Главная > АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ (H.Н. БОТОЛЮБОВ и ЮА.МИТРОПОЛЬСКИЙ)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Остановимся теперь на исследовании случая воздействия внешней возмущающей силы на релаксационную колебательную систему, характеризуемую уравнением типа
\[
\frac{d x}{d t}=\Phi(x)+\varepsilon E \cos v t,
\]

где, как и во второй главе, Ф( $x$ ) представляет определепную на интервале $(a, b)$ двузначную функцию.

Для построения решения уравнения (18.1) целесообразно прежде всего преобразовать уравнение (18.1) с целью исключения из него неоднозначной функции $\Phi(x)$. Для этого будем исходить из некоторого частного периодического решения уравнения свободных релаксационных колебаний:
\[
\frac{d x}{d t}=\Phi(x) .
\]

Для определенности примем то из решений уравнения (18.2), в котором величина $x$ принимает минимальное значение при $t=0$.
Обозначая через ю частоту свободных релаксационных колебаний, напишем это периодическое решение в виде
\[
x=z(\omega t),
\]

где $z(\varphi)$ – некоторая периодическая функция $\varphi$ с периодом $2 \pi$.

Принимая во внимание результаты § 10, легко видеть, что производная $z^{\prime}(\varphi)$ в течение одного периода дважды терпит разрыв и что Рис. 107. по абсолютной величине она всегда больше некоторой положительной постоянной.

Так, например, если двузначная функция $\Phi(x)$ имеет для верхней и нижней ветвей соответственно следующие значения:
\[
\left.\begin{array}{ll}
\Phi(x)=\Phi_{1}=\text { const, } & a<x<b, \\
\Phi(x)=-\Phi_{0}=\mathrm{const}, & a<x<b,
\end{array}\right\}
\]

то решение уравнения (18.2) (рис. 107) можно представить в виде
\[
\begin{array}{c}
x=a+\Phi_{1} t, \quad 0<t<\frac{b-a}{\Phi_{1}}, \\
x=b+\Phi_{0}\left[\frac{b-a}{\Phi_{1}}-t\right], \quad \frac{b-a}{\Phi_{1}}<t<(b-a)_{1}^{n} \frac{\Phi_{0}+\Phi_{1}}{\Phi_{0} \Phi_{1}}, \\
T=\frac{2 \pi}{\omega}=(b-a) \frac{\Phi_{0}+\Phi_{1}}{\Phi_{0} \Phi_{1}}
\end{array}
\]

и, сілдовательно,
\[
(i)=\frac{2 \pi}{b-a} \frac{\Phi_{0} \Phi_{1}}{\Phi_{0}+\Phi_{1}} .
\]

Обозначим:
\[
\Phi_{0}=2 \approx \frac{\Phi_{0}}{\Phi_{0}+\Phi_{1}},
\]

тогда периодическое решение $z(\varphi)$ можно занисать следующим образом:
\[
\left.\begin{array}{l}
z(\varphi)=a+\frac{b-a}{\varphi_{0}} \varphi, \quad 0<\varphi<\varphi_{0}, \\
z(\varphi)=a+\frac{b-a}{\varphi_{0}} \frac{\Phi_{0}}{\Phi_{1}}(2 \pi-\varphi), \varphi_{0}<\varphi<2 \pi .
\end{array}\right\}
\]

Заметим теперь, что, поскольку выражение (18.8) представляет решение уравнения (18.2), функция $z(\varphi)$ должна удовлетворять тождественно следующему соотношению:
\[
\omega z^{\prime}(\varphi)=\Phi[z(\varphi)] .
\]

Сделаем теперь в уравнении, описывающем вынужденные колебания (18.1), замену переменных.

Введем вместо неизвестной $x$ новую неизвестную $\varphi$ посредством формулы
\[
x=z(\varphi) \text {. }
\]

Дифференцируя (18.10) и подставляя в (18.1), получим:
\[
z^{\prime}(\varphi) \frac{d \varphi}{d t}=\Phi[z(\varphi)]+\varepsilon E \cos v t,
\]

или, учитывая тождество (18.9):
\[
\frac{d \varphi}{d t}=\omega+\frac{\varepsilon E^{\prime} \cos v t}{z^{\prime}(\varphi)} .
\]

Преобразованное уравнение (18.12) уже не содержит в правой части неоднозначных функций.

Для удобства построения приближенных решений дифференциальных уравнений обычно желательно, чтобы правая часть была регулярной функцией. В уравнении (18.12) правая часть ввиду наличия в знаменателе разрывной функции $z^{\prime}(\varphi)$ не удовлетворяет условию регулярности.

Для регуляризации уравнения (18.12) достаточно обратить роли переменных $t$ и $\varphi$ и дальнейшем считать $\varphi$ независимой переменной; a $t$ неизвестной функцией $\varphi$, определяемой дифференциальным уравнением
\[
\frac{d(
u t)}{d \varphi}=\frac{
u}{\omega+\frac{\varepsilon E \cos v t}{z^{\prime}(\varphi)}} .
\]

Если обозначить через $\gamma$ положительную постоянную, такую, что
\[
|\Phi(x)|>\gamma, \quad a<x<b,
\]

то согласно (18.9) и (18.10) имеем:
\[
\omega\left|z^{\prime}(\varphi)\right|>\gamma .
\]

Предположим, что амплитуда $\varepsilon E$ внешней возмущающей силы меньше $\gamma$. Тогда знаменатель в правой части (18.13) положителен и сама правая часть уравнения (18.13) является аналитической функцией неизвестной $t$. Уравнения типа (18.13) исследовались А. Пуанкаре и А. Данжуа. Однако при помощи результатов, полученных ими, можно выяснить только качественный характер решений. Для получения методики, дающей возможность производить количественные расчеты, воспользуемся методом усреднения, кратко изложенным в главе I.

Для приложения результатов § 1 к уравнению (18.13) разложим правую часть уравнения (18.13) в ряд по степеням є. Имеем:
\[
\frac{d(
u t)}{d \varphi}=\frac{
u}{\omega}-\frac{\varepsilon
u E}{\omega^{2}} \frac{\cos
u t}{z^{\prime}(\varphi)}+\frac{\varepsilon^{2}
u E^{2}}{\omega^{3}} \frac{\cos ^{2}
u t}{\left[z^{\prime}(\varphi)\right]^{2}}-\varepsilon^{3} \ldots
\]

Будем исследовать уравнение (18.16) для резонансного случая. Предположим, что отнопение $\frac{\text { kv }}{\omega}$ близко к некоторому рациональному числу $\frac{p}{q}$, где, как и выше, $p$ и $q$, вообще говоря, небольшие взаимно простые числа.
Тогда, полагая
\[
\frac{
u}{\omega}=\frac{p}{q}+\varepsilon \Delta
\]

и вводя новую переменную $\tau$ по формуле
\[
\tau=v t-\frac{p}{q} \varphi
\]

окончательно уравнение (18.16) можем записать в виде
\[
\begin{aligned}
\frac{d \tau}{d \varphi}=\varepsilon & \left\{\Delta-\frac{p}{q} \frac{E}{\omega} \frac{\cos \left(\tau+\frac{p}{q} \varphi\right)}{z^{\prime}(\varphi)}\right\}+ \\
& +\varepsilon^{2}\left\{\frac{p E^{2}}{q \omega^{2}} \frac{\cos ^{2}\left(\tau+\frac{p}{q} \varphi\right)}{\left[z^{\prime}(\varphi)\right]^{2}}-\frac{\Delta E^{\prime}}{\omega} \frac{\cos \left(\tau+\frac{p}{q} \varphi\right)}{z^{\prime}(\varphi)}\right\}+\varepsilon^{3} \ldots
\end{aligned}
\]

Уравнение типа (18.18) мы условились выше называть уравнением в стандартной форме.

Приближенное решение этого уравнения может быть построено на основании принципа усреднения.

В шервом приближении согласно результатам § 1 главы I решение уравнения (18.18) будет:
\[
\tau=\xi,
\]

где $\xi$ определяется из усредненного уравнения
\[
\frac{d \xi}{d \varphi}=\varepsilon \Delta-\frac{s p E}{q \omega} M_{\varphi}\left\{\frac{\cos \left(\xi+\frac{p}{q} \varphi\right)}{z^{\prime}(\varphi)}\right\} .
\]

Раскроем операцию усреднения в щравй части полученного уравнения. Для этого необходимо разложить функцию $\frac{1}{\omega z^{\prime}(\varphi)}$ в ряд Фурье.
Имеем:
\[
\frac{1}{\omega z^{\prime}(\varphi)}=\frac{1}{\Phi[z(\varphi)]}=A_{0}+\sum_{n
eq 0} A_{n} \cos \left(n \varphi+\vartheta_{n}\right) .
\]

Заметим теперь, что выражение
\[
\underset{\varphi}{M}\left\{\cos \left(n \varphi+\vartheta_{n}\right) \cos \left(\xi+\frac{p}{q} \varphi\right)\right\}
\]

может быть отлично от нуля лишь при $\frac{p}{q}=n$. $\mathrm{B}$ этом случае имеем:
\[
M_{\varphi}\left\{\cos \left(n \varphi+\vartheta_{n}\right) \cos (\xi+n \varphi)\right\}=\frac{1}{2} \cos \left(\xi-\vartheta_{n}\right) .
\]

Таким образом, если $\frac{p}{q}
eq n$, где $n$ – целое число, то уравнение первого приближения (18.20) вырождается в следующее:
\[
\frac{d \xi}{d \varphi}=\varepsilon \Delta,
\]

из которого находим:
\[
\tau=\xi=\varepsilon \Delta \varphi+\text { const }
\]
$\mathbf{T}_{3} \boldsymbol{\theta}_{\text {, }}$
\[

u t-\frac{p}{q} \varphi=\left(\frac{
u}{\omega}-\frac{p}{q}\right) \varphi+\text { const }
\]

или
\[
\varphi=\omega t+\varphi_{0},
\]

и, следовательно, в первом приближении
\[
x=z\left(\omega t+\varphi_{0}\right) .
\]

Итак, в случае, если $\frac{p}{q}
eq n$, мы получаем для вынужденных колебаний в первом приближении такое же выражение, как и для свободных колебаний, когда внешняя сила $\varepsilon E \cos v t$ на систему не воздействует.

Таким образом, в первом приближении влияние малой внешней силы на форму и частоту колебаний оказывается пренебрежимым в случае, когда ее частота не является достаточно близкой к одному из обертонов собственной частоты.
Рис. 108.
Рассмотрим теперь случай, когда $\frac{p}{q}$ равно некоторому целому числу $m$, что соответствует субгармоническому резонансу $\omega \approx \frac{v}{m}$.
Из уравнения (18.20) находим:
\[
\frac{d \xi}{d \varphi}=\frac{
u}{\omega}-m-\frac{\varepsilon m A_{m}}{2} \cos \left(\xi-\vartheta_{m}\right) .
\]

Полученное уравнение значительно проще, чем соответствующие уравнения первого приближения (14.39) для системы, рассмотренной в § 14 настоящей главы, где мы получили систему двух дифференциальных уравнений относительно двух неизвестных – амплитуды и полной фазы колебания. В рассматриваемом случае релаксационных колебаний имеем лишь одно дифференциальное уравнение относительно фазового угла $\xi$, которое к тому же интегрируется в квадратурах.

Характер решений уравнения (18.25) можно обнаружить и непосредственно, не производя предварительно его интегрирования.
Пусть, например,
\[
\left|\frac{v}{\omega}-m\right|<\left|\frac{\varepsilon m A_{m}}{2}\right| .
\]

Тогда производная $\frac{d \xi}{d \varphi}$ будет знакопеременной функцией $\xi$ вида, изображенного на рис. 108.

Таким образсм, очевидно, существуют постоянные решения $\xi_{i}$, являющиеся корнями уравнения
\[
F(\xi)=\frac{
u}{\omega}-m-\frac{\varepsilon m A_{m}}{2} \cos \left(\xi-\vartheta_{m}\right)=0 .
\]

При этом те из решений, для которых
\[
F^{\prime}(\xi)=\frac{\varepsilon m A_{m}}{2} \sin \left(\xi-\vartheta_{m}\right)>0,
\]

неустойчивы, а те решения, для которых
\[
F^{\prime}(\xi)=\frac{\varepsilon m A_{m}}{2} \sin \left(\xi-\vartheta_{m}\right)<0,
\]

устойчивы.
Так как в рассматриваемом случае $\xi=\tau=v t-m \varphi$, имеем:
\[
x=z\left[\frac{v t-\xi}{m}\right],
\]

откуда очевидно, что вынужденные релаксадионные колебания с течением времени приближаются к установившимся периодическим колебаниям, соответствующим различным ксрням уравнения (18.27) и совершающимся с частотой, точно равной субгармонике $\frac{
u}{\boldsymbol{m}}$ частоты $
u$ внешней силы.

Таким образом, для значений частоты у, лежащей внутри резонансной полосы, определенной неравенствсм (18.26):
\[
m-\left|\frac{\varepsilon m A_{n}}{2}\right|<\frac{
u}{\omega}<m+\left|\frac{\varepsilon m A_{n}}{2}\right|,
\]

имеет место явление синхронизации.
Ширина резонансной зоны в первом приближении
\[
\left|s m A_{m}\right| \text {, }
\]

как видно, пропорциональна амплитуде внешней силы.
Рассмотрим теперь случай, когда $\vee$ лежит вне резонансной зоны и, следовательно:
\[
\left|\frac{{ }^{v}}{\omega}-m\right|>\left|\frac{\varepsilon m A_{m}}{2}\right| .
\]

В этом случае согласно уравнению (18.25) очевидно, что производная $\frac{d \xi}{d \varphi}$ имеет постоянный знак, рівный знаку разности $\frac{
u}{\omega}-m$.
Интегрируя уравнения (18.25), получаем:
\[
\varphi=\int_{0}^{\Sigma} \frac{d \xi}{\omega-m-\frac{\varepsilon m A_{m}}{2} \cos \left(\xi-\vartheta_{m}\right)}+\text { const }
\]

откуда находим:
\[
\varphi=\frac{\xi}{\alpha}+\frac{1}{\alpha} f(\xi)+\vartheta_{0},
\]

где
\[
\alpha=\left(\frac{
u}{\omega}-m\right) \sqrt{1-\frac{\varepsilon^{2} m^{2} A_{2}^{2}}{4\left(m-\frac{
u}{\omega}\right)^{2}}},
\]
$\vartheta_{0}$ – произвольная постоянная, $f(\xi)$ – периодическая функция $\xi$ с периодом $2 \pi$ :
\[
f(\xi)=\frac{1}{\pi} \operatorname{arctg} \frac{\cos \left(\frac{\xi-\vartheta_{m}-\beta}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\xi-\vartheta_{m}+\beta}{2}\right)} .
\]

Здесь
\[
\beta=\arccos \frac{\varepsilon m A_{m}}{2\left(m-\frac{v}{\omega}\right)}, \quad 0<\beta<\pi .
\]

Обращая (18.31), получим:
\[
\xi=\alpha\left(\varphi-\vartheta_{0}\right)+F\left\{\alpha\left(\varphi-\vartheta_{0}\right)\right\},
\]

где $F(\vartheta)-$ периодическая функция $\vartheta$ с периодом $2 \pi$.
Замечая, что в цринятом приближении
\[
\xi=\tau=
u t-m \varphi
\]

из (18.34) имеем:
\[
v t=m \varphi+\alpha\left(\varphi-\vartheta_{0}\right)+F\left\{\alpha\left(\varphi-\vartheta_{0}\right)\right\} .
\]

Положим
\[
\alpha\left(\varphi-\vartheta_{0}\right)=\theta ;
\]

тогда
\[
\varphi=\vartheta_{0}+\frac{\theta}{\alpha}
\]
$\mathbf{h}$
\[
(m+\alpha) \theta+\alpha F(\theta)=\alpha\left(v t-m v_{0}\right),
\]

откуда, решая это уравнение относительно $\theta$, находим:
\[
\theta=\frac{\alpha\left(v t-m \vartheta_{0}\right)}{m+\alpha}+\alpha \cdot\left\{\frac{\alpha\left(v t-m \vartheta_{0}\right)}{m+\alpha}\right\},
\]

где $\sigma(\vartheta)$ – периодическая функция $\vartheta$ с периодом $2 \pi$.
Подставляя значения $\forall$ (18.37) в правую часть (18.31), получаем:
\[
\varphi=Q_{p} t+\varphi_{1}+\sigma\left[m\left(Q_{s}-Q_{p}\right) t-m \varphi_{1}\right],
\]

где обозначено:
\[
\begin{array}{l}
Q_{p}=\frac{
u}{m+\alpha}, Q_{s}=\frac{
u}{m} . \\
\varphi_{1}=\frac{\vartheta_{0} \alpha}{m+\alpha}=\text { const. }
\end{array}
\]

Подставляя (18.38) в (18.28), находим окончательно приближенное выражение для вынужденных релаксационных колебаний в виде
\[
x=z\left\{Q_{p} t+\varphi_{1}+\circ\left[m\left(Q_{8}-Q_{p}\right) t-m \varphi_{1}\right]\right\} .
\]

Таким образом, в рассматриваемом случае колебания являются кратно периодическими и совершаются с двумя основными частотами с частотой $Q_{p}$, которую можно было бы назьать измененной собстьенной частотой, так как $\mathbb{Q}_{p}=\omega$ при $\varepsilon=0$, и с частотой биений
\[
\left|m\left(Q_{s}-Q_{p}\right)\right|=\left|\frac{\alpha
u}{m+\alpha}\right| \approx \sqrt{(
u-m \omega)^{2}-\frac{\varepsilon^{2} m^{2} A_{n}^{2}}{4}},
\]

представляющей разностиый тон между частотой внешней силы $
u=m \Omega$, и $m$-м обертоном измененной собственной частоты.

Заметим, что при приближении $\vee$ к границе резонансной зоны $a \rightarrow 0$ a потому стремится к нулю и частота биений.

Кроме того, нетрудно показать, что при удалении от резопанса интенсивность биений, определяемых функцией $\sigma$, уменьшается и измененная собственная частота $Q_{p}$ приближается к своему значению (1, соответствующему свободным колебаниям.

Перейдем теперь к построению второго приближения. Для этого прежде всего найдем выражение улучпенного первого приближения.

Рассмотрим сначала общий случай произвольного рационального значения отношения $\frac{p}{q}$.

Воспользовавшись разложением Фурье (18.21), получаем для коэффициента при первой степени а в правой части уравнения (18.20) выражение
\[
\begin{array}{l}
\Delta-\frac{p}{q \omega} \frac{\cos \left(\tau+\frac{p}{q} \varphi\right)}{z^{\prime}(\psi)}=\Delta-\frac{p}{q} A_{0} \cos \left(\tau+\frac{p}{q} \varphi\right)- \\
\left.-\frac{p}{q} \sum_{n
eq 0} \frac{A_{n}}{2}\left\{\cos \left[\left(n+\frac{p}{q}\right)\right\} \varphi+\tau+\vartheta_{n}\right]+\cos \left[\left(n-\frac{p}{q}\right) \varphi-\tau+\vartheta_{n}\right]\right\} .
\end{array}
\]

Поэтому улучшенное первое приближение будет иметь следующий вид:
\[
\tau=\xi+\varepsilon u(\varphi, \xi),
\]

где
\[
\begin{array}{l}
u(\varphi, \xi)=-A_{0} \sin \left(\xi+\frac{p}{q} \varphi\right)-\frac{p}{q} \sum_{n
eq 0} \frac{A_{n}}{2} \frac{\sin \left\{\left(n+\frac{p}{q}\right) \varphi+\xi+\vartheta_{n}\right\}}{n+\frac{p}{q}}- \\
-\frac{p}{q} \sum_{\substack{n
eq \frac{p}{q} \\
n
eq 0, n}} \frac{A_{n}}{} \frac{\sin \left\{\left(n-\frac{p}{q}\right) \varphi-\xi+\vartheta_{n}\right\}}{n-\frac{p}{q}} . \\
\end{array}
\]

Подставляя значение $\tau$ (18.41) в уравнение (18.20) и усредняя по $ч$, получим уравнение второго приближения:
\[
\begin{array}{r}
\frac{d \xi}{d \varphi}=\Sigma\left\{-\frac{p}{q} M_{\varphi}\left[\frac{\cos \left(\xi+\frac{p}{q} \varphi\right)}{\omega z^{\prime}(\varphi)}\right]\right\}+\varepsilon^{2} M\left[\frac{p}{\varphi} \frac{\sin \left(\xi+\frac{p}{q} \varphi\right)}{\omega z^{\prime}(\varphi)} u(\varphi, \xi)+\right. \\
\left.+\frac{p}{q} \frac{\cos ^{2}\left(\xi+\frac{p}{q} \varphi\right)}{\left[\omega z^{\prime}(\varphi)\right]^{2}}-\frac{\Delta}{\omega} \frac{\cos \left(\xi+\frac{p}{q} \varphi\right)}{z^{\prime}(\varphi)}\right] .
\end{array}
\]

Рассмотрим сначала нерезонансный случай, когда отношение $\frac{p}{q}$ не равно ни целому, ни половине целого числа, и следовательно, когда частота внешней силы не лежит вблизи обертонов собственной частоты – $n \omega$ и ее половины – $\frac{n \omega}{2}$.

Заметим, что в принятом нерезонансном случае для любых целых $n$ и $m$ имеем неравенства
\[
n
eq \frac{p}{q}, n+\frac{p}{q}
eq m-\frac{p}{q} .
\]

Далее, на основании (18.21) имеем:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{\cos \left(\xi+\frac{p}{q} \varphi\right)}{\omega z^{\prime}(\varphi)}=A_{0} \cos \left(\xi+\frac{p}{q} \varphi\right)+ \\
+\frac{1}{2} \sum_{n
eq 0} A_{n}\left\{\cos \left[\left(n+\frac{p}{q}\right) \varphi+\xi+\vartheta_{n}\right]+\right. \\
& \left.+\cos \left[\left(n-\frac{p}{q}\right) \varphi-\xi+\vartheta_{n}\right]\right\}, \\
\frac{\sin \left(\xi+\frac{p}{q} \varphi\right)}{\omega z^{\prime}(\varphi)}=A_{0} \sin \left(\xi+\frac{p}{q} \varphi\right)+ \\
\quad+\frac{1}{2} \sum_{n
eq 0} A_{n}\left\{\sin \left[\left(n+\frac{p}{q}\right) \varphi+\xi+\vartheta_{n}\right]-\right. \\
\left.-\sin \left[\left(n-\frac{p}{q}\right) \varphi-\xi+\vartheta_{n}\right]\right\}
\end{array}\right\}
\]

Поэтому, учитывая (18.42) и (18.44), можем написать:
\[
\begin{array}{c}
M\left\{\frac{\cos \left(\xi+\frac{p}{q} \varphi\right)}{\omega z^{\prime}(\varphi)}\right\}=0, \\
\underset{\varphi}{M}\left\{\frac{\cos ^{2}\left(\xi+\frac{p}{q} \varphi\right)}{\left[\omega z^{\prime}(\varphi)\right]^{2}}\right\}=\frac{1}{2} A_{0}^{2}+\frac{1}{4} \sum_{n
eq 0} A_{n}^{2}, \\
M_{\varphi}\left\{\frac{\sin \left(\xi+\frac{p}{q} \varphi\right)}{\omega z^{\prime}(\psi)} u(\varphi, \xi)\right\}=-\frac{A_{0}^{2}}{2}+\frac{p}{q} \sum_{n
eq 0} \frac{A_{n}^{2}}{8}\left[\frac{1}{n-\frac{p}{q}}-\frac{1}{n+\frac{p}{q}}\right] .
\end{array}
\]

После әтого уравнение второго приближения (18.43) принимает следующий вид:
\[
\frac{d \xi}{d \varphi}=\varepsilon \Delta+\varepsilon^{2} \gamma=\frac{
u}{\omega}-\frac{p}{q}+\varepsilon^{2} \gamma,
\]

где обозначено
\[
\gamma=\frac{p}{q} \sum_{n
eq 0} \frac{A_{n}^{2}}{4} \frac{n^{2}}{n^{2}-\frac{p^{2}}{q^{2}}} .
\]

Интегрируя уравнение (18.45), находим:

где $\xi_{0}$ – произвольная постоянная. Принимая во внимание (18.41), получаем следующую формулу второго приближения:
\[
\tau=
u t-\frac{p}{q} \varphi=\left[\frac{
u}{\omega}-\frac{p}{q}+\varepsilon^{2} \gamma\right] \varphi+\xi_{0}+\varepsilon u\left[\varphi,\left(\frac{
u}{\omega}-\frac{p}{q}+\varepsilon^{2} \gamma\right) \varphi+\xi_{0}\right] \text {, }
\]

из которой с точностью до величин второго порядка малости включительно получаем:
\[
\varphi=\frac{
u t-\xi_{0}}{\frac{
u}{\omega}+\varepsilon^{2} \gamma}-\frac{\omega}{
u} \varepsilon u\left\{\frac{
u t-\xi_{0}}{\frac{
u}{\omega}+\varepsilon^{2} \gamma},\left[\frac{
u}{\omega}-\frac{p}{q}+\varepsilon^{2} \gamma\right] \frac{
u t-\xi_{0}}{\frac{
u}{\omega}+\varepsilon^{2} \gamma}+\xi_{0}\right\} .
\]

Полагая здесь:
\[
Q_{p}=\frac{\omega}{1+\delta^{2} \gamma \frac{\omega}{
u}}, \quad \varphi_{0}=-Q_{p} \frac{\xi_{0}}{
u},
\]

имеем:
\[
\varphi=\mathrm{Q}_{p} t+\varphi_{0}-\varepsilon u\left\{\mathrm{Q}_{p} t+\varphi_{0},\left(
u-\frac{p}{q} \mathrm{Q}_{p}\right) t-\frac{p}{q} \varphi_{0}\right\} \frac{\omega}{
u} .
\]

Итак, в нерезонансном случае получаем следующие выражения второго приближения для вынужденных релаксационных колебаний:
\[
\begin{array}{c}
x=z(\varphi), \\
\varphi=Q_{p} t+\varphi_{0}+\frac{p \omega}{q \vee} \sum_{n
eq 0} \frac{\varepsilon A_{n}}{2\left(n+\frac{p}{q}\right)} \sin \left[n\left(Q_{p} t+\varphi_{0}\right)+
u t+\vartheta_{n}\right]+ \\
+\frac{p \omega}{q \vee} \sum_{n
eq 0} \frac{\varepsilon A_{n}}{2\left(n-\frac{p}{q}\right)} \sin \left[n\left(Q_{p} t+\varphi_{0}\right)-
u t+\vartheta_{n}\right]+\varepsilon A_{0} \sin v t,
\end{array}
\]

где согласно (18.48) с принятой нами степенью точности
\[
\Omega_{p}=\omega-\sum_{n
eq 0} \frac{\varepsilon^{2} A_{n}^{2}}{4} \frac{n^{2} \omega}{n^{2}-\frac{p^{2}}{q^{2}}} .
\]

Из полученных формул второго приближения нетрудно исключить вспомогательную величину – отношение $\frac{p}{q}$. Так как разность $\frac{v}{\omega}-\frac{p}{q}$ первого порядка малости, то формулы (18.50) верны с точностью до величин второго, а формула (18.51) до величин третьего порядка малости. С такой же степенью точности можем написать:
\[
\left.\begin{array}{c}
x=z(\varphi), \\
\varphi=Q_{p} t+\varphi_{0}+\sum_{n
eq 0} \frac{\varepsilon A_{n} \omega}{2(n \omega+
u)} \sin \left\{n\left(Q_{p} t+\varphi_{0}\right)+
u t+\vartheta_{n}\right\}+ \\
+\sum_{n
eq 0} \frac{\varepsilon A_{n} \omega}{2(n \omega-
u)} \sin \left\{n\left(Q_{p} t+\varphi_{0}\right)-
u t+\vartheta_{n}\right\}+s A_{0} \sin
u t, \\
Q_{p}=\omega-\sum_{n
eq 0} \frac{\varepsilon^{2} A_{n}^{2}}{8}\left[\frac{n \omega}{n \omega-
u}+\frac{n \omega}{n \omega+
u}\right] .
\end{array}\right\}
\]

Найденное решение соответствует асинхронному режиму колебаний. Здесь колебания будут квазипериодическими с двумя основными частотами $
u$ ‘и $Q_{p}$.

Изменение фазового угла $\varphi$ представляется здесь как вращение с постоянной угловой скоростью, равной $Q_{p}$, на которое налагаются колебания с малой амплитудой, с частотами v, $n Q_{p}-
u, n Q_{p} H \cdot$.

Перейдем теперь к построению второго приближения в резонансном случае.

Для исследования резонансного случая следует взять отношение $\frac{p}{q}$ равным целому или половине целого числа. Если положим $\frac{p}{q}=m$, то в качестве уравнения второго приближения получим уравнение, отличающееся от (18.25) на члены второго порядка малости. С помощью этого уравнения мы можем уточнить положение и ширину резонансной зоны, уточнить значение измененной собственной частоты асинхронных колебаний и т. д.

Не останавливаясь на этом, рассмотрим случай, когда отношение $\frac{p}{q}$ является половиной целого числа:
\[
\frac{p}{q}=\frac{2 m+1}{2} .
\]

Для раскрытия операции усреднения в уравнении второго приближения (18.43) заметим, что согласно (18.42) имеем:
\[
\begin{aligned}
u(\varphi, \xi)=-A_{0} \sin \left(\xi+\frac{2 m+1}{2} \varphi\right)- \\
-\frac{2 m+1}{2} \sum_{n
eq 0} \frac{A_{n}}{2} \frac{\sin \left[\left(n+\frac{2 m+1}{2}\right) \varphi+\xi+\vartheta_{n}\right]}{n+\frac{2 m+1}{2}}- \\
-\frac{2 m+1}{2} \sum_{n
eq 0} \frac{A_{n}}{2} \frac{\sin \left[\left(n-\frac{2 m+1}{2}\right) \varphi-\xi+\vartheta_{n}\right]}{n-\frac{2 m+1}{2}}
\end{aligned}
\]

подставляя значение (18.53) в правую часть уравнения (18.43), после ряда выкладок находим:
\[
\frac{d \xi}{d t}=\frac{
u}{\omega}-\frac{2 m+1}{2}+\hat{\varepsilon}^{2} \gamma-\varepsilon^{2} \frac{2 m+1}{4} S_{m} \cos \left(2 \xi+\psi_{m}\right),
\]

где обозначено
\[
\left.\begin{array}{l}
S_{m} \sin \psi_{m}=\underset{\varphi}{M}\left\{\frac{\sin (2 m+1) \varphi}{\left[\omega z^{\prime}(\zeta)\right]^{2}}\right\}, \\
S_{m} \cos \psi_{m}=-M\left\{\frac{\cos (2 m+1) \varphi}{\left[\omega z^{\prime}(\zeta)\right]^{2}}\right\} \cdot
\end{array}\right\}
\]

Полученное уравнение (18.54) отличается от уравнения (18.45) для нерезонансного случая наличием слагаемого
\[
\text { 8. } \frac{2 m+1}{4} S_{m} \cos \left(2 \xi-\psi_{m}\right) \text {. }
\]

Так же как и в случае первого приближения, нетрудно видеть, что резонансная зона определяется неравенством
\[
-\varepsilon^{2} \frac{2 m+1}{4} S_{m}<\frac{
u}{\omega}-\frac{2 m+1}{2}+\varepsilon^{2} \gamma<\varepsilon^{2} \frac{2 m+1}{4} S_{m}
\]

или, вводя измененную собственную частоту $Q_{p}$ с той же степенью точности, неравенством
\[
-\mathrm{s}^{2} \frac{2 m+1}{4} S_{m}<\frac{
u}{\Omega_{p}}-\frac{2 m+1}{2}<\varepsilon^{2} \frac{2 m+1}{4} S_{m} .
\]

Итак, рассматривая первое приближение, мы нашли резонансные зоны только для $
u$, лежащих в окрестности $т \omega$, причем ширина их оказалась пропорциональной первой степени $s$; во втором приближении обнаруживаются дополнительные резонансные зоны для $
u$, лежащих в окрестности $\frac{2 m+1}{2} \omega$, и ширина этих «вторичных» зон пропорциональна \”квадрату в.

Анализ высших приближений указал бы также на наличие резонансных зон для $
u \approx \frac{p}{q} \omega, q=3,4, \ldots$ с шириной порядка $\varepsilon^{q}$.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru