Главная > АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ (H.Н. БОТОЛЮБОВ и ЮА.МИТРОПОЛЬСКИЙ)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Часто при исследовании колебательных систем со многими степенямп свободы удобнее – рассматривать систему $N$ дифферендиальных уравнений второго порядка, где $N$ – число степеней свободы.

Мы рассмотрим частный случай, когда невозмущенная система соответствует обычной схеме теории малых колебаний.

Для исследования этого частного случая воспользуемся результатами, установленными в предыдущем параграфе. Как известно, в этом случае невозмущенная система полностью характеризуется кинетической энергией
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{r, s=1}^{N} a_{r s} \dot{q}_{r} \dot{q}_{s}
\]

и потенциальной энергией
\[
V=\frac{1}{2} \sum_{r, s=1}^{N} c_{r s} q_{r} q_{s},
\]

где $q_{s}(s=1,2, \ldots, N)$ – обобщенные координаты и $a_{r s}, c_{r s}$ – соответственно инерционные и квазиупругие коэффициенты, причем $a_{r s}=a_{s r}$, $c_{r s}=c_{s r}$.

Подставляя значения кинетической и потенциальной энергии (21.1) и (21.2) в уравнения Лагранжа, мы получаем дифференциальные уравнения невозмущенного движения в виде
\[
\sum_{s=1}^{N}\left\{a_{r s} \ddot{q}_{s}+c_{r s} q_{s}\right\}=0 \quad(r=1,2, \ldots, N) .
\]

Предполагая, что возмущение определяется малыми обобщенными силами вида
\[
\begin{array}{l}
Q_{\mathrm{r}}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}, \varepsilon\right)= \\
=\varepsilon Q_{r}^{(1)}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}\right)+\varepsilon^{2} Q_{r}^{(2)}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}\right)+\varepsilon^{3} \ldots(21.4) \\
(r=1,2, \ldots, N),
\end{array}
\]

приходим к задаче исследования следующих дифференциальных уравнений:
\[
\begin{array}{l}
\sum_{s=1}^{N}\left\{a_{r s} \ddot{q}_{s}+c_{r 3} q_{s}\right\}= \\
=\varepsilon Q_{r}^{(1)}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}\right)+\varepsilon^{2} Q_{r}^{(2)}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}\right)+\varepsilon^{3} \ldots \\
\quad(r=1,2, \ldots, N),
\end{array}
\]

которые при $\varepsilon=0$ вырождаются в уравнения (21.3).
Прежде чем переходить к применению результатов предыдущего параграфа к исследованию системы уравнений (21.5), остановимся на некоторых свойствах решений системы невозмущенных уравнений (21.3).

Как известно, частные рещения невозмущенной системы (21.3), соответствующие нормальным колебаниям, представляются выражениями:
\[
\begin{array}{c}
q_{\mathrm{s}}=\varphi_{s}^{(j)} a e^{i\left(\omega_{j} t+\theta\right)}+\varphi_{s}^{(j) *} a e^{-i\left(\omega_{j} t+\theta\right)} \\
(s, j=1,2, \ldots, N)
\end{array}
\]

или в вещественной форме
\[
q_{s}=\varphi_{s}^{(j)} a \cos \left(\omega_{j} t+\theta\right) \quad(s, j=1,2, \ldots, N),
\]

где $\omega_{j}(j=1,2, \ldots, N)$ – собственные частоты, определяемые характеристическим уравнением
$\varphi_{s}^{(j)}(s, j=1,2, \ldots, N)$ – нормальные функции, являющиеся нетривиальными решениями системы однородных алгебраических уравнений
\[
\sum_{s=1}^{N}\left\{-a_{r s} \omega_{j}^{2}+c_{r s}\right\} \varphi_{s}^{(j)}=0 \quad(r, j=1,2, \ldots, N),
\]

обладающие свойством ортогональности
\[
\left.\begin{array}{rl}
\sum_{r, s=1}^{N} a_{r s} \varphi_{r}^{(j)} \varphi_{s}^{(l)} & =0 \\
\sum_{r, s=1}^{N} c_{r s} \varphi_{r}^{(j)} \varphi_{s}^{(l)} & =0(j
eq l),
\end{array}\right\}
\]

а $a$ и $\theta$-вещественные произвольные постоянные.
Заметим далее, что вынужденные колебания, возбуждаемые в невозмущенной системе (21.3) гармоническими обобщенными силами
\[
Q_{r}=E_{r} \cos (\alpha t+\vartheta) \quad(r=1,2, \ldots, N),
\]

определяются выражениями:
\[
q_{s}=u_{s} \cos (\alpha t+\vartheta) \quad(s=1,2, \ldots, N) .
\]

Постоянные амплитуды $u_{r}(r=1,2, \ldots, N)$ удовлетворяют системе неоднородных алгебраических уравнений
\[
\sum_{s=1}^{N}\left\{-a_{r s} \alpha^{2}+c_{r s}\right\} u_{s}=E_{r} \quad(r=1,2, \ldots, N),
\]

для решения которой воспользуемея нормальными координатами. Будем искать выражение для $u_{s}(s=1,2, \ldots, N)$ в виде сумм
\[
u_{s}=\sum_{j=1}^{N} c_{j} \varphi_{s}^{(j)} \quad(s=1,2, \ldots, N),
\]

где $c_{j}$ – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению. Подставляя (21.11) в систему уравнений (21.10) и учитывая, что
\[
\varphi_{s}^{(j)}(s, j=1,2, \ldots, N)
\]

удовлетворяют системам однородных алгебраических уравнений (21.8), получим:
\[
\sum_{j=1}^{N} \sum_{s=1}^{N} a_{r s}\left\{\omega_{j}^{2}-\alpha^{2}\right\} c_{j} \varphi_{s}^{(j)}=E_{r} \quad(r=1,2, \ldots, N) .
\]

Умножая эти уравнения соответственно на $\varphi_{1}^{\left(j_{1}\right)}, \varphi_{2}^{\left(j_{1}\right)}, \ldots, \varphi_{N}^{\left(j_{1}\right)}$ и суммируя результат по $r$, находим:
\[
\sum_{j=1}^{N} c_{j}\left\{\omega^{(2)}-\alpha^{2}\right\} \sum_{s, r=1}^{N} a_{r s} \varphi_{s}^{(j)} \varphi_{r}^{\left(j_{1}\right)}=\sum_{r=1}^{N} E_{r} \varphi_{r}^{\left(j_{1}\right)} .
\]

Принимая во внимание ортогональность нормальных функций (выражения (21.9)) и вводя обозначения
\[
\sum_{r, s=1}^{N} a_{r s} \psi_{r}^{(j)} \psi_{s}^{(j)}=m_{j} \quad(j=1,2, \ldots, N),
\]

находим:
\[
u_{s}=\sum_{j=1}^{N} \varphi_{s}^{(j)} \frac{\sum_{r=1}^{N} E_{r} \varphi_{r}^{(j)}}{m_{j}\left(\omega_{j}^{2}-\alpha^{2}\right)} \quad(s=1,2, \ldots, N) .
\]

Таким образом, условие конечности вынужденных колебаний в случае, когда частота внешней силы $\alpha$ равна одной из собственных частот, например $\omega_{1}$, будет иметь вид:
\[
\sum_{r=1}^{N} E_{r} \varphi_{r}^{(1)}=0
\]

При выполнении этого условия амплитуды вынужденных колебаний определяются формулой
\[
u_{s}=\sum_{j=2}^{N} \varphi_{\mathrm{s}}^{(j)} \frac{\sum_{r=1}^{N} E_{r} \Psi_{r}^{(j)}}{m_{j}\left(\omega_{j}^{2}-\alpha^{2}\right)}+C \varphi_{s}^{(1)} \quad(s=1,2, \ldots, N),
\]

где $C$-произвольная постоянная.
После сделанных кратких замечаний о собственных и вынужденных колебаниях в невозмущенной системе (21.3) перейдем к исследованию системы возмущенных уравнений (21.5).

Как и в предыдущем параграфе, рассмотрим задачу о построении асимптотических приближенных формул для частных решений, соответствующих одночастотным колебаниям, близким (при малых в) к одному из нормальных невозмущенных колебаний (21.6), например $\kappa$ нормальному колебанию
\[
q_{s}=\varphi_{s}^{(1)} a \cos \left(\omega_{1} t+\theta\right) \quad(s=1,2, \ldots, N)
\]

с частотой $\omega_{1}$.
Чтобы удовлетворить условиям применимости метода, изложенного в предыдущем параграфе, необходимо сделать следующие допущения:
1. В невозмущенной системе возможны незатухающие гармонические колебания с частотой $\omega_{1}$, зависящие только от двух произвольных постоянных.
2. Единственным решением, соответствующим равновесию в невозмущенной системе, является тривиальное решение
\[
q_{1}=q_{2}=. .=q_{N}=0 .
\]
3. Частота $\omega_{1}$, а также ни один из ее обертонов $2 \omega_{1}, 3 \omega_{1}, \ldots, k \omega_{1}, \ldots$ не равны какой-либо собственной частоте $\omega_{2}, \ldots, \omega_{N}$ невозмущенной системы (отсутствует внутренний резонанс).

При этих условиях мы можем применить нап метод и построить асимштотические разложения
\[
\begin{array}{c}
q_{s}=\varphi_{s}^{(1)} a \cos \left(\omega_{1} t+\theta\right)+\varepsilon u_{s}^{(1)}\left(a, \omega_{1} t+\theta\right)+\varepsilon^{2} u_{s}^{(2)}\left(a, \omega_{1} t+\theta\right)+\varepsilon^{3} \cdots \\
(s=1,2, \ldots, N),
\end{array}
\]

в которых $a$ и $\psi=\omega_{1} t+\theta$ определяются дифферендиальными уравнениями вида:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=\varepsilon A_{1}(a)+\varepsilon^{2} A_{2}(a)+\varepsilon^{3} \ldots, \\
\frac{d \psi}{d t}=\omega_{1}+\varepsilon B_{1}(a)+\varepsilon^{2} B_{2}(a)+\varepsilon^{3} \ldots
\end{array}\right\}
\]

Функции $u_{s}^{(1)}\left(a, \omega_{1} t+\theta\right), \quad u_{s}^{(2)}\left(a, \omega_{1} t+\theta\right), \ldots(s=1,2, \ldots, N)$; $A_{1}(a), A_{2}(a), \ldots ; B_{1}(a), B_{2}(a), \ldots$, стоящие в правых частях выражений (21.19) и уравнений (21.15), могут быть определены совершенно так же, как и в предыдущем параграфе. Однако нетрудно убедиться, что первые члены разложений (21.19) и (21.20), необходимые для построения решений в первом и во втором приближении, могут быть найдены с помощью формального приема, сформулированного в предыдущем параграфе.

Выведем вначале формулы для первого приближения. Как и в предыдущем параграфе, в качестве первого приближения принимаем выражения
\[
q_{s}=\varphi_{s}^{(1)} a \cos \psi(s=1,2, \ldots, N),
\]

в которых амплитуда $a$ и полная фаза $\psi$ определяются уравнениями:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d a}{d t} & =\varepsilon A_{1}(a), \\
\frac{d \psi}{d t} & =\omega_{1}+\varepsilon B_{1}(a) .
\end{array}\right\}
\]

Здесь функции $A_{1}(a)$ и $B_{1}(a)$ можем найти, подставляя (21.21) в уравнения гармонического баланса:
\[
\left.\begin{array}{c}
\int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)}\left\{\sum_{s=1}^{N}\left(a_{r s} \ddot{q}_{s}+c_{r s} q_{s}\right)-\varepsilon Q_{r}^{(1)}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}\right)-\right. \\
\left.-\varepsilon^{2} Q_{r}^{(2)}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}\right)-\ldots\right\} \cos \psi d \psi=0, \\
\int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)}\left\{\sum_{s=1}^{N}\left(a_{r s} \ddot{q}_{s}+c_{r s} q_{s}\right)-s Q_{r}^{(1)}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}\right)-\right. \\
\left.-\varepsilon^{2} Q_{r}^{(2)}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}\right)-\ldots\right\} \sin \psi d \psi=0,
\end{array}\right\}
\]

причем при подстановке ограничиваемся только членами первого порядка малости включительно.

Найдем явные выражения для $A_{1}(a)$ п $B_{1}(a)$. Дифференцируя (21.21), учитывая при этом уравнения (21.22), находим с точностью до величин первого порядка малости:
\[
\left.\begin{array}{c}
\dot{q}_{s}=\varphi_{s}^{(1)}\left[\varepsilon \cos \psi A_{1}(a)-a \omega_{1} \sin \psi-\varepsilon a \omega_{1} \sin \psi B_{1}(a)\right], \\
\ddot{q_{s}}=\varphi_{s}^{(1)}\left[-\varepsilon 2 \omega_{1} \sin \psi A_{1}(a)-a \omega_{1}^{2} \cos \psi-\varepsilon 2 a \omega_{1} \cos \psi B_{1}(a)\right] \\
(s=1,2, \ldots, N) .
\end{array}\right\}
\]

Подставляя (21.21) и (21.24) в выражения (21.23), находим с той же степенью точности:
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)}\left\{\sum _ { s = 1 } ^ { N } \varphi _ { s } ^ { ( 1 ) } \left[-a_{r s}\left(a \omega_{1}^{2} \cos \psi+2 a \omega_{1} \varepsilon \cos \psi B_{1}(a)+2 \varepsilon \omega_{1} \sin \psi A_{1}(a)\right)+\right.\right. \\
\left.\left.\quad+c_{r s} a \cos \psi\right]-\varepsilon Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} a \cos \psi, \ldots,-\varphi_{1}^{(1)} a \omega_{1} \sin \psi, \ldots\right)\right\} \cos \psi d \psi=0, \\
\int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)}\left\{\sum _ { s = 1 } ^ { N } \varphi _ { s } ^ { ( 1 ) } \left[-a_{r s}\left(a \omega_{1}^{2} \cos \psi+2 a \omega_{1} \varepsilon \cos \psi B_{1}(a)+2 \varepsilon \omega_{1} \sin \psi A_{1}(a)\right)+\right.\right. \\
\left.\left.\quad+c_{r s} a \cos \psi\right]-\varepsilon Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} a \cos \psi, \ldots,-\varphi_{1}^{(1)} a \omega_{1} \sin \psi, \ldots,\right)\right\} \sin \psi d \psi=0 .
\end{array}
\]

Меняя порядок суммирования и интегрирования, полагая при интегрировании по $\psi$, что $a$-постоянная и учитывая, что
\[
\int_{0}^{2 \pi} \cos ^{2} \psi d \psi=\pi, \quad \int_{0}^{2 \pi} \sin \psi \cos \psi d \psi=0, \quad \int_{0}^{2 \pi} \sin ^{2} \psi d \psi=\pi,
\]

получим:
\[
\begin{array}{l}
2 a \omega_{1} \pi s B_{1}(a) \sum_{r, s=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} \varphi_{s}^{(1)} a_{r s}-a \pi \sum_{r, s=1}^{N}\left(c_{r s}-a_{r s}()_{1}^{2}\right) \varphi_{s}^{\prime} \varphi_{r}^{(1)}= \\
=-\varepsilon \int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} a \cos \psi, \ldots,-\varphi_{1}^{(1)} a \omega_{1} \sin \psi, \ldots\right) \cos \phi d \psi, \\
2 \omega_{1} \pi s A_{1}(a) \sum_{r, s=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} \varphi_{s}^{(1)} a_{r s}= \\
=-\varepsilon \int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} a \cos \psi, \ldots,-\varphi_{1}^{(1)} a \omega_{1} \sin \psi_{1}, \ldots\right) \sin \psi d \psi .
\end{array}
\]

Учитывая, что
\[
\sum_{r, s=1}^{N} a_{r s} \varphi_{r}^{(1)} \varphi_{s}^{(1)}=m_{1}, \quad \sum_{s=1}^{N}\left(c_{r s}-a_{r s} \omega_{1}^{2}\right) \varphi_{s}^{(1)}=0
\]

окончательно получаем следующие формулы:
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon A_{1}(a)=-\frac{\varepsilon}{2 \omega_{1} \pi m_{1}} \int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} a \cos \psi, \ldots\right. \\
\left.\ldots,-\varphi_{1}^{(1)} a \omega_{1} \sin \psi, \ldots\right) \sin \psi d \psi, \\
\varepsilon B_{1}(a)=-\frac{\varepsilon}{2 \omega_{1} \pi m_{1} a} \int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} a \cos \psi, \ldots\right. \\
\left.\ldots,-\varphi_{1}^{(1)} a \omega_{1} \sin \psi, \ldots\right) \cos \psi d \psi .
\end{array}
\]

Заметим теперь, что формулы (21.25) можно получить гораздо проще, проведя аналогию с результатами первого параграфа для системы с одной степенью свободы.

Действительно, на основании (21.7) и (21.14), можем написать:
\[
\sum_{r, s=1}^{N} c_{r s} \varphi_{r}^{(1)} \varphi_{s}^{(1)}=m_{1}\left(\omega_{1}^{2} .\right.
\]

Полагая $x=a \cos \psi$, вместо (21.23) получаем следующие уравнения гармонического баланса:
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{2 \pi}\left\{m_{1}\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega_{1}^{2} x\right)-\right. \\
\left.-\varepsilon \sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} x, \ldots, \varphi_{N}^{(1)} x, \varphi_{1}^{(1)} \dot{x}, \ldots, \varphi_{N}^{(1)} \dot{x}\right)\right\} \cos \psi d \psi=0, \\
\int_{0}^{2 \pi}\left\{m_{1}\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega_{1}^{2} x\right)-\right. \\
\left.\quad-\varepsilon \sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} x, \ldots, \varphi_{N}^{(1)} x, \varphi_{1}^{(1)} \dot{x}, \ldots, \varphi_{N}^{(1)} \dot{x}\right)\right\} \sin \psi d \psi=0
\end{array}
\]

Отсюда совершенно очевидно, что уравнения первого приближения (21.22) должны оказаться теми же, что и для системы с одной степенью свободы с массой $m_{1}$, упругостью $m_{1} \omega_{1}^{2}$, находящейся под воздействием возмущающей силы:
\[
\approx \sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} x, \ldots, \varphi_{N}^{(1)} x, \varphi_{1}^{(1)} \dot{x}, \ldots, \varphi_{N}^{(1)} \dot{x}\right)
\]

Поэтому, воспользовавшись формулами (1.27), выведенными для случая системы с одной степенью свободы и нодставляя в них вместо $f(a \cos \psi,-a \omega \sin \psi)$ выражение (21.27), мы сразу находим формулы (21.25).

Остановимся еще на простой энергетической интерпретации полученных формул (21.25).

Рассмотрим для этого выражение виртуальной работы $\delta W$, которую совершили бы возмущающие обобщенные силы
\[
Q_{r}^{(1)}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}\right)(r=1,2, \ldots, N)
\]

в режиме синусоидальных колебаний
\[
q_{s}=\varphi_{s}^{(1)} a \cos \psi, \quad \dot{q}_{s}=-\omega_{1} \varphi_{s}^{(1)} a \sin \psi,
\]

на виртуальных перемещениях
\[
\delta q_{s}=\varphi_{s}^{(1)} \cos \phi \grave{\partial} a-\varphi_{s}^{(1)} a \sin \psi \hat{\partial} \psi,
\]

соответствующих вариациям амплитуды и полной фазы нормального колебания. Имеем с принятой степенью точности, т. е. с точностью до величин первого порядка малости включительно:
\[
\begin{array}{l}
\delta W=\varepsilon \sum_{r=1}^{N} Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} a \cos \psi, \ldots,-\varphi_{1}^{(1)} a \omega_{1} \sin \psi, \ldots\right) \times \\
\times\left[\varphi_{r}^{(1)} \cos \psi \grave{\delta} a-\varphi_{r}^{(1)} a \sin \psi \hat{\delta} \psi\right] .
\end{array}
\]

Возьмем среднее значение этой работы за полный цикл колебания:
\[
\overline{\delta W}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \delta W d \psi .
\]

Тогда, сопоставляя (21.28), (21.29) с (21.25), можем написать:
\[
\overline{\partial W}=-m_{1} \omega_{1} a s B_{1}(a) \delta a+m_{1} \omega_{1} a s A_{1}(a) \delta \psi .
\]

Обозначим символами
\[
\frac{\overline{\delta \bar{W}}}{\bar{\delta} a}, \frac{\overline{\delta W}}{\bar{\delta} \psi}
\]

коэффициенты при вариациях $\delta a$ и $\delta \psi$ в выражении для $\bar{\alpha} \bar{W}$.
Тогда будем иметь:
\[
\varepsilon A_{1}(a)=\frac{1}{m_{1} \omega_{1} a} \frac{\overline{\delta W}}{\delta \psi}, \quad \varepsilon B_{1}(a)=-\frac{1}{m \omega_{1} a} \frac{\overline{\delta W}}{\delta a},
\]

и поэтому уравнения первого приближения можно представить в виде
\[
\begin{array}{c}
\frac{d a}{d t}=\frac{1}{m_{1} \omega_{1} a} \frac{\overline{\delta W}}{\delta \psi}, \\
\frac{d \psi}{d t}=\omega_{1}-\frac{1}{m_{1} \omega_{1} a} \frac{\overline{\delta W}}{\delta a} .
\end{array}
\]

Итак, чтобы получить уравнения первого приближения, достаточно определить только среднюю величину виртуальной работы за цикл колебания, которую совершили бы возмущающие силы в режиме синусоидальных колебаний на виртуальных перемещениях, соответствующих вариации их амплитуды $a$ и фазы.

Перейдем теперь к построению решений для уравнений (21.5) во втором приближении.

Для этого рассмотрим вначале, с точностью до величин первого порядка малости, вынужденные колебания, которые возбуядались бы в невозмущенной системе (21.3) обобщенными силами
\[
Q_{r}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}\right) \quad(r=1,2, \ldots, N),
\]

если бы в них $q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}$ были бы синусоидальные:
\[
q_{\mathrm{s}}=\varphi_{\mathrm{s}}^{(1)} a \cos \left(\omega_{1} t+\theta\right), \quad \dot{q}_{s}=-\varphi_{s}^{(1)} a \omega_{1} \sin \left(\omega_{1} t+\theta\right) \quad(s=1,2, \ldots, N) .
\]

Заметим, что тогда
\[
\begin{array}{l}
Q_{r}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}, s\right)= \\
\quad=\varepsilon Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} a \cos \psi, \ldots,-\varphi_{1}^{(1)} a \omega_{1} \sin \phi, \ldots\right)+s^{2} \ldots \quad(r=1,2, \ldots, N),
\end{array}
\]

Разложим $\varepsilon Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} a \cos \psi, \ldots,-\varphi_{1}^{(1)} a \omega_{1} \sin \psi, \ldots\right)$ в ряд Фурье:
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} a \cos \psi, \ldots,-\varphi_{1}^{(1)} a \omega_{1} \sin \psi, \ldots\right)=\varepsilon f_{r}^{(0)}(a)+ \\
+\varepsilon \sum_{k=1}^{\infty}\left\{f_{r}^{(k)}(a) \cos k\left(\omega_{1} t+\theta\right)+g_{r}^{(k)}(a) \sin k\left(\omega_{1} t+\theta\right)\right\} \\
(r=1,2, \ldots, N),
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
f_{r}^{(k)}(a)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} a \cos \psi, \ldots,-\varphi_{1}^{(1)} a \omega_{1} \sin \psi, \ldots\right) \cos k \psi d \psi, \\
g_{r}^{(k)}(a)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} a \cos \psi, \ldots,-\varphi_{1}^{(1)} a \dot{\omega}_{1} \sin \psi, \ldots\right) \sin k \psi d \psi \\
(r=1,2, \ldots, N ; k=0,1,2, \ldots) .
\end{array}
\]

Каждая из компонент этого рода с частотой $k \omega_{1}(k=0,2,3 \ldots)$ в соответствии с (21.15) возбуждает вынужденное колебание
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon \sum_{j=1}^{N} \varphi_{s}^{(j)} \frac{\sum_{r=1}^{N}\left\{f_{r}^{(k)}(a) \cos k\left(\omega_{1} t+\theta\right)+g_{r}^{(k)}(a) \sin k\left(\omega_{1} t+\theta\right)\right\} \varphi_{r}^{(j)}}{m_{j}\left(\omega_{j}^{2}-k^{2} \omega_{1}^{2}\right)} \\
(k=2,3, \ldots), \\
\varepsilon \sum_{j=1}^{N} \varphi_{s}^{(j)} \frac{\sum_{r=1}^{N} f_{r}^{(0)}(a) \varphi_{r}^{(j)}}{m_{j} \omega_{j}^{2}}, k=0 \\
(s=1,2, \ldots, N) .
\end{array}
\]

У гармоники с частотой $\omega_{1}$ учтем в сумме (21.10) только члены, соответствующие возбуждению высших нормальных координат:
\[
\begin{array}{l}
\varepsilon \sum_{j=2}^{N} \varphi_{\mathrm{s}}^{(j)} \frac{\sum_{r=1}^{N}\left\{f_{r}^{(1)}(a) \cos \left(\omega_{1} t+\theta\right)+g_{r}^{(1)}(a) \sin \left(\omega_{1} t+\theta\right\} \varphi_{r}^{(j)}\right.}{m_{j}\left(\omega_{j}^{2}-\omega_{1}^{2}\right)} \\
(s=1,2, \ldots, N) \text {. } \\
\end{array}
\]

Таким образом, получаем «регуляризированное» вынужденное колебание, возбуждаемое в невозмущенной системе обобщенными силами $Q_{r}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}, \varepsilon\right)(r=1,2, \ldots, N)$, в которых $q_{s}, \dot{q}_{s}(s=1, \ldots, N)$ синусоидальны, в следующем виде (с точностью до величин первого порядка малости включительно):
\[
\begin{array}{l}
\varepsilon u_{s}^{(1)}\left(a, \omega_{1} t+\theta\right)=\varepsilon \sum_{j=1}^{N} \varphi_{s}^{(j)} \frac{\sum_{r=1}^{N} f_{r}^{(0)}(a) \varphi_{r}^{(j)}}{m_{j} \omega_{j}^{2}}+ \\
+\varepsilon \sum_{j=2}^{N} \varphi_{s}^{(j)} \frac{\sum_{r=1}^{N}\left\{f_{r}^{(1)}(a) \cos \left(\omega_{1} t+\theta\right)+g_{r}^{(1)}(a) \sin \left(\omega_{1} t+\theta\right)\right\} \varphi_{r}^{(j)}}{m_{j}\left(\omega_{j}^{2}-\omega_{1}^{2}\right)}+ \\
+\sum_{k=2}^{\infty} \sum_{j=1}^{N} \varphi_{s}^{(j)} \frac{\sum_{r=1}^{N}\left\{f_{r}^{(k)}(a) \cos k\left(\omega_{1} t+\theta\right)+g_{r}^{(k)}(a) \sin k\left(\omega_{1} t+\theta\right)\right\} \varphi_{r}^{(j)}}{m_{j}\left(\omega_{j}^{2}-k^{2} \omega_{1}^{2}\right)} \\
(s=1,2, \ldots, N) .
\end{array}
\]

Складывая эти выражения с первым приближением, получаем репения уравнений (21.5) во втором приближении:
\[
\begin{array}{c}
q_{8}=\varphi_{s}^{(1)} a \cos \psi+\varepsilon u_{s}^{(1)}(a, \psi) \\
(s=1,2, \ldots, N) .
\end{array}
\]

Как и в предыдущем параграфе можно было бы добавить сюда члены типа $\varepsilon\left\{C_{1}(a) \cos \psi+C_{2}(a) \sin \psi\right\} \varphi_{r}^{(1)}$, содержащие две функции $C_{1}(a)$ и $C_{2}(a)$. Но поскольку их выбор произволен, то для получения более простых формул положим $C_{1}(a)=C_{2}(a)=0$ и будем в дальнейшем оперировать с выражениями (21.33).

Для того чтобы выражения (21.33) давали в действительности второе приближение, в них $a$ и ф должны быть функциями времени, определяемыми из уравнений второго приближения:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=\varepsilon A_{1}(a)+\varepsilon^{2} A_{2}(a), \\
\frac{d \psi}{d t}=\omega_{1}+\varepsilon B_{1}(a)+\varepsilon^{2} B_{2}(a) .
\end{array}\right\}
\]

Входящие сюда функции $A_{2}(a)$ и $B_{2}(a)$ могут быть найдены с помощью подстановки второго приближения (21.33) в уравнения гармонического баланса (21.23). При этом дифференцирование по времени должно быть выполнено с учетом уравнений (21.34) так, чтобы производные по $t$ не фигурировали под знаком интеграла, а интегрирование по $\psi$ должно совершаться, как если бы $a$ было постоянным параметром и все вычисления велись бы с точностью до величин второго порядка малости включительно.

Заметим теперь, что в формулах (21.32) гармоники первого порядка $\cos \psi$ и $\sin \psi$ входят только в члены, пропорциональные $\varphi_{r}^{(2)}, \varphi_{r}^{(3)}, \ldots$ $\ldots, \varphi_{r}^{(N)}(r=1,2, \ldots, N)$, и что имеют место соотношения:
\[
\begin{aligned}
\sum_{r, s=1}^{N} a_{r s} \varphi_{r}^{(1)} \varphi_{s}^{(j)} & =0, \quad \sum_{r, s=1}^{N} c_{r s} \varphi_{r}^{(1)} \varphi_{s}^{(j)}=0 \\
(j & =2,3, \ldots, N) .
\end{aligned}
\]

Поэтому выражения
\[
\quad \sum_{r, s=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} a_{r s} u_{s}^{(1)}(a, \psi), \quad \sum_{r, s=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} c_{r s} u_{s}^{(1)}(a, \psi)
\]

не содержат гармоник первого порядка.
Учитывая сделанные замечания, мы можем уравнения гармонического баланса (21.23) представить в следующем виде:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\int_{0}^{2 \pi}\left\{m_{1}\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega_{1}^{2} x\right)\right. & -\sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)}\left[\varepsilon Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} x+\varepsilon u_{1}^{(1)}, \ldots\right)+\right. \\
+ & \left.\left.\varepsilon^{2} Q_{r}^{(2)}\left(\varphi_{1}^{(1)} x, \ldots\right)\right]\right\} \cos \psi d \psi=0, \\
\int_{0}^{2 \pi}\left\{m_{1}\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega_{1}^{2} x\right)\right. & -\sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)}\left[\varepsilon Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} x+\varepsilon u_{1}^{(1)}, \ldots\right)+\right. \\
+ & \left.\left.\varepsilon^{2} Q_{r}^{(2)}\left(\varphi_{1}^{(1)} x, \ldots\right)\right]\right\} \sin \psi d \psi=0,
\end{array}\right\}
\]

где, как и выше, $x=a \cos \psi$.

Поскольку выражение
\[
m_{1}\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega_{1}^{2} x\right)
\]

состоит лишь из первой гармоники по отношению ₹ (21.35) эквивалентны уравнению, выражающему равенство выражения (21.36) первой гармонике суммы:
\[
\sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)}\left(s Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} x+\varepsilon u_{1}^{(1)}, \ldots\right)+\varepsilon^{2} Q_{r}^{(2)}\left(\varphi_{1}^{(1)} x, \ldots\right)\right) .
\]

Обозначим первую гармонику какой-либо периодической функции $F(\psi)$ через $H_{1}\{F\}$ :
\[
H_{1}\{F\}=\cos \psi \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} F(\psi) \cos \psi d \psi+\sin \psi \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} F(\psi) \sin \psi d \psi .
\]

Тогда уравнение, эквивалентное выражениям (21.35), можем написать в следующем виде:
\[
m_{1}\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega_{1}^{2} x\right)=H_{1}\left\{\sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)}\left[s Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} x+\varepsilon u_{1}^{(1)}, \ldots\right)+s^{2} Q_{r}^{(2)}\left(\varphi_{1}^{(1)} x, \ldots\right)\right]\right\} .
\]

Разумеется, что это уравнение должно удовлетворяться лишь с точностью до величин второго порядка малости включительно, причем в выражениях обобщенных сил $q_{r}$ и $\dot{q}_{r}(r=1,2, \ldots, N)$ должны быть заменены согласно формулам (21.33) с учетом уравнений (21.34).
Заметим теперь, что так как $x=a \cos \psi$, то мы мояем написать:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega_{1}^{2} x=\varepsilon\left\{-2 \omega_{1} A_{1} \sin \psi-2 \omega_{1} a B_{1} \cos \psi\right\}+ \\
+\varepsilon^{2}\left\{\left(A_{1} \frac{d A_{1}}{d a}-a B_{1}^{2}-2 \omega_{1} a B_{2}\right) \cos \psi-\left(2 \omega_{1} A_{2}+2 A_{1} B_{1}+A_{1} \frac{d B_{1}}{d a} a\right) \sin \psi\right\} .
\end{array}
\]

Разлагая правую часть уравнения (21.37) по степеням \& и удерживая лишь первые два члена, находим:
\[
\begin{array}{l}
H_{1}\left\{\sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} Q_{r}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{s}, \varepsilon\right)\right\}= \\
=\left\{\varepsilon L_{1}(a)+\varepsilon^{2} L_{2}(a)\right\} \cos \psi+\left\{\varepsilon M_{1}(a)+\varepsilon^{2} M_{2}(a)\right\} \sin \psi .
\end{array}
\]

Сравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках и одинаковых стешенях \& в правых частях выражений (21.38) и (21.39), находим:
\[
A_{1}(a)=-\frac{M_{1}(a)}{2 \omega_{1} m_{1}}, \quad B_{1}(a)=-\frac{L_{1}(a)}{2 \omega_{1} m_{1} a},
\]

а также
\[
\left.\begin{array}{l}
A_{2}(a)=-\frac{A_{1}(a) B_{1}(a)}{\omega_{1}}-\frac{A_{1}(a)}{2 \omega_{1}} a \frac{d B_{1}(a)}{d a}-\frac{M_{2}(a)}{2 \omega_{1} m_{1}}, \\
B_{2}(a)=-\frac{B_{1}^{2}(a)}{2 \omega_{1}}+\frac{A_{1}(a)}{2 \omega_{1} a} \frac{d A_{1}(a)}{d a}-\frac{L_{2}(a)}{2 \omega_{1} m_{1} a} .
\end{array}\right\}
\]

Нетрудно убедиться, что формулы (21.40) дают для $A_{1}(a)$ и $B_{1}(a)$ те же выражения, что и ранее полученные формулы (21.25).

Итак, уравнения второго приближения могут быть написаны в следующей форме:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=-\frac{\varepsilon M_{1}(a)+\varepsilon^{2} M_{2}(a)}{2 \omega_{1} m_{1}}-\frac{\varepsilon^{2} A_{1}(a) B_{1}(a)}{\omega_{1}}-\frac{\varepsilon^{2} A_{1}(a)}{2 \omega_{1}} \frac{d B_{1}(a)}{d a} a, \\
\frac{d \psi}{d t}=\omega_{1}-\frac{\varepsilon L_{1}(a)+\varepsilon^{2} L_{2}(a)}{2 \omega_{1} m_{1} a}-\frac{\varepsilon^{2} B_{1}^{2}(a)}{2 \omega_{1}}+\varepsilon^{2} \frac{A_{1}(a)}{2 \omega_{1} a} \frac{d A_{1}(a)}{d a} .
\end{array}\right\}
\]

Заметим теперь, что с точки зрения обычной теории малых колебаний, сумма
\[
\sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} Q_{r}
\]

представляет собой обобщенную силу, действующую на первую нормальную координату.

Таким образом, чтобы написать уравнения второго приближения в явной форме, достаточно уметь подсчитать первую гармонику этой обобщенной силы с учетом членов не выше второго порядка малости.

Рассмотрим частный елучай стационарных одночастотных колебаний с постоянной амплитудой. В этом случае фаза џ вращается равномерно с некоторой угловой скоростью $\omega_{1}(a)$ :
\[
\psi=\omega_{1}(a) t+\theta, \quad \theta=\text { const. }
\]

Из (21.42) имеем:
\[
{ }^{\omega_{1}}(a)=\omega_{1}-\frac{\varepsilon L_{1}(a)+\varepsilon^{2} L_{2}(a)}{2 \omega_{1} m_{1} a}-\varepsilon^{2} \frac{B_{1}^{2}(a)}{2 \omega_{1}}+\varepsilon^{2} \frac{A_{1}(a)}{2 \omega_{1} a} \frac{d A_{1}(a)}{d a},
\]

а также
\[
M_{1}(a)+\varepsilon M_{2}(a)+\varepsilon 2 m_{1} A_{1}(a) B_{1}(a)+\varepsilon 2 m_{1} A_{1}(a) \frac{d B_{1}(a)}{d a} a=0,
\]

или $A_{1}(a)+\varepsilon A_{2}(a)=0$.
Последнее равенство показывает, что $M_{1}(a)$ и $A_{1}(a)$ будут величинами первого порядка малости, и потому с той же степенью точности можем написать:
\[
\varepsilon M_{1}(a)+\approx^{2} M_{2}(a)=0
\]

и
\[
{ }^{\omega_{1}}(a)=\omega_{1}-\frac{\varepsilon L_{1}(a)+\varepsilon^{2} L_{2}(a)}{2 \omega_{1} m_{1} a}-\frac{\varepsilon^{2} B_{1}^{2}(a)}{2 \omega_{1}},
\]

или, учитывая (21.40),
\[
\omega_{1}(a)=\omega_{1}-\frac{\varepsilon L_{1}(a)}{2 \omega_{1} m_{1} a}-\frac{\varepsilon^{2}}{2 \omega_{1}}\left(\frac{L_{1}(a)}{2 \omega_{1} m_{1} a}\right)^{2}-\frac{\varepsilon^{2} L_{2}(a)}{2 \omega_{1} m_{1} a} .
\]

Возводя в квадрат и отбрасывая ұлены порядка малости выше второго, для квадрата частоты стационарных колебаний получаем окончательно следующее выражение:
\[
\omega_{1}^{2}(a)=\omega_{1}^{2}-\frac{\varepsilon L_{1}(a)+\varepsilon^{2} L_{2}(a)}{m_{1} a} .
\]

Итак, расчет стационарных одночастотных колебаний в системах со многими степенями свободы может пропзводиться по следующей простой схеме.

Прежде всего определяем обобщенную силу, действующую на первую нормальную координату; заменяем в ней $q_{r}, \dot{q}_{r}(r=1,2, \ldots, N)$ согласно формулам (21.33), где $u_{r}^{(1)}(a, \psi)(r=1,2, \ldots, N)$ определены как вынужденные «регуляризированные» колебания, возбуждаемые в невозмущенной системе внешними силами, в режиме синусоидальных колебаний; раскладываем полученное выражение обобщенной силы, действующей на первую нормальную координату, в ряд Фурье. После этого коэффициент при синусе, взятый с точностью до величин второго порядка малости включительно, приравниваем нулю и получаем уравнение (21.43), из которого определяем стационарную амплитуду колебаний. Коэффициент при косинусе подставляем в правую часть формулы (21.44), определяющей частоту стационарных колебаний.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru