Часто при исследовании колебательных систем со многими степенямп свободы удобнее — рассматривать систему $N$ дифферендиальных уравнений второго порядка, где $N$ — число степеней свободы.

Мы рассмотрим частный случай, когда невозмущенная система соответствует обычной схеме теории малых колебаний.

Для исследования этого частного случая воспользуемся результатами, установленными в предыдущем параграфе. Как известно, в этом случае невозмущенная система полностью характеризуется кинетической энергией
$$T=\frac{1}{2}\sum _{r,s=1}^N{a}_{rs}{\dot{q}}_r{\dot{q}}_s$$

и потенциальной энергией
$$V=\frac{1}{2}\sum _{r,s=1}^N{c}_{rs}{q}_r{q}_s,$$

где $q_s(s=1,2,\dots ,N)$ — обобщенные координаты и $a_{rs},c_{rs}$ — соответственно инерционные и квазиупругие коэффициенты, причем $a_{rs}=a_{sr}$, $c_{rs}=c_{sr}$.

Подставляя значения кинетической и потенциальной энергии (21.1) и (21.2) в уравнения Лагранжа, мы получаем дифференциальные уравнения невозмущенного движения в виде
$$\sum _{s=1}^N\{a_{rs}{\ddot{q}}_s+c_{rs}{q}_s\}=0(r=1,2,\dots ,N).$$

Предполагая, что возмущение определяется малыми обобщенными силами вида
$$\begin{array}{l}{Q}_{\mathrm{r}}(q_1,\dots ,q_N,{\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_N,\epsilon )=\\ =\epsilon Q_r^{(1)}(q_1,\dots ,q_N,{\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_N)+{\epsilon }^2{Q}_r^{(2)}(q_1,\dots ,q_N,{\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_N)+{\epsilon }^3\dots (21.4)\\ (r=1,2,\dots ,N),\end{array}$$

приходим к задаче исследования следующих дифференциальных уравнений:
$$\begin{array}{l}\sum _{s=1}^N\{a_{rs}{\ddot{q}}_s+c_{r3}{q}_s\}=\\ =\epsilon Q_r^{(1)}(q_1,\dots ,q_N,{\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_N)+{\epsilon }^2{Q}_r^{(2)}(q_1,\dots ,q_N,{\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_N)+{\epsilon }^3\dots \\ (r=1,2,\dots ,N),\end{array}$$

которые при $\epsilon =0$ вырождаются в уравнения (21.3).
Прежде чем переходить к применению результатов предыдущего параграфа к исследованию системы уравнений (21.5), остановимся на некоторых свойствах решений системы невозмущенных уравнений (21.3).

Как известно, частные рещения невозмущенной системы (21.3), соответствующие нормальным колебаниям, представляются выражениями:
$$\begin{array}{c}{q}_{\mathrm{s}}={\phi }_s^{(j)}a{e}^{i({\omega }_{j}t+\theta )}+{\phi }_s^{(j)\ast }a{e}^{-i({\omega }_{j}t+\theta )}\\ (s,j=1,2,\dots ,N)\end{array}$$

или в вещественной форме
$$q_s={\phi }_s^{(j)}a\cos ({\omega }_{j}t+\theta )(s,j=1,2,\dots ,N),$$

где ${\omega }_j(j=1,2,\dots ,N)$ — собственные частоты, определяемые характеристическим уравнением
${\phi }_s^{(j)}(s,j=1,2,\dots ,N)$ — нормальные функции, являющиеся нетривиальными решениями системы однородных алгебраических уравнений
$$\sum _{s=1}^N\{-a_{rs}{\omega }_j^2+c_{rs}\}{\phi }_s^{(j)}=0(r,j=1,2,\dots ,N),$$

обладающие свойством ортогональности
$$\begin{array}{rl}\sum _{r,s=1}^N{a}_{rs}{\phi }_r^{(j)}{\phi }_s^{(l)}& =0\\ \sum _{r,s=1}^N{c}_{rs}{\phi }_r^{(j)}{\phi }_s^{(l)}& =0(jeql),\end{array}\}$$

а $a$ и $\theta$-вещественные произвольные постоянные.
Заметим далее, что вынужденные колебания, возбуждаемые в невозмущенной системе (21.3) гармоническими обобщенными силами
$$Q_r=E_r\cos (\alpha t+\vartheta )(r=1,2,\dots ,N),$$

определяются выражениями:
$$q_s=u_s\cos (\alpha t+\vartheta )(s=1,2,\dots ,N).$$

Постоянные амплитуды $u_r(r=1,2,\dots ,N)$ удовлетворяют системе неоднородных алгебраических уравнений
$$\sum _{s=1}^N\{-a_{rs}{\alpha }^2+c_{rs}\}{u}_s=E_r(r=1,2,\dots ,N),$$

для решения которой воспользуемея нормальными координатами. Будем искать выражение для $u_s(s=1,2,\dots ,N)$ в виде сумм
$$u_s=\sum _{j=1}^N{c}_j{\phi }_s^{(j)}(s=1,2,\dots ,N),$$

где $c_j$ — неизвестные коэффициенты, подлежащие определению. Подставляя (21.11) в систему уравнений (21.10) и учитывая, что
$${\phi }_s^{(j)}(s,j=1,2,\dots ,N)$$

удовлетворяют системам однородных алгебраических уравнений (21.8), получим:
$$\sum _{j=1}^N\sum _{s=1}^N{a}_{rs}\{{\omega }_j^2-{\alpha }^2\}{c}_j{\phi }_s^{(j)}=E_r(r=1,2,\dots ,N).$$

Умножая эти уравнения соответственно на ${\phi }_1^{\left(j_1\right)},{\phi }_2^{\left(j_1\right)},\dots ,{\phi }_N^{\left(j_1\right)}$ и суммируя результат по $r$, находим:
$$\sum _{j=1}^N{c}_j\{{\omega }^{(2)}-{\alpha }^2\}\sum _{s,r=1}^N{a}_{rs}{\phi }_s^{(j)}{\phi }_r^{\left(j_1\right)}=\sum _{r=1}^N{E}_r{\phi }_r^{\left(j_1\right)}.$$

Принимая во внимание ортогональность нормальных функций (выражения (21.9)) и вводя обозначения
$$\sum _{r,s=1}^N{a}_{rs}{\psi }_r^{(j)}{\psi }_s^{(j)}=m_j(j=1,2,\dots ,N),$$

находим:
$$u_s=\sum _{j=1}^N{\phi }_s^{(j)}\frac{\sum _{r=1}^N{E}_r{\phi }_r^{(j)}}{m_j({\omega }_j^2-{\alpha }^2)}(s=1,2,\dots ,N).$$

Таким образом, условие конечности вынужденных колебаний в случае, когда частота внешней силы $\alpha$ равна одной из собственных частот, например ${\omega }_1$, будет иметь вид:
$$\sum _{r=1}^N{E}_r{\phi }_r^{(1)}=0$$

При выполнении этого условия амплитуды вынужденных колебаний определяются формулой
$$u_s=\sum _{j=2}^N{\phi }_{\mathrm{s}}^{(j)}\frac{\sum _{r=1}^N{E}_r{\mathrm{\Psi }}_r^{(j)}}{m_j({\omega }_j^2-{\alpha }^2)}+C{\phi }_s^{(1)}(s=1,2,\dots ,N),$$

где $C$-произвольная постоянная.
После сделанных кратких замечаний о собственных и вынужденных колебаниях в невозмущенной системе (21.3) перейдем к исследованию системы возмущенных уравнений (21.5).

Как и в предыдущем параграфе, рассмотрим задачу о построении асимптотических приближенных формул для частных решений, соответствующих одночастотным колебаниям, близким (при малых в) к одному из нормальных невозмущенных колебаний (21.6), например $\kappa$ нормальному колебанию
$$q_s={\phi }_s^{(1)}a\cos ({\omega }_{1}t+\theta )(s=1,2,\dots ,N)$$

с частотой ${\omega }_1$.
Чтобы удовлетворить условиям применимости метода, изложенного в предыдущем параграфе, необходимо сделать следующие допущения:
1. В невозмущенной системе возможны незатухающие гармонические колебания с частотой ${\omega }_1$, зависящие только от двух произвольных постоянных.
2. Единственным решением, соответствующим равновесию в невозмущенной системе, является тривиальное решение
$$q_1=q_2=..=q_N=0.$$
3. Частота ${\omega }_1$, а также ни один из ее обертонов $2{\omega }_1,3{\omega }_1,\dots ,k{\omega }_1,\dots$ не равны какой-либо собственной частоте ${\omega }_2,\dots ,{\omega }_N$ невозмущенной системы (отсутствует внутренний резонанс).

При этих условиях мы можем применить нап метод и построить асимштотические разложения
$$\begin{array}{c}{q}_s={\phi }_s^{(1)}a\cos ({\omega }_{1}t+\theta )+\epsilon u_s^{(1)}(a,{\omega }_{1}t+\theta )+{\epsilon }^2{u}_s^{(2)}(a,{\omega }_{1}t+\theta )+{\epsilon }^3\cdots \\ (s=1,2,\dots ,N),\end{array}$$

в которых $a$ и $\psi ={\omega }_{1}t+\theta$ определяются дифферендиальными уравнениями вида:
$$\begin{array}{l}\frac{da}{dt}=\epsilon A_1(a)+{\epsilon }^2{A}_2(a)+{\epsilon }^3\dots ,\\ \frac{d\psi }{dt}={\omega }_1+\epsilon B_1(a)+{\epsilon }^2{B}_2(a)+{\epsilon }^3\dots \end{array}\}$$

Функции $u_s^{(1)}(a,{\omega }_{1}t+\theta ),u_s^{(2)}(a,{\omega }_{1}t+\theta ),\dots (s=1,2,\dots ,N)$; $A_1(a),A_2(a),\dots ;B_1(a),B_2(a),\dots$, стоящие в правых частях выражений (21.19) и уравнений (21.15), могут быть определены совершенно так же, как и в предыдущем параграфе. Однако нетрудно убедиться, что первые члены разложений (21.19) и (21.20), необходимые для построения решений в первом и во втором приближении, могут быть найдены с помощью формального приема, сформулированного в предыдущем параграфе.

Выведем вначале формулы для первого приближения. Как и в предыдущем параграфе, в качестве первого приближения принимаем выражения
$$q_s={\phi }_s^{(1)}a\cos \psi (s=1,2,\dots ,N),$$

в которых амплитуда $a$ и полная фаза $\psi$ определяются уравнениями:
$$\begin{array}{rl}\frac{da}{dt}& =\epsilon A_1(a),\\ \frac{d\psi }{dt}& ={\omega }_1+\epsilon B_1(a).\end{array}\}$$

Здесь функции $A_1(a)$ и $B_1(a)$ можем найти, подставляя (21.21) в уравнения гармонического баланса:
$$\begin{array}{c}{\int }_0^{2\pi }\sum _{r=1}^N{\phi }_r^{(1)}\{\sum _{s=1}^N(a_{rs}{\ddot{q}}_s+c_{rs}{q}_s)-\epsilon Q_r^{(1)}(q_1,\dots ,q_N,{\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_N)-\\ -{\epsilon }^2{Q}_r^{(2)}(q_1,\dots ,q_N,{\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_N)-\dots \}\cos \psi d\psi =0,\\ {\int }_0^{2\pi }\sum _{r=1}^N{\phi }_r^{(1)}\{\sum _{s=1}^N(a_{rs}{\ddot{q}}_s+c_{rs}{q}_s)-s{Q}_r^{(1)}(q_1,\dots ,q_N,{\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_N)-\\ -{\epsilon }^2{Q}_r^{(2)}(q_1,\dots ,q_N,{\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_N)-\dots \}\sin \psi d\psi =0,\end{array}\}$$

причем при подстановке ограничиваемся только членами первого порядка малости включительно.

Найдем явные выражения для $A_1(a)$ п $B_1(a)$. Дифференцируя (21.21), учитывая при этом уравнения (21.22), находим с точностью до величин первого порядка малости:
$$\begin{array}{c}{\dot{q}}_s={\phi }_s^{(1)}[\epsilon \cos \psi A_1(a)-a{\omega }_1\sin \psi -\epsilon a{\omega }_1\sin \psi B_1(a)],\\ \ddot{q_s}={\phi }_s^{(1)}[-\epsilon 2{\omega }_1\sin \psi A_1(a)-a{\omega }_1^2\cos \psi -\epsilon 2a{\omega }_1\cos \psi B_1(a)]\\ (s=1,2,\dots ,N).\end{array}\}$$

Подставляя (21.21) и (21.24) в выражения (21.23), находим с той же степенью точности:
$$\begin{array}{l}{\int }_0^{2\pi }\sum _{r=1}^N{\phi }_r^{(1)}\{\sum _{s=1}^N{\phi }_s^{(1)}[-a_{rs}(a{\omega }_1^2\cos \psi +2a{\omega }_1\epsilon \cos \psi B_1(a)+2\epsilon {\omega }_1\sin \psi A_1(a))+\\ +c_{rs}a\cos \psi ]-\epsilon Q_r^{(1)}({\phi }_1^{(1)}a\cos \psi ,\dots ,-{\phi }_1^{(1)}a{\omega }_1\sin \psi ,\dots )\}\cos \psi d\psi =0,\\ {\int }_0^{2\pi }\sum _{r=1}^N{\phi }_r^{(1)}\{\sum _{s=1}^N{\phi }_s^{(1)}[-a_{rs}(a{\omega }_1^2\cos \psi +2a{\omega }_1\epsilon \cos \psi B_1(a)+2\epsilon {\omega }_1\sin \psi A_1(a))+\\ +c_{rs}a\cos \psi ]-\epsilon Q_r^{(1)}({\phi }_1^{(1)}a\cos \psi ,\dots ,-{\phi }_1^{(1)}a{\omega }_1\sin \psi ,\dots ,)\}\sin \psi d\psi =0.\end{array}$$

Меняя порядок суммирования и интегрирования, полагая при интегрировании по $\psi$, что $a$-постоянная и учитывая, что
$${\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\psi d\psi =\pi ,{\int }_0^{2\pi }\sin \psi \cos \psi d\psi =0,{\int }_0^{2\pi }{\sin }^2\psi d\psi =\pi ,$$

получим:
$$\begin{array}{l}2a{\omega }_1\pi s{B}_1(a)\sum _{r,s=1}^N{\phi }_r^{(1)}{\phi }_s^{(1)}{a}_{rs}-a\pi \sum _{r,s=1}^N(c_{rs}-a_{rs}({)}_1^2){\phi }_s^{\prime }{\phi }_r^{(1)}=\\ =-\epsilon {\int }_0^{2\pi }\sum _{r=1}^N{\phi }_r^{(1)}{Q}_r^{(1)}({\phi }_1^{(1)}a\cos \psi ,\dots ,-{\phi }_1^{(1)}a{\omega }_1\sin \psi ,\dots )\cos \varphi d\psi ,\\ 2{\omega }_1\pi s{A}_1(a)\sum _{r,s=1}^N{\phi }_r^{(1)}{\phi }_s^{(1)}{a}_{rs}=\\ =-\epsilon {\int }_0^{2\pi }\sum _{r=1}^N{\phi }_r^{(1)}{Q}_r^{(1)}({\phi }_1^{(1)}a\cos \psi ,\dots ,-{\phi }_1^{(1)}a{\omega }_1\sin {\psi }_1,\dots )\sin \psi d\psi .\end{array}$$

Учитывая, что
$$\sum _{r,s=1}^N{a}_{rs}{\phi }_r^{(1)}{\phi }_s^{(1)}=m_1,\sum _{s=1}^N(c_{rs}-a_{rs}{\omega }_1^2){\phi }_s^{(1)}=0$$

окончательно получаем следующие формулы:
$$\begin{array}{c}\epsilon A_1(a)=-\frac{\epsilon }{2{\omega }_1\pi m_1}{\int }_0^{2\pi }\sum _{r=1}^N{\phi }_r^{(1)}{Q}_r^{(1)}({\phi }_1^{(1)}a\cos \psi ,\dots \\ \dots ,-{\phi }_1^{(1)}a{\omega }_1\sin \psi ,\dots )\sin \psi d\psi ,\\ \epsilon B_1(a)=-\frac{\epsilon }{2{\omega }_1\pi m_{1}a}{\int }_0^{2\pi }\sum _{r=1}^N{\phi }_r^{(1)}{Q}_r^{(1)}({\phi }_1^{(1)}a\cos \psi ,\dots \\ \dots ,-{\phi }_1^{(1)}a{\omega }_1\sin \psi ,\dots )\cos \psi d\psi .\end{array}$$

Заметим теперь, что формулы (21.25) можно получить гораздо проще, проведя аналогию с результатами первого параграфа для системы с одной степенью свободы.

Действительно, на основании (21.7) и (21.14), можем написать:
$$\sum _{r,s=1}^N{c}_{rs}{\phi }_r^{(1)}{\phi }_s^{(1)}=m_1({\omega }_1^2.$$

Полагая $x=a\cos \psi$, вместо (21.23) получаем следующие уравнения гармонического баланса:
$$\begin{array}{l}{\int }_0^{2\pi }\{m_1(\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }_1^{2}x)-\\ -\epsilon \sum _{r=1}^N{\phi }_r^{(1)}{Q}_r^{(1)}({\phi }_1^{(1)}x,\dots ,{\phi }_N^{(1)}x,{\phi }_1^{(1)}\dot{x},\dots ,{\phi }_N^{(1)}\dot{x})\}\cos \psi d\psi =0,\\ {\int }_0^{2\pi }\{m_1(\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }_1^{2}x)-\\ -\epsilon \sum _{r=1}^N{\phi }_r^{(1)}{Q}_r^{(1)}({\phi }_1^{(1)}x,\dots ,{\phi }_N^{(1)}x,{\phi }_1^{(1)}\dot{x},\dots ,{\phi }_N^{(1)}\dot{x})\}\sin \psi d\psi =0\end{array}$$

Отсюда совершенно очевидно, что уравнения первого приближения (21.22) должны оказаться теми же, что и для системы с одной степенью свободы с массой $m_1$, упругостью $m_1{\omega }_1^2$, находящейся под воздействием возмущающей силы:
$$\approx \sum _{r=1}^N{\phi }_r^{(1)}{Q}_r^{(1)}({\phi }_1^{(1)}x,\dots ,{\phi }_N^{(1)}x,{\phi }_1^{(1)}\dot{x},\dots ,{\phi }_N^{(1)}\dot{x})$$

Поэтому, воспользовавшись формулами (1.27), выведенными для случая системы с одной степенью свободы и нодставляя в них вместо $f(a\cos \psi ,-a\omega \sin \psi )$ выражение (21.27), мы сразу находим формулы (21.25).

Остановимся еще на простой энергетической интерпретации полученных формул (21.25).

Рассмотрим для этого выражение виртуальной работы $\delta W$, которую совершили бы возмущающие обобщенные силы
$$Q_r^{(1)}(q_1,\dots ,q_N,{\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_N)(r=1,2,\dots ,N)$$

в режиме синусоидальных колебаний
$$q_s={\phi }_s^{(1)}a\cos \psi ,{\dot{q}}_s=-{\omega }_1{\phi }_s^{(1)}a\sin \psi ,$$

на виртуальных перемещениях
$$\delta q_s={\phi }_s^{(1)}\cos \varphi \stackrel{`}{\partial }a-{\phi }_s^{(1)}a\sin \psi \hat{\partial }\psi ,$$

соответствующих вариациям амплитуды и полной фазы нормального колебания. Имеем с принятой степенью точности, т. е. с точностью до величин первого порядка малости включительно:
$$\begin{array}{l}\delta W=\epsilon \sum _{r=1}^N{Q}_r^{(1)}({\phi }_1^{(1)}a\cos \psi ,\dots ,-{\phi }_1^{(1)}a{\omega }_1\sin \psi ,\dots )\times \\ \times [{\phi }_r^{(1)}\cos \psi \stackrel{`}{\delta }a-{\phi }_r^{(1)}a\sin \psi \hat{\delta }\psi ].\end{array}$$

Возьмем среднее значение этой работы за полный цикл колебания:
$$\overline{\delta W}=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\delta Wd\psi .$$

Тогда, сопоставляя (21.28), (21.29) с (21.25), можем написать:
$$\overline{\partial W}=-m_1{\omega }_{1}as{B}_1(a)\delta a+m_1{\omega }_{1}as{A}_1(a)\delta \psi .$$

Обозначим символами
$$\frac{\overline{\delta \overline{W}}}{\overline{\delta }a},\frac{\overline{\delta W}}{\overline{\delta }\psi }$$

коэффициенты при вариациях $\delta a$ и $\delta \psi$ в выражении для $\overline{\alpha }\overline{W}$.
Тогда будем иметь:
$$\epsilon A_1(a)=\frac{1}{m_1{\omega }_{1}a}\frac{\overline{\delta W}}{\delta \psi },\epsilon B_1(a)=-\frac{1}{m{\omega }_{1}a}\frac{\overline{\delta W}}{\delta a},$$

и поэтому уравнения первого приближения можно представить в виде
$$\begin{array}{c}\frac{da}{dt}=\frac{1}{m_1{\omega }_{1}a}\frac{\overline{\delta W}}{\delta \psi },\\ \frac{d\psi }{dt}={\omega }_1-\frac{1}{m_1{\omega }_{1}a}\frac{\overline{\delta W}}{\delta a}.\end{array}$$

Итак, чтобы получить уравнения первого приближения, достаточно определить только среднюю величину виртуальной работы за цикл колебания, которую совершили бы возмущающие силы в режиме синусоидальных колебаний на виртуальных перемещениях, соответствующих вариации их амплитуды $a$ и фазы.

Перейдем теперь к построению решений для уравнений (21.5) во втором приближении.

Для этого рассмотрим вначале, с точностью до величин первого порядка малости, вынужденные колебания, которые возбуядались бы в невозмущенной системе (21.3) обобщенными силами
$$Q_r(q_1,\dots ,q_N,{\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_N)(r=1,2,\dots ,N),$$

если бы в них $q_1,\dots ,q_N,{\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_N$ были бы синусоидальные:
$$q_{\mathrm{s}}={\phi }_{\mathrm{s}}^{(1)}a\cos ({\omega }_{1}t+\theta ),{\dot{q}}_s=-{\phi }_s^{(1)}a{\omega }_1\sin ({\omega }_{1}t+\theta )(s=1,2,\dots ,N).$$

Заметим, что тогда
$$\begin{array}{l}{Q}_r(q_1,\dots ,q_N,{\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_N,s)=\\ =\epsilon Q_r^{(1)}({\phi }_1^{(1)}a\cos \psi ,\dots ,-{\phi }_1^{(1)}a{\omega }_1\sin \varphi ,\dots )+s^2\dots (r=1,2,\dots ,N),\end{array}$$

Разложим $\epsilon Q_r^{(1)}({\phi }_1^{(1)}a\cos \psi ,\dots ,-{\phi }_1^{(1)}a{\omega }_1\sin \psi ,\dots )$ в ряд Фурье:
$$\begin{array}{c}\epsilon Q_r^{(1)}({\phi }_1^{(1)}a\cos \psi ,\dots ,-{\phi }_1^{(1)}a{\omega }_1\sin \psi ,\dots )=\epsilon f_r^{(0)}(a)+\\ +\epsilon \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\{f_r^{(k)}(a)\cos k({\omega }_{1}t+\theta )+g_r^{(k)}(a)\sin k({\omega }_{1}t+\theta )\}\\ (r=1,2,\dots ,N),\end{array}$$

где
$$\begin{array}{c}{f}_r^{(k)}(a)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{Q}_r^{(1)}({\phi }_1^{(1)}a\cos \psi ,\dots ,-{\phi }_1^{(1)}a{\omega }_1\sin \psi ,\dots )\cos k\psi d\psi ,\\ g_r^{(k)}(a)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{Q}_r^{(1)}({\phi }_1^{(1)}a\cos \psi ,\dots ,-{\phi }_1^{(1)}a{\dot{\omega }}_1\sin \psi ,\dots )\sin k\psi d\psi \\ (r=1,2,\dots ,N;k=0,1,2,\dots ).\end{array}$$

Каждая из компонент этого рода с частотой $k{\omega }_1(k=0,2,3\dots )$ в соответствии с (21.15) возбуждает вынужденное колебание
$$\begin{array}{c}\epsilon \sum _{j=1}^N{\phi }_s^{(j)}\frac{\sum _{r=1}^N\{f_r^{(k)}(a)\cos k({\omega }_{1}t+\theta )+g_r^{(k)}(a)\sin k({\omega }_{1}t+\theta )\}{\phi }_r^{(j)}}{m_j({\omega }_j^2-k^2{\omega }_1^2)}\\ (k=2,3,\dots ),\\ \epsilon \sum _{j=1}^N{\phi }_s^{(j)}\frac{\sum _{r=1}^N{f}_r^{(0)}(a){\phi }_r^{(j)}}{m_j{\omega }_j^2},k=0\\ (s=1,2,\dots ,N).\end{array}$$

У гармоники с частотой ${\omega }_1$ учтем в сумме (21.10) только члены, соответствующие возбуждению высших нормальных координат:
$$\begin{array}{l}\epsilon \sum _{j=2}^N{\phi }_{\mathrm{s}}^{(j)}\frac{\sum _{r=1}^N\{f_r^{(1)}(a)\cos ({\omega }_{1}t+\theta )+g_r^{(1)}(a)\sin ({\omega }_{1}t+\theta \}{\phi }_r^{(j)}}{m_j({\omega }_j^2-{\omega }_1^2)}\\ (s=1,2,\dots ,N)\text{. }\end{array}$$

Таким образом, получаем «регуляризированное» вынужденное колебание, возбуждаемое в невозмущенной системе обобщенными силами $Q_r(q_1,\dots ,q_N,{\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_N,\epsilon )(r=1,2,\dots ,N)$, в которых $q_s,{\dot{q}}_s(s=1,\dots ,N)$ синусоидальны, в следующем виде (с точностью до величин первого порядка малости включительно):
$$\begin{array}{l}\epsilon u_s^{(1)}(a,{\omega }_{1}t+\theta )=\epsilon \sum _{j=1}^N{\phi }_s^{(j)}\frac{\sum _{r=1}^N{f}_r^{(0)}(a){\phi }_r^{(j)}}{m_j{\omega }_j^2}+\\ +\epsilon \sum _{j=2}^N{\phi }_s^{(j)}\frac{\sum _{r=1}^N\{f_r^{(1)}(a)\cos ({\omega }_{1}t+\theta )+g_r^{(1)}(a)\sin ({\omega }_{1}t+\theta )\}{\phi }_r^{(j)}}{m_j({\omega }_j^2-{\omega }_1^2)}+\\ +\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=1}^N{\phi }_s^{(j)}\frac{\sum _{r=1}^N\{f_r^{(k)}(a)\cos k({\omega }_{1}t+\theta )+g_r^{(k)}(a)\sin k({\omega }_{1}t+\theta )\}{\phi }_r^{(j)}}{m_j({\omega }_j^2-k^2{\omega }_1^2)}\\ (s=1,2,\dots ,N).\end{array}$$

Складывая эти выражения с первым приближением, получаем репения уравнений (21.5) во втором приближении:
$$\begin{array}{c}{q}_8={\phi }_s^{(1)}a\cos \psi +\epsilon u_s^{(1)}(a,\psi )\\ (s=1,2,\dots ,N).\end{array}$$

Как и в предыдущем параграфе можно было бы добавить сюда члены типа $\epsilon \{C_1(a)\cos \psi +C_2(a)\sin \psi \}{\phi }_r^{(1)}$, содержащие две функции $C_1(a)$ и $C_2(a)$. Но поскольку их выбор произволен, то для получения более простых формул положим $C_1(a)=C_2(a)=0$ и будем в дальнейшем оперировать с выражениями (21.33).

Для того чтобы выражения (21.33) давали в действительности второе приближение, в них $a$ и ф должны быть функциями времени, определяемыми из уравнений второго приближения:
$$\begin{array}{l}\frac{da}{dt}=\epsilon A_1(a)+{\epsilon }^2{A}_2(a),\\ \frac{d\psi }{dt}={\omega }_1+\epsilon B_1(a)+{\epsilon }^2{B}_2(a).\end{array}\}$$

Входящие сюда функции $A_2(a)$ и $B_2(a)$ могут быть найдены с помощью подстановки второго приближения (21.33) в уравнения гармонического баланса (21.23). При этом дифференцирование по времени должно быть выполнено с учетом уравнений (21.34) так, чтобы производные по $t$ не фигурировали под знаком интеграла, а интегрирование по $\psi$ должно совершаться, как если бы $a$ было постоянным параметром и все вычисления велись бы с точностью до величин второго порядка малости включительно.

Заметим теперь, что в формулах (21.32) гармоники первого порядка $\cos \psi$ и $\sin \psi$ входят только в члены, пропорциональные ${\phi }_r^{(2)},{\phi }_r^{(3)},\dots$ $\dots ,{\phi }_r^{(N)}(r=1,2,\dots ,N)$, и что имеют место соотношения:
$$\begin{array}{rl}\sum _{r,s=1}^N{a}_{rs}{\phi }_r^{(1)}{\phi }_s^{(j)}& =0,\sum _{r,s=1}^N{c}_{rs}{\phi }_r^{(1)}{\phi }_s^{(j)}=0\\ (j& =2,3,\dots ,N).\end{array}$$

Поэтому выражения
$$\sum _{r,s=1}^N{\phi }_r^{(1)}{a}_{rs}{u}_s^{(1)}(a,\psi ),\sum _{r,s=1}^N{\phi }_r^{(1)}{c}_{rs}{u}_s^{(1)}(a,\psi )$$

не содержат гармоник первого порядка.
Учитывая сделанные замечания, мы можем уравнения гармонического баланса (21.23) представить в следующем виде:
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{2\pi }\{m_1(\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }_1^{2}x)& -\sum _{r=1}^N{\phi }_r^{(1)}[\epsilon Q_r^{(1)}({\phi }_1^{(1)}x+\epsilon u_1^{(1)},\dots )+\\ +& {\epsilon }^2{Q}_r^{(2)}({\phi }_1^{(1)}x,\dots )]\}\cos \psi d\psi =0,\\ {\int }_0^{2\pi }\{m_1(\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }_1^{2}x)& -\sum _{r=1}^N{\phi }_r^{(1)}[\epsilon Q_r^{(1)}({\phi }_1^{(1)}x+\epsilon u_1^{(1)},\dots )+\\ +& {\epsilon }^2{Q}_r^{(2)}({\phi }_1^{(1)}x,\dots )]\}\sin \psi d\psi =0,\end{array}\}$$

где, как и выше, $x=a\cos \psi$.

Поскольку выражение
$$m_1(\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }_1^{2}x)$$

состоит лишь из первой гармоники по отношению ₹ (21.35) эквивалентны уравнению, выражающему равенство выражения (21.36) первой гармонике суммы:
$$\sum _{r=1}^N{\phi }_r^{(1)}(s{Q}_r^{(1)}({\phi }_1^{(1)}x+\epsilon u_1^{(1)},\dots )+{\epsilon }^2{Q}_r^{(2)}({\phi }_1^{(1)}x,\dots )).$$

Обозначим первую гармонику какой-либо периодической функции $F(\psi )$ через $H_1\{F\}$ :
$$H_1\{F\}=\cos \psi \frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }F(\psi )\cos \psi d\psi +\sin \psi \frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }F(\psi )\sin \psi d\psi .$$

Тогда уравнение, эквивалентное выражениям (21.35), можем написать в следующем виде:
$$m_1(\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }_1^{2}x)=H_1\left\{\sum _{r=1}^N{\phi }_r^{(1)}[s{Q}_r^{(1)}({\phi }_1^{(1)}x+\epsilon u_1^{(1)},\dots )+s^2{Q}_r^{(2)}({\phi }_1^{(1)}x,\dots )]\right\}.$$

Разумеется, что это уравнение должно удовлетворяться лишь с точностью до величин второго порядка малости включительно, причем в выражениях обобщенных сил $q_r$ и ${\dot{q}}_r(r=1,2,\dots ,N)$ должны быть заменены согласно формулам (21.33) с учетом уравнений (21.34).
Заметим теперь, что так как $x=a\cos \psi$, то мы мояем написать:
$$\begin{array}{l}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }_1^{2}x=\epsilon \{-2{\omega }_1{A}_1\sin \psi -2{\omega }_{1}a{B}_1\cos \psi \}+\\ +{\epsilon }^2\{(A_1\frac{d{A}_1}{da}-a{B}_1^2-2{\omega }_{1}a{B}_2)\cos \psi -(2{\omega }_1{A}_2+2A_1{B}_1+A_1\frac{d{B}_1}{da}a)\sin \psi \}.\end{array}$$

Разлагая правую часть уравнения (21.37) по степеням \& и удерживая лишь первые два члена, находим:
$$\begin{array}{l}{H}_1\left\{\sum _{r=1}^N{\phi }_r^{(1)}{Q}_r(q_1,\dots ,q_N,{\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_s,\epsilon )\right\}=\\ =\{\epsilon L_1(a)+{\epsilon }^2{L}_2(a)\}\cos \psi +\{\epsilon M_1(a)+{\epsilon }^2{M}_2(a)\}\sin \psi .\end{array}$$

Сравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках и одинаковых стешенях \& в правых частях выражений (21.38) и (21.39), находим:
$$A_1(a)=-\frac{M_1(a)}{2{\omega }_1{m}_1},B_1(a)=-\frac{L_1(a)}{2{\omega }_1{m}_{1}a},$$

а также
$$\begin{array}{l}{A}_2(a)=-\frac{A_1(a)B_1(a)}{{\omega }_1}-\frac{A_1(a)}{2{\omega }_1}a\frac{d{B}_1(a)}{da}-\frac{M_2(a)}{2{\omega }_1{m}_1},\\ B_2(a)=-\frac{B_1^2(a)}{2{\omega }_1}+\frac{A_1(a)}{2{\omega }_{1}a}\frac{d{A}_1(a)}{da}-\frac{L_2(a)}{2{\omega }_1{m}_{1}a}.\end{array}\}$$

Нетрудно убедиться, что формулы (21.40) дают для $A_1(a)$ и $B_1(a)$ те же выражения, что и ранее полученные формулы (21.25).

Итак, уравнения второго приближения могут быть написаны в следующей форме:
$$\begin{array}{l}\frac{da}{dt}=-\frac{\epsilon M_1(a)+{\epsilon }^2{M}_2(a)}{2{\omega }_1{m}_1}-\frac{{\epsilon }^2{A}_1(a)B_1(a)}{{\omega }_1}-\frac{{\epsilon }^2{A}_1(a)}{2{\omega }_1}\frac{d{B}_1(a)}{da}a,\\ \frac{d\psi }{dt}={\omega }_1-\frac{\epsilon L_1(a)+{\epsilon }^2{L}_2(a)}{2{\omega }_1{m}_{1}a}-\frac{{\epsilon }^2{B}_1^2(a)}{2{\omega }_1}+{\epsilon }^2\frac{A_1(a)}{2{\omega }_{1}a}\frac{d{A}_1(a)}{da}.\end{array}\}$$

Заметим теперь, что с точки зрения обычной теории малых колебаний, сумма
$$\sum _{r=1}^N{\phi }_r^{(1)}{Q}_r$$

представляет собой обобщенную силу, действующую на первую нормальную координату.

Таким образом, чтобы написать уравнения второго приближения в явной форме, достаточно уметь подсчитать первую гармонику этой обобщенной силы с учетом членов не выше второго порядка малости.

Рассмотрим частный елучай стационарных одночастотных колебаний с постоянной амплитудой. В этом случае фаза џ вращается равномерно с некоторой угловой скоростью ${\omega }_1(a)$ :
$$\psi ={\omega }_1(a)t+\theta ,\theta =\text{ const. }$$

Из (21.42) имеем:
$${}^{{\omega }_1}(a)={\omega }_1-\frac{\epsilon L_1(a)+{\epsilon }^2{L}_2(a)}{2{\omega }_1{m}_{1}a}-{\epsilon }^2\frac{B_1^2(a)}{2{\omega }_1}+{\epsilon }^2\frac{A_1(a)}{2{\omega }_{1}a}\frac{d{A}_1(a)}{da},$$

а также
$$M_1(a)+\epsilon M_2(a)+\epsilon 2m_1{A}_1(a)B_1(a)+\epsilon 2m_1{A}_1(a)\frac{d{B}_1(a)}{da}a=0,$$

или $A_1(a)+\epsilon A_2(a)=0$.
Последнее равенство показывает, что $M_1(a)$ и $A_1(a)$ будут величинами первого порядка малости, и потому с той же степенью точности можем написать:
$$\epsilon M_1(a)+{\approx }^2{M}_2(a)=0$$

и
$${}^{{\omega }_1}(a)={\omega }_1-\frac{\epsilon L_1(a)+{\epsilon }^2{L}_2(a)}{2{\omega }_1{m}_{1}a}-\frac{{\epsilon }^2{B}_1^2(a)}{2{\omega }_1},$$

или, учитывая (21.40),
$${\omega }_1(a)={\omega }_1-\frac{\epsilon L_1(a)}{2{\omega }_1{m}_{1}a}-\frac{{\epsilon }^2}{2{\omega }_1}{\left(\frac{L_1(a)}{2{\omega }_1{m}_{1}a}\right)}^2-\frac{{\epsilon }^2{L}_2(a)}{2{\omega }_1{m}_{1}a}.$$

Возводя в квадрат и отбрасывая ұлены порядка малости выше второго, для квадрата частоты стационарных колебаний получаем окончательно следующее выражение:
$${\omega }_1^2(a)={\omega }_1^2-\frac{\epsilon L_1(a)+{\epsilon }^2{L}_2(a)}{m_{1}a}.$$

Итак, расчет стационарных одночастотных колебаний в системах со многими степенями свободы может пропзводиться по следующей простой схеме.

Прежде всего определяем обобщенную силу, действующую на первую нормальную координату; заменяем в ней $q_r,{\dot{q}}_r(r=1,2,\dots ,N)$ согласно формулам (21.33), где $u_r^{(1)}(a,\psi )(r=1,2,\dots ,N)$ определены как вынужденные «регуляризированные» колебания, возбуждаемые в невозмущенной системе внешними силами, в режиме синусоидальных колебаний; раскладываем полученное выражение обобщенной силы, действующей на первую нормальную координату, в ряд Фурье. После этого коэффициент при синусе, взятый с точностью до величин второго порядка малости включительно, приравниваем нулю и получаем уравнение (21.43), из которого определяем стационарную амплитуду колебаний. Коэффициент при косинусе подставляем в правую часть формулы (21.44), определяющей частоту стационарных колебаний.