амплитудой. Так как погрешность формулы (2.10) является величиной порядка $\varepsilon^{2}$, то, производя вычисления с тсй же степенью точности, находим следующие выражения для максимального и минимального отклонения:
\[
\left.\begin{array}{l}
x_{\text {II max }}=a-\frac{\varepsilon C_{0}(a)}{k}+\frac{\varepsilon}{k} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{C_{n}(a)}{n^{2}-1}, \\
x_{\text {II min }}=-a-\frac{\varepsilon C_{0}(a)}{k}+\frac{\varepsilon}{k} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n} C_{n}(a)}{n^{2}-1} .
\end{array}\right\}
\]

Прежде чем перейти к рассмотрению конкретных примеров, преобразуем формулу (2.12), служащую для определения зависимости частоты от амплитуды колебания.

Возводя обе ее части в квадрат и удерживая при этом лишь члены ве выше второго порядка малости, получим:
\[
\omega_{\mathrm{II}}^{2}(a)=\omega^{2}+\frac{\varepsilon C_{1}(a)}{m a}+\frac{\varepsilon^{2}}{m k a}\left\{\sum_{n=2}^{\infty} \frac{C_{n}(a) \frac{d C_{n}(a)}{d a}}{n^{2}-1}-2 C_{0}{ }^{\prime}(a) \frac{d C_{0}(a)}{d a}\right\} .
\]

Ограничиваясь первым приближением, имеем:
\[
\omega_{\mathrm{I}}^{2}(a)=\omega^{2}+\frac{\varepsilon C_{1}(a)}{m a} .
\]

Заметим теперь, что во всех полученных выше формулах линейная и нелинейная слагающие упругой силы входят раздельно.

Линейная слагающая входит посредством множителей $\omega$ и $k$, нелинейная – посредством коэффициентов $C_{n}(a)$ разложения (2.4) для функции $\Phi(a \cos \psi)$.

Однако нетрудно видеть, что разделение полной упругой силы $p(x)$ (2.2) на линейную и нелинейную слагающие в значительной степени произвольно, так как постоянную $k$ можно выбирать различными способами.

Определим ее, например, из того условия, чтобы «нулевое приближение» для частоты колебания ( совпадало бы с первым приближением $\omega_{\mathrm{I}}(a)$.
Тогда согласно (2.15) получим:
\[
C_{1}(a)=0 .
\]

Рассмотрим теперь разложение Фурье
\[
p(a \cos \psi)=p_{0}(a)+\sum_{n=1}^{\infty} p_{n}(a) \cos n \psi
\]

и заметим, что в соответствии с (2.2) и (2.4) будет:
\[
\left.\begin{array}{l}
p_{n}(a)=\varepsilon C_{n}(a) \quad(n=0,2,3,4, \ldots), \\
p_{1}(a)=a k+\varepsilon C_{1}(a) .
\end{array}\right\}
\]

Итак, условие (2.16) приводит к следующей формуле для определения эквивалентной жесткости:
\[
k=\frac{1}{a} p_{1}(a)=\frac{1}{\pi a} \int_{0}^{2 \pi} p(a \cos \psi) \cos \psi d \psi .
\]

Постоянная $k$ определяется здесь как некоторая функция амплитуды, и поэтому возможность использования формулы (2.19) связана с тем, что сама амплитуда а является постоянной. Если бы мы рассматривали затухающие псевдогармонические колебания, то такой выбор постоянной $k$ вообще был бы недопустимым, так как тогда $\frac{p_{1}(a)}{a}$ оказалось бы переменной во времени величиной.

Постоянную $k$ можно определить и иным способом. Рассматривая, например, степенное разложение упругой силы в окрестности точки равновесия
\[
p(x)=\alpha x+\beta x^{2}+\gamma x^{3}+\ldots,
\]

естественно отнести $\alpha x$ к линейной части, а остальные члены к нелинейной
\[
\varepsilon \Phi(x)=\beta x^{2}+\gamma x^{3}+\ldots,
\]

что соответствует выбору $k$ с помощью формулы
\[
k=p^{\prime}(0) \text {. }
\]

Независимо от того или иного способа выбора постоянной $k$ мы можем, воспользовавшись (2.18), освободить формулы (2.10), (2.13), (2.14), (2.15) от параметра $£$, перестроив их так, чтобы в них входила лишь известная функция $p(x)$.
В результате приходим к следующим окончательным формулам: первое приближение
\[
\left.\begin{array}{rl}
x_{\mathrm{I}} & =a \cos \psi, \\
\omega_{\mathrm{I}}^{2}(a) & =\frac{p_{1}(a)}{m a} ;
\end{array}\right\}
\]

второе приближение
\[
\left.\begin{array}{c}
x_{\mathrm{II}}=a \cos \psi-\frac{p_{0}(a)}{k}+\frac{1}{k} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{p_{n}(a) \cos n \psi}{n^{2}-1}, \\
\omega_{\mathrm{II}}^{2}(a)=\omega_{\mathrm{I}}^{2}(a)+\frac{1}{m k a} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{p_{n}(a) \frac{d p_{n}(a)}{d a}}{n^{2}-1}-2 p_{0}(a) \frac{d p_{0}(a)}{d a} \frac{1}{m k a} .
\end{array}\right\}
\]

Как видно, слагаемое
\[
\frac{p_{n}(a) \frac{d p_{n}(a)}{d a}}{m k a\left(n^{2}-1\right)} \text {. }
\]

представляет влияние $n$-й гармоники на собственную частоту, а слагаемое
\[
-2 \frac{p_{0}(a) \frac{d p_{0}(a)}{d a}}{m k a}
\]

появляется за счет смещения рабочей точки на характеристике в связп с наличием в колебании постоянного члена
\[
-\frac{p_{0}(a)}{k} \text {. }
\]

В частном случае симметричных колебаний, когда упругая характеристика системы $F_{s}=p(x)$ симметрична*) относительно начала координат, так что значения $F_{s}$ для $\pm x$ равны по величине и противопотожны по знаку
\[
p(x)=-p(-x),
\]

все четные гармоники в разложении (2.17) исчезают и формулы принимают вид
\[
\left.\begin{array}{c}
x_{\mathrm{II}}=a \cos \psi+\frac{1}{k} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{p_{2 n+1}(a) \cos (2 n+1) \psi}{(2 n+1)^{2}-1}, \\
\omega_{\mathrm{II}}^{2}(a)=\omega_{\mathrm{I}}^{2}(a)+\frac{1}{m k a} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{p_{2 n+1}(a) \frac{d p_{2 n+1}(a)}{d a}}{(2 n+1)^{2}-1} .
\end{array}\right\}
\]
максимального и минимального отклонения.
Из (2.13) и (2.18) находим:
\[
\left.\begin{array}{l}
x_{\text {II max }}=a-\frac{p_{0}(a)}{k}+\frac{1}{k} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{p_{n}(a)}{n^{2}-1}, \\
x_{\text {II min }}=-a-\frac{p_{0}(a)}{k}+\frac{1}{k} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n} p_{n}(a)}{n^{2}-1} .
\end{array}\right\}
\]

Чтобы получить представление о практической эффективности найденных приближенных формул, рассмотрим некоторые числовые примеры, для которых известно точное решение.

Рассмотрим уравнение свободных колебаний математического маятника с массой $m$ и длиной $l$ без учета трения:
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\frac{g}{l} \sin x=0
\]

где $x$-угол отклонения маятника от положения равновесия.
В данном примере
\[
p(x)=\frac{g}{l} \sin x
\]

и разложение (2.17) будет:
\[
p(a \cos \psi)=\frac{g}{l} 2 \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} J_{2 n+1}(a) \cos (2 n+1) \psi
\]
$\left(J_{k}(a)-ф у н к ц и и ~ Б е с с е л я\right)$.
*) В большинстве практически важных случаев упругая сила симметрична. Несимметричность кривой $F_{s}=p(x)$ обусловливается, например, действием постоянной силы.

Согласно (2.21) и (2.23) находим:
в первом приближении
\[
\left.\begin{array}{rl}
x_{\mathrm{I}} & =a \cos \psi, \\
\left(\frac{\omega_{\mathrm{I}}}{\omega_{0}}\right)^{2} & =\frac{2 J_{1}(a)}{a},
\end{array}\right\}
\]

где $\omega_{0}^{2}=\frac{g}{l m} ;$
во втором приближении
\[
\left.\begin{array}{c}
x_{\mathrm{II}}=a \cos \psi+2 \frac{\omega_{0}^{2}}{\omega_{\mathrm{I}}^{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} J_{2 n+1}(a) \cos (2 n+1) \psi}{(2 n+1)^{2}-1}, \\
\left(\frac{\omega_{\mathrm{II}}}{\omega_{0}}\right)^{2}=\left(\frac{\omega_{\mathrm{I}}}{\omega_{0}}\right)^{2}+4 \frac{\omega_{0}^{2}}{\omega_{\mathrm{I}}^{2} a} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{J_{2 n+1}(a) J_{2 n+1}^{\prime}(a)}{(2 n+1)^{2}-1} .
\end{array}\right\}
\]

В частности,
\[
x_{\mathrm{I} \max }=a, x_{\mathrm{II} \max }=a+2 \frac{\omega_{0}^{2}}{\omega_{\mathrm{I}}^{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} J_{2 n+1}(a)}{(2 n+1)^{2}-1} .
\]

Рассматривая $x_{\max }$ и как функции амплитуды первой гармоники
\[
x_{\max }=x_{\max }(a), \omega=\omega(a),
\]

подсчитаем их приближенные значения для ряда возможных значений $a$.
Ввиду весьма быстрой сходимости рядов, стоящих в правых частях выражений (2.27) и (2.28), достаточно при подсчете учитывать в них лишь первые два члена.

Далее, для оценки точности полученных решений (2.28) подсчитаем по таблицам эллиптических функций соответствующие значения (2.29) с помощью точных формул (для тех же значений а):
\[
\left.\begin{array}{rl}
x(\psi, a) & =\frac{8 \sqrt{q}}{1+q} \cos \psi-\frac{8 q^{3 / 2}}{3\left(1+q^{3}\right)} \cos 3 \psi+\ldots, \\
\frac{\omega}{\omega_{0}} & =\frac{\pi}{2 K}, \\
k & =\sin \frac{x_{\max }}{2} ;
\end{array}\right\}
\]

здесь, как принято в руководствах по теории эллиптических функций, $k$-модуль, $K$ – полный эллиптический интеграл первого рода, $q=e^{-\pi \cdot \frac{K^{\prime}}{K}}$, а $K^{\prime}(k)=K\left(k^{\prime}\right)$, где $k^{\prime}=l^{\prime} \overline{1-k^{2}}$.

Результаты вычислений сведены в табл. 1 , в которой имеется также графа, указывающая точные $x_{\max }$ в градусах.

Результаты вычислений свидетельствуют о вполне удовлетворительной точности, в особенности если принять во внимание, что наши приближенные формулы выведены в предположении, что упругая характеристика восстанавливающей силы обладает «слабой» нелинейностьюблизка к прямолинейной. В рассматриваемом примере даже при углах отклонения маятника около $160^{\circ}$ относительная погрешность первого приближения частоты составляет $5,5 \%$, а второго-всего около $3 \%$, хотя очевидно, что в пределах от $-160^{\circ}$ до $+160^{\circ}$ синус весьма плохо аппроксимируется прямой. При колебаниях маятника в пределах примерно от -30 до $+30^{\circ}$ первое приближение частоты дает четыре точных знака, а для углов между $\pm 45^{\circ}$ второе приближение дает пять точных знаков. Следовательно, там, где характеристика действительно близка к линейной, полученные приближенные формулы обладают высокой степенью точности.

Ухудшение точности для углов, близких к $180^{\circ}$, объясняется тем, что это значение является критическим: при переходе через него изменяется характер движения – колебания сменяются вращением.

Остановимся теперь на исследовании небольших колебаний маятника. В этом случае можем в уравнении (2.25) $\sin x$ заменить двумя или тремя (в зависимости от того, на каком приближении собираемся остановиться) первыми членами тейлоровского разложения *).
Получим:
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\frac{g}{l}\left(x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\cdots\right)=0 .
\]

Применив к этому уравнению формулы (2.21), находим (ограничиваясь двумя членами в разложении для синуса):
\[
\begin{aligned}
x_{\mathrm{I}} & =a \cos \psi, \\
\frac{\omega_{\mathrm{I}}^{2}(a)}{\omega_{0}^{2}} & =1-\frac{a^{2}}{8},
\end{aligned}
\]
*) Заметим при этом, что разность
\[
\sin x-\left(x-\frac{x^{3}}{3 !}\right)
\]

по абсолютной величине не превзойдет $0,0 \jmath 326$, если $x$ колеблется между $-30^{\circ}$ и $30^{\circ}$, а разность
\[
\sin x-\left(x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}\right)
\]

не превзойдет 0,000002 .

откуда
\[
\frac{{ }_{\mathrm{I}}(a)}{\omega_{0}}=\sqrt{1-\frac{a^{2}}{8}} \approx 1-\frac{a^{2}}{16} .
\]

Из формулы (2.33) непосредственно видно, что при увеличении амплитуды колебания маятника частота уменышается, а период собственных колебаний
\[
T_{1}=\frac{T_{0}}{1-\frac{a^{2}}{16}} \approx T_{0}\left(1+\frac{a^{2}}{16}\right)
\]

увеличивается. (Здесь $T_{0}=\frac{2 \pi}{\omega_{0}}=2 \pi \sqrt{\frac{\operatorname{lm}}{g}}$ ).
Для построения решения во втором приєлижении воспользуемся формулами (2.23); тогда, учитывая в разложении для $\sin x$ также член $\frac{x^{5}}{5 !}$, получим:
\[
\left.\begin{array}{rl}
x_{\mathrm{II}} & =a \cos \psi-\frac{a^{3}}{192}\left(1+\frac{3}{64} a^{2}\right) \cos 3 \psi+\frac{a^{5}}{20480} \cos 5 \psi, \\
\frac{\omega_{\mathrm{II}}^{2}(a)}{\omega_{0}^{2}} & =1-\frac{a^{2}}{8}+\frac{3 a^{4}}{512},
\end{array}\right\}
\]

откуда
\[
\begin{array}{l}
\frac{\omega_{\text {II }}^{2}(a)}{\omega_{0}^{2}}=1-\frac{a^{2}}{8}+\frac{3 a^{4}}{512}, \\
\frac{{ }_{\mathrm{III}}(a)}{\omega_{0}} \approx 1-\frac{a^{2}}{16}+\frac{a^{4}}{1024}
\end{array}
\]

и
\[
T_{\mathrm{II}}=T_{0}\left(1+\frac{a^{2}}{16}+\frac{3 a^{4}}{1024}\right) .
\]

Для максимальных отклонений согласно (2.24) имеем:
\[
x_{\text {II } \max }=a-\frac{a^{3}}{192}-\frac{a^{5}}{1024} .
\]

При помощи полученных формул можно подсчитать частоты, периоды и максимальные отклонения для ряда значений $a$ (амплитуды первой гармоники). Результаты вычислений приведены в табл. 2.

Сопоставляя табл. 2 с табл. 1, легко видеть, что для отклонений маятника, не превышающих $\pm 35^{\circ}$ (в этих пределах частоты и максимальные отклонения совпадают с точными соответственно до 5 -го и 4-го знака включительно), с успехом можно рассматривать уравнение (2.31) и соответствующие ему более простые приближенные решения (2.32) и (2.35) вместо точного уравнения (2.25). При больших же углах отклонения (порядка $\pm 160^{\circ}$ ) относительная погрешность первого приближения составит $13 \%$, а второго всего около $3 \%$.

При рассмотрении свободных колебаний маятника мы не учитывали сил трения.

Если предположить, что колебания маятника затухают под воздействием сил, пропорциональных скорости, то приходим к исследованию следующего уравнения:
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\lambda \frac{d x}{d t}+\frac{g}{l} \sin x=0,
\]

или для небольших отклонений:
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\lambda \frac{d x}{d t}+\frac{g}{l}\left(x-\frac{x^{3}}{6}\right)=0 .
\]

Согласно общим формулам § 1 в первом приближении решение уравнения (2.40) будет:
\[
x=a \cos \psi,
\]

где $a$ и $\psi$ должны быть определены из системы уравнений первого приближения:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=-\dot{a} a, \\
\frac{d \psi}{d t}=\omega\left(1-\frac{a^{2}}{16}\right) ;
\end{array}\right\}
\]

здесь введены обозначения $\delta=\frac{\lambda}{2 m}, \omega=\sqrt{\frac{g}{l m}}$.
Интегрируя первое уравнение системы (2.42) при начальных значениях $t=0, a=a_{0}$, находим:
\[
a=a_{0} e^{-i t} .
\]

После этого из второго уравнения системы (2.42) получаем:
\[
\psi=\omega\left\{t+\frac{a_{0}^{2}}{32 \delta}\left(e^{-2 i t}-1\right)\right\}+0,
\]

где $\theta$ – начальное значение фазы.
Подставляя значения амплитуды (2.43) и фазы (2.44) в формулу (2.41), нолучим первое приближение в виде
\[
x=a_{0} e^{-\delta t} \cos \left\{\omega\left[t+\frac{a^{2}}{32 \delta}\left(e^{-2 \delta t}-1\right)\right]+\theta\right\} .
\]

Таким образом, в первом приближении колебания будут затухающими, с частотой, зависящей от амцлитуды $\omega=\omega(a)$, причем с увеличением времени вследствие постепенного затухания мгновенная частота будет увеличиваться, стремясь в пределе к постоянному «линейному» значению частоты $\omega=\sqrt{\frac{g}{l m}}$.

Рассмотрим теперь колебания системы, для которой характеристика восстанавливающей упругой силы имеет вид
\[
p(x)=\alpha x+\gamma x^{3}(\alpha>0, \gamma>0) .
\]

В этом случае получаем нелинейное дифференциальное уравнение
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\alpha x+\gamma x^{3}=0,
\]

которое может быть проинтегрировано в явной форме с помощью эллиптических функций. Следовательно, здесь можно также сопоставить приближенным репениям точные.
Так как для этого случая разложение (2.17) будет:
\[
p(a \cos \psi)=\left(\alpha a+\frac{3}{4} \gamma a^{3}\right) \cos \dot{\psi}+\frac{\gamma a^{5}}{4} \cos 3 \psi,
\]

то, вводя безразмерные комбинации $\left(\frac{\gamma}{\alpha}\right)^{1 / 2} x,\left(\frac{\gamma}{\alpha}\right)^{1 / 2} a, \frac{\omega}{\omega_{0}}$, на основании (2.21) и (2.23) можем написать:
в первом приближении
\[
\left.\begin{array}{l}
\left(\frac{\gamma}{\alpha}\right)^{1 / 2} x_{\mathrm{I}}=\left(\frac{\gamma}{\alpha}\right)^{1 / 2} a \cos \psi, \\
\left(\frac{\omega_{\mathrm{I}}(a)}{\omega_{0}}\right)^{2}=1+\frac{3}{4}\left[\left(\frac{\gamma}{\alpha}\right)^{1 / 2} a\right]^{2}, \omega_{0}=\sqrt{\frac{\alpha}{m}} ;
\end{array}\right\}
\]

во втором приближении
\[
\left.\begin{array}{l}
\left(\frac{\gamma}{\alpha}\right)^{1 / 2} x_{\mathrm{II}}=\left(\frac{\gamma}{\alpha}\right)^{1 / 2} a \cos \psi+\frac{\left(a \sqrt{\frac{\gamma}{\alpha}}\right)^{3} \cos 3 \psi}{32\left(\frac{\omega_{\mathrm{I}}}{\omega_{0}}\right)^{2}}, \\
\left(\frac{{ }_{\mathrm{II}}(a)}{\omega_{0}}\right)^{2}=\left(\frac{\omega_{\mathrm{I}}(a)}{\omega_{0}}\right)^{2}\left\{1+\frac{3}{128} \frac{\left(a \sqrt{\frac{\gamma}{\alpha}}\right)^{4}}{\left(\frac{\omega_{\mathrm{I}}}{\omega_{0}}\right)^{4}}\right\},
\end{array}\right\}
\]

откуда имеем:
\[
\left(\frac{\gamma}{\alpha}\right)^{1 / 2} x_{\mathrm{Imax}}=\left(\frac{\gamma}{\alpha}\right)^{1 / 2} a ;\left(\frac{\gamma}{\alpha}\right)^{1 / 2} x_{\mathrm{II} \max }=\left(\frac{\gamma}{\alpha}\right)^{1 / 2} a\left\{1+\frac{a^{2}\left(\frac{\gamma}{\alpha}\right)}{32\left(\frac{\omega_{\mathrm{I}}}{\omega_{0}}\right)^{2}}\right\} .
\]

Точные значения $\left(\frac{\gamma}{\alpha}\right)^{1 / 2} x_{\max }$ и $\frac{\omega}{\omega_{0}}$ для данных $\left(\frac{\gamma}{\alpha}\right)^{1 / 2} a$ найдем по таблицам эллиптических функций с помощью формул
\[
\begin{array}{c}
x(\psi, a)=x_{\max } \operatorname{cn}\left\{\frac{2 K}{\pi} \psi\right\}=x_{\max } \frac{2 \pi}{k K}\left\{\frac{\sqrt{q}}{1+q} \cos \psi+\frac{q^{3 / 2}}{1+q^{3}} \cos 3 \psi+\ldots\right\}, \\
\frac{\omega}{\omega_{0}}=\frac{\pi \sqrt{1+\xi^{2}}}{2 K}, k=\frac{\xi}{\sqrt{2+2^{2}}}, \xi=x_{\max }\left(\frac{\gamma}{\alpha}\right)^{1 / 2} .
\end{array}
\]

Здесь $\mathrm{cn}, k, K, q$ обозначаот ооответственно эллиптический косинус, модуль, полный эллиптический интеграл первого рода и $e^{-\frac{K^{\prime}}{\bar{K}}}$, a $K^{\prime}(k)=K\left(k^{\prime}\right)$, где $k^{\prime}=\sqrt{1-k^{2}}$.

Результаты вычислений приводим в табл. 3.
Таблида 3

Принимая во внимание простоту формул (2.48) и (2.49), следует, очевидно, признать получаемую и в данном примере степень приближения вполне удовлетворительной. Можно, кроме того, показать, что эти формулы не теряют своей эффективности даже при $a\left(\frac{\gamma}{\alpha}\right)^{1 / 2} \rightarrow \infty$.

В самом деле, соотношения (2.51) приводят к следующей асимптотической формуле:
\[
\frac{\omega}{\omega_{0}}=\frac{1}{4 \sqrt{2}} \frac{1+q}{\sqrt{q}} \boldsymbol{a}\left(\frac{\gamma}{\alpha}\right)^{1 / 2}+\ldots,
\]

где $q$ берется для модуля $k=\frac{1}{\sqrt{2}}$, а точки обозначают член, отношение которого к написанному первому члену стремится к нулю при $a\left(\frac{\gamma}{\alpha}\right)^{1 / 2} \rightarrow \infty$. Аналогичные асимптотические формулы получаются из (2.48) и (2.49) для $\frac{\omega_{\mathrm{I}}(a)}{\omega_{0}}$ и $\frac{\omega_{\mathrm{II}}(a)}{\omega_{0}}$ соответственно с коэффициентами пропорциональности $\sqrt{\frac{3}{4}}, \sqrt{\frac{3}{4}}\left(1+\frac{3}{128}\left(\frac{4}{3}\right)^{2}\right)$. Их численные значения будут:
\[
\frac{1}{4 \sqrt{2}}\left(\frac{1+q}{\sqrt{q}}\right)_{q=\frac{1}{\sqrt{2}}}=0,887 ; \sqrt{\frac{3}{4}}=0,866 ; \quad \sqrt{\frac{3}{4}}\left(1+\frac{3}{128}\left(\frac{4}{3}\right)^{2}\right)=0,892 .
\]

Таким образом, в пределе при $a\left(\frac{\gamma}{\alpha}\right)^{1 / 2} \rightarrow \infty$ относительная погрешность первого приближения частоты составит $2,4 \%$, а второго-всего $0,6 \%$.