В настоящем параграфе остановимся на рассмотрении некоторых колебательных систем, изучение которых сводится к интегрированию дифференциальных уравнений с переменными (зависящими от времени) коэффициентами. Наибольший интерес представляет случай периодических коэффициентов. Как известно, кроме проблем небесной механики, ряд чисто технических задач приводится к рассмотрению дифференциальных уравнений с периодическими коэффициен-

Рис. 102. тами *).

Одной из типичных задач, сводящихся к рассмотрению указанных уравнений, является задача о поперечных колебаниях стержня, находящегося под воздействием продольных периодических сил.

Допустим, что на стержень, длиной $l$, закрепленный шарнирно по концам, с площадью поперечного сечения $A$, с жесткостью $E I$ и плотностью $\gamma$, действует периодическая продольная сила
\[
F=F(t)
\]
(см. рис. 102).
Тогда дифференциальное уравнение поперечных колебаний стержня может быть представлено в следующем виде:
\[
E I \frac{\partial^{4} y}{\partial z^{4}}+\frac{\gamma A}{g} \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}+F(t) \frac{\partial^{2} y}{\partial z^{2}}=0,
\]

где $g$ – ускорение силы тяжести.
В случае шарнирно закрепленных концов граничные условия для дифференциального уравнения (17.2) будут:
\[
\left.\begin{array}{c}
\left.y\right|_{z=0}=0,\left.\frac{\partial^{2} y}{\partial z^{2}}\right|_{z=0}=0, \\
\left.y\right|_{z=l}=0,\left.\frac{\partial^{2} y}{\partial z^{2}}\right|_{z=l}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Очевидно, что уравнение (17.2) вместе с граничными условиями (17.3) путем подстановки
\[
y=x \sin \pi \frac{z}{l}
\]
*) См., например, работы В. Н. Челомея [46, 47].

может быть сведено к следующему:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega^{2}\left[1-\frac{l^{2}}{\pi E I} F(t)\right] x=0,
\]

где введено обозначение
\[
\omega^{2}=\frac{g \pi^{4} E I}{\gamma A l^{4}} .
\]

Уравнение (17.5) является известным уравнением Хилла.
$\mathrm{K}$ уравнению (17.5) может быть приведена также задача о колебаниях математического маятника, ось вращения которого совернает заданное периодическое движение в вертикальном направлении, задача o колебаниях механической системы с периодически изменяющейся жесткостью, задачи амшлитудной модуляции и многие другие.
В случае, если периодическая функция $F(t)$ имеет следующий вид:
\[
F(t)=P_{0} \cos v t,
\]

то вместо (17.5) получаем уравнение
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega^{2}\left[1-\frac{l^{2} P_{0}}{\pi E I} \cdot \cos v t\right] x=0,
\]

которое называется уравнением Матье.
Как уравнение Матье, так и уравнение Хилла являются частными случаями дифференциального уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+p(t) \frac{d x}{d t}+q(t) x=0,
\]

где $p(t)$ и $q(t)$ – периодические функции $t$ с периодом $Q$.
Уравнения типа (17.9) подробно исследовались рядом ученых, однако существующие теории (см., например, А. М. Ляпунов [27]) дают возможность производить только качественный анализ поведения реше: ний уравнения (17.9) и не указывают способов построения приближенных решений или способов, позволяющих решить вопрос об устойчивости этих решений.

Для частного случая уравнения (17.9) – для уравнения Матьепостроены решения (функции Матье), которым посвящена обпирная литература.

Во многих случаях дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами могут быть сведены к рассмотренному в § 13 уравнению (13.1), и поэтому приближенные репения можно построить согласно изложенному методу.

Ниже мы построим приближенные решения, а также определим зоны устойчивости в первом и во втором приближении для простейшего случая уравнения с периодическими коэффициентами (17.9) – для уравнения Матье-и сопоставим полученные результаты с репениями, известными в литературе.

Итак, перейдем к построению приближенных решений для уравнения (17.8), которое можем записать в виде
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega^{2}(1-h \cos v t) x=0,
\]

где обозначено
\[
h=\frac{P_{0} l^{2}}{\pi E I} \ll 1 .
\]

Как уже указывалось, в первом приближении мы можем рассматривать для уравнения типа (17.10) лишь главный демультипликапионный резонанс $p=1, q=2$. Предполагая, что $\omega \approx \frac{v}{2}$, построим приближенные решения, соответствующие резонансному случаю.
В первом приближении, воспользовавшись формулами (14.25), имеем:
\[
x=a \cos \left(\frac{\vee}{2} t+\vartheta\right),
\]

где $a$ и $\vartheta$ должны быть определены из системы уравнений:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d a}{d t} & =-\frac{a h \omega^{2}}{2
u} \sin 2 \vartheta \\
\frac{d \vartheta}{d t} & =\omega-\frac{
u}{2}-\frac{h \omega^{2}}{2
u} \cos 2 \vartheta
\end{array}\right\}
\]

Чтобы решить полученную систему уравнений первого приближения, введем новые переменные $u$ и $v$ согласно формулам
\[
u=a \cos \vartheta, \quad v=a \sin \theta .
\]

Дифференцируя выражения (17.13) и принимая во внимание уравнения (17.12), имеем:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d u}{d t}=\frac{d a}{d t} \cos \vartheta-\frac{d \vartheta}{d t} a \sin \vartheta=\left[-\frac{h \omega^{2}}{2 v}-\left(\omega-\frac{
u}{2}\right)\right] a \sin \vartheta \\
\frac{d v}{d t}=\frac{d a}{d t} \sin \vartheta+\frac{d \vartheta}{d t} a \cos \vartheta=\left[-\frac{h \omega^{2}}{2 v}+\left(\omega-\frac{
u}{2}\right)\right] a \cos \vartheta
\end{array}\right\}
\]

или
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d u}{d t}=\left[-\frac{h \omega^{2}}{2 v}-\left(\omega-\frac{v}{2}\right)\right] v \\
\frac{d v}{d t}=\left[-\frac{h \omega^{2}}{2 v}+\left(\omega-\frac{v}{2}\right)\right] u
\end{array}\right\}
\]

Таким образом, уравнения первого приближения (17.12) мы привели к системе двух линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

Характер решений системы уравнений (17.15) и, следовательно, решений системы (17.12) зависит от корней характеристического уравнения
\[
\left|\begin{array}{cc}
\lambda & \frac{h \omega^{2}}{2
u}+\left(\omega-\frac{
u}{2}\right) \\
\frac{h \omega^{2}}{2
u}-\left(\omega-\frac{
u}{2}\right) & \lambda
\end{array}\right|=0
\]

или
\[
\lambda^{2}-\frac{h^{2} \omega^{4}}{4
u^{2}}+\left(\omega-\frac{
u}{2}\right)^{2}=0 .
\]

Обозначим корџі этого уравнения через
\[
+\lambda,-\lambda \text {, }
\]

причем
\[
\lambda=\sqrt{\frac{h^{2} \omega^{4}}{4
u^{2}}-\left(\omega-\frac{
u}{2}\right)^{2}} .
\]

Тогда об̈ще решение системы дифференциальных уравнений (17.15) может быть представлено в следующем виде:
\[
\begin{array}{c}
u=C_{1} e^{\lambda t}+C_{2} e^{-\lambda t}, \\
v=C_{1} \frac{\frac{-h \omega^{2}}{2 v}+\left(\omega-\frac{
u}{2}\right)}{\lambda} e^{\lambda t}+C_{2} \frac{\frac{h \omega^{2}}{2 v}-\left(\omega-\frac{
u}{2}\right)}{\lambda} e^{-\lambda t},
\end{array}
\]

где $C_{1}, C_{2}$ – произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий.

После этого определяем амплитуду $a$ и фазу колебаний $\vartheta$, входящие в правую часть формулы (17.11). Имеем:
\[
\left.\begin{array}{rl}
a^{2} & =u^{2}+v^{2}, \\
\vartheta & =\operatorname{arctg} \frac{v}{u} .
\end{array}\right\}
\]

Согласно формулам (17.17), (17.18) и (17.19) очевидно, что при $\lambda$ мнимом амплитуда $a$ будет ограниченной функцией времени.

В случае, если $\lambda$ действительное, амплитуда $a$ будет возрастать по экспоненциальному закону. Этот случай соответствует наличию в системе основного демультипликационного резонанса.

Согласно равенству (17.17) условие вещественности $\lambda$ будет следующее:
\[
\frac{h \omega^{2}}{2 v}>\left|\omega-\frac{v}{2}\right|,
\]

или с точностью до величин первого порядка малости
\[
\frac{h \omega}{4}>\left|\omega-\frac{
u}{2}\right|,
\]

так как $
u=2 \omega+O(h)$.
Таким образом, если частота внешнего возбуждения находится в интервале
\[
2 \omega\left(1-\frac{h}{4}\right)<v<2 \omega\left(1+\frac{h}{4}\right) .
\]

то в системе возникает главный демультипликационный резонанс, при котором амплитуда колебаний возрастает по экспоненциальному закону. Ввиду того, что этот резонанс возникает в результате периодического изменения одного из параметров колебательной системы, его часто называют параметрическим резонансом.

Неравенство (17.21) определяет собой зону неустойчивости, внутри которой положение равновесия $x=0$ оказывается неустойчивым и в системе самовозбуждаются колебания.
Перейдем теперь к построению и анализу второго приближения. Согласно формулам (14.5), (14.21), (14.25) и (14.26) во втором приближении имеем:
\[
x=a \cos \left(\frac{
u}{2} t+\vartheta\right)-\frac{a h \omega}{8\left(\omega+\frac{
u}{2}\right)} \cos \left(\frac{3}{2}
u t+\vartheta\right),
\]

где $a$ и $\vartheta$ должны быть определены из следующей системы уравнений:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=-\frac{a h \omega^{2}}{2
u} \sin 2 \vartheta \\
\frac{d \vartheta}{d t}=\omega-\frac{
u}{2}+\frac{h^{2}(\omega+
u) \omega}{32\left(\omega+\frac{
u}{2}\right)}-\frac{h \omega^{2}}{2
u} \cos 2 \vartheta .
\end{array}\right\}
\]

Система (17.23) заменой переменных (17.13) тоже сводится ік системе линейных уравнений
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d u}{d t}=\left[-\frac{h \omega^{2}}{2
u}-\left(\omega-\frac{
u}{2}\right)-\frac{h^{2}(\omega+
u) \omega}{32\left(\omega+\frac{
u}{2}\right)}\right] v, \\
\frac{d v}{d t}=\left[-\frac{h \omega^{2}}{2
u}+\left(\omega-\frac{
u}{2}\right)+\frac{h^{2}(\omega+
u) \omega}{32\left(\omega+\frac{
u}{2}\right)}\right] u .
\end{array}\right\}
\]

Корни характеристического уравнения в данном случае имеют вид
\[
\lambda= \pm \sqrt{\frac{h^{2} \omega^{4}}{4
u^{2}}-\left[\omega-\frac{
u}{2}+\frac{h^{2}(\omega+
u) \omega}{32\left(\omega+\frac{
u}{2}\right)}\right]^{2}},
\]

и, следовательно, зона неустойчивости во втором приближении определяется с точностью до величин второго порядка малости включительно следующим неравенством:
\[
2 \omega\left[1-\frac{h}{4}-\frac{h^{2}}{64}\right]<
u<2 \omega\left[1+\frac{h}{4}-\frac{h^{2}}{64}\right] .
\]

Найдем теперь соотношение между $\omega$ и $h$, при котором решение уравнения (17.10) будет периодическим с периодом $\frac{4 \pi}{v}$. Это возможно в случае, если в формулах (17.11) и (17.22) $a$ =const. Для этого необходимо, чтобы $\lambda$, определяемая выражением (17.17) или (17.25), равнялась нулю.

Таким образом, соотношение, которому должны удовлетворять $\omega$ и $h$ для того, чтобы $x$ являлось функцией периодической, будет в первом приближении:
\[
\frac{2 \omega}{
u}=1 \pm \frac{h}{4}
\]

во втором приближении:
\[
\frac{2 \omega}{
u}=1 \pm \frac{h}{4}+\frac{5 h^{2}}{64},
\]

или соответственно с той же степенью точности в первом приближении:
\[
\frac{4 \omega^{2}}{v^{2}}=1 \pm \frac{h}{2}
\]

и во втором приближении:
\[
\frac{4 \omega^{2}}{v^{2}}=1 \pm \frac{h}{2}+\frac{7 h^{2}}{32} .
\]

Соотношения (17.29) и (17.30) представляют собой уравнения кривых в плоскости $\left(\frac{4 \omega^{2}}{v^{2}}, h\right.$ ) (в первом и во втором приближении), на которых решение уравнения (17.10) будет периодическим, т. е. уравнения граничных кривых областей устойчивости решений уравнения (17.10) (рис. 103).

Для периодических решений с периодом $\frac{4 \pi}{v}$ из (17.11) и (17.22), принимая во внимание (17.29) и (17.30), находим следующие выражения:
\[
\begin{aligned}
x_{1} & =a_{0} \cos \left(\frac{v}{2} t+\vartheta_{0}\right), \\
x_{\text {II }} & =a_{0} \cos \left(\frac{v}{2} t+\vartheta_{0}\right)-\frac{a_{0} h}{16} \cos \left(\frac{3 v}{2} t+\vartheta_{0}\right),
\end{aligned}
\]

в которых индекс при $x$ указывает на номер приближения.
Сопоставим теперь найденные формулы с результатами, полученными при определении непосредственно периодических решений уравнения (17.10) в случае малых $h$.
Для этого воспользуемся приемом, с помощью которого Матье находил решения уравнения (17.10) и уравнения граничных кривых, предполагая параметр $h$ малым. (Этот прием следует непосредственно из метода А. Пуанкаре [38] нахождения периодических решений.)
Ищем периодическое решение уравнения (17.10) с периодом $\frac{4 \pi}{v}$ в виде ряда
Рис. 103.
\[
x=x_{0}+h x_{1}+h^{2} x_{2}+\ldots,(17.33)
\]

в котором $x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots$ должны быть периодическими функциями с периодом $\frac{4 \pi}{v}$.
Выражение для $\omega^{2}$ тоже представляем в виде ряда
\[
\omega^{2}=\frac{
u^{2}}{4}+h \omega_{1}+h^{2} \omega_{2}+\ldots
\]

Подставляя правые части (17.33) и (17.34) в уравнение (17.10) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $h$, получаем следующую систему уравнений:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x_{0}}{d t^{2}}+\frac{
u^{2}}{4} x_{0}=0, \\
\frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}}+\frac{v^{2}}{4} x_{1}=\left(\frac{v^{2}}{4} \cos v t-\omega_{1}\right) x_{0}, \\
\frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}}+\frac{v^{2}}{4} x_{2}=\left(\frac{v^{2}}{4} \cos v t-\omega_{1}\right) x_{1}+\left(\omega_{1} \cos v t-\omega_{2}\right) x_{0}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …) } \\
\end{array}
\]

из которой необходимо определить функции $x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots$ и величины $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots$

Решая первое уравнение системы (17.35), находим:
\[
x_{0}=a_{0} \cos \left(\frac{v}{2} t+\vartheta_{0}\right),
\]

где $a_{0}$ и $\vartheta_{0}$ – произвольные постоянные.
Подставляя значение $x_{0}$ (17.36) в правую часть второго уравнения системы (17.35), имеем:
\[
\frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}}+\frac{v^{2}}{4} x_{1}=-\omega_{1} a_{0} \cos \left(\frac{
u}{2} t+\vartheta_{0}\right)+\frac{
u^{2}}{4} a_{0} \cos \left(\frac{v}{2} t+\vartheta_{0}\right) \cos v t,
\]

или
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}}+\frac{
u^{2}}{4} x_{1}=-\left(\omega_{1}-\frac{
u^{2}}{8}\right) a_{0} \cos \frac{
u}{2} t \cos \vartheta_{0}+ \\
\quad+\left(\omega_{1}+\frac{
u^{2}}{8}\right) a_{0} \sin \frac{
u}{2} t \sin \vartheta_{0}+\frac{
u^{2}}{8} a_{0} \cos \left(\frac{3}{2}
u t+\vartheta_{0}\right) .
\end{array}
\]

Для того чтобы $x_{1}$ было периодической функцией с периодом $\frac{4 \pi}{v}$, необходимо, чтобы коэффициенты при $\cos \frac{
u}{2} t$ и $\sin \frac{v}{2} t$ в правой части (17.38) равнялись нулю. Тогда получим:
\[
\omega_{1}=\frac{
u^{2}}{8}, \quad \sin \vartheta_{0}=0, \quad \vartheta_{0}=0
\]

или
\[
\omega_{1}=-\frac{
u^{2}}{8}, \quad \cos \vartheta_{0}=0, \quad \vartheta_{0}=\frac{\pi}{2} .
\]

После этого находим выражение для $x_{1}$ :
\[
x_{1}=-\frac{a_{0}}{16} \cos \frac{3 v}{2} t+u \cos \left(\frac{
u}{2} t+\varphi\right),
\]

или
\[
x_{1}=\frac{a_{0}}{16} \sin \frac{3 v}{2} t+u \cos \left(\frac{
u}{2} t+\varphi\right) .
\]

Подставляя значения $x_{0}$ и $x_{1}$ в правую часть третьего уравнения системы (17.35), имеем для случая $\omega_{1}=\frac{v^{2}}{8}, \vartheta_{0}=0$ :
\[
\begin{aligned}
\frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}}+\frac{
u^{2}}{4} x_{2}= & -\left(\frac{
u^{2}}{4} \cos v t-\omega_{1}\right) \frac{a}{16} \cos \frac{3 v}{2} t- \\
& -\left(\frac{v^{2}}{4} \cos v t-\omega_{1}\right) u \cos \left(\frac{
u}{2} t+\varphi\right)+\left(\omega_{1} \cos v t-\omega_{2}\right) a \cos \frac{
u}{2} t .
\end{aligned}
\]

Приравнивая опять коэффициенты прк $\cos \frac{v}{2} t$ и $\sin \frac{v}{2} t$ нулю, получаем:
\[
\dot{\omega}_{2}=\frac{
u^{2}}{16}-\frac{
u^{2}}{128}=\frac{7
u^{2}}{128},
\]
\[
\frac{
u^{2}}{4} u \sin \varphi+\frac{v^{2}}{8} u \sin \varphi=0, \quad \text { т. e. } \sin \varphi=0, \quad \varphi=0 .
\]

Аналогично для второго случая получим:
\[
\left.\begin{array}{c}
\omega_{2}=\frac{7 \mathrm{v}^{2}}{128}, \\
\cos \varphi=0, \quad \varphi=\frac{\pi}{2} .
\end{array}\right\}
\]

Подставляя полученные значения $x_{0}, x_{1}, \omega_{1}, \omega_{2}$ в правые части формул (17.33) и (17.34), имеем:
\[
\begin{aligned}
x & =a_{0} \cos \frac{
u}{2} t-\frac{a_{0} h}{16} \cos \frac{3
u}{2} t, \\
\omega^{2} & =\frac{
u^{2}}{4}+\frac{h
u^{2}}{8}+\frac{7 h^{2}
u^{2}}{128},
\end{aligned}
\]

или
\[
\begin{aligned}
x & =a_{0} \sin \frac{
u}{2} t+\frac{a_{0} h}{16} \sin \frac{3
u}{2} t, \\
\omega^{2} & =\frac{
u^{2}}{4}-\frac{h
u^{2}}{8}+\frac{7 h^{2}
u^{2}}{128} .
\end{aligned}
\]
В.этих формулах мы для»удобства включили $h u$ в полную амплитуду первой гармоники $a_{0}$.
Полагая $
u=2$ и $a_{0}=1$, находим:
\[
\left.\begin{array}{rl}
x & =\cos t-\frac{h}{16} \cos 3 t, \\
\omega^{2} & =1+\frac{h}{2}+\frac{7 h^{2}}{32} ; \\
x & =\sin t+\frac{h}{16} \sin 3 t, \\
\omega^{2} & =1-\frac{h}{2}+\frac{7 h^{2}}{32} .
\end{array}\right\}
\]

Выражения (17.47) и (17.48), как и следовало ожидать, совпадают с первыми двумя членами в разложениях функций Матье $C_{n}$ и $S_{n}$ (для $n=1$ ) в ряд Фурье. Действительно, имеем *):
\[
\left.\begin{array}{l}
C_{1}=\cos t-\frac{h}{16} \cos 3 t+O\left(h^{2}\right), \\
\omega_{C_{1}}^{2}=1+\frac{h}{2}+\frac{7 h^{2}}{32}+O\left(h^{3}\right),
\end{array}\right\}
\]

а также
\[
\left.\begin{array}{rl}
S_{1} & =\sin t+\frac{h}{16} \sin 3 t+O\left(h^{2}\right), \\
\omega_{\mathrm{S}_{1}}^{2} & =1-\frac{h}{2}+\frac{7 h^{2}}{32}+O\left(h^{3}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Остановимся тешерь на построении приближенных решений уравнения (17.10) и определим границы областей неустойчивости в случае $\omega \approx \frac{\downarrow}{2} p$, где $p=2,3$.

Для случая $p=2$, т. е. $\omega \approx v$, полагаем в формулах (14.21), (14.23) и (14.26) $p=2, q=2$.
Тогда для второго приближения найдем следующее выражение:
\[
x=a \cos (
u t+\vartheta)+\frac{h a \omega^{2}}{2
u(
u+2 \omega)} \cos (2 v t+\vartheta)+\frac{h \omega^{2} a}{2 v(
u-2 \omega)} \cos \vartheta,
\]
*) См., например, М. Д. О. Стретт, Функции Ляме, Матье и родственные им в физике и технике, стр. $35-39$.

где $a$ и $\vartheta$ должны быть определены из уравнения второго приближения:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=\frac{h^{2} a \omega^{4}}{8
u^{2}(2 \omega-
u)} \sin 2 \vartheta, \\
\frac{d \vartheta}{d t}=\omega-
u-\frac{h^{2} \omega^{4}}{4
u\left(4 \omega^{2}-
u^{2}\right)}+\frac{h^{2} \omega^{4}}{8
u^{2}(2 \omega-
u)} \cos 2 \vartheta .
\end{array}\right\}
\]

Из системы (17.52), так же как и в предыдущем случае, находим условие вещественности корней характеристического уравнения
\[
\left|\omega-
u-\frac{h^{2} \omega^{4}}{4
u\left(4 \omega^{2}-
u^{2}\right)}\right|<\left|\frac{h^{2} \omega^{4}}{8
u^{2}(2 \omega-
u)}\right|,
\]

и, следовательно, зона неустойчивости определяется с точностью до величин второго порядка малости неравенством
\[
4+\frac{2 h^{2} \omega^{4}}{\gamma^{2}\left(4 \omega^{2}-
u^{2}\right)}-\frac{h^{2} \omega^{4}}{\gamma^{3}(2 \omega-
u)}<\left(\frac{2 \omega}{
u}\right)^{2}<4+\frac{2 h^{2} \omega^{4}}{
u^{2}\left(4 \omega^{2}-
u^{2}\right)}+\frac{h^{2} \omega^{4}}{\gamma^{3}(2 \omega-
u)}
\]

или, принимая во внимание, что $\omega \approx
u$, с той же степенью точности неравенством
\[
4+\frac{2 h^{2}}{3}-h^{2}<\left(\frac{2 \omega}{v}\right)^{2}<4+\frac{2 h^{2}}{3}+h^{2} .
\]

Для случая $p=3$, т. е. $\omega \approx \frac{3}{2}
u$, необходимо подсчитать третье приближение, так как во втором приближении мы получаем только поправку, уточняющую значение собственной частоты $\omega$. После ряда выкладок находим:
\[
\begin{aligned}
x=a \cos \left(\frac{3}{2}
u t+\vartheta\right) & -\frac{\omega^{2} h a}{2}\left\{\frac{\cos \left(\frac{5}{2}
u t+\vartheta\right)}{
u(2 \omega+
u)}-\frac{\cos \left(\frac{1}{2} v t+\vartheta\right)}{
u(2 \omega-
u)}\right\}+ \\
& +\frac{h^{2} \omega^{4} a}{16
u^{2}}\left\{\frac{\cos \left(\frac{7}{2}
u t+\vartheta\right)}{(2 \omega+
u)(
u+\omega)}+\frac{\cos \left(\frac{
u}{2} t-\vartheta\right)}{(2 \omega-
u)(\omega-
u)}\right\},
\end{aligned}
\]

где $a$ и $\vartheta$ должны быть определены из системы уравнений третьего приближения:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=-\frac{h^{3} \omega^{6} a}{3 \cdot 2^{5}
u^{3}(2 \omega-
u)(\omega-
u)} \sin 2 \vartheta, \\
\frac{d \vartheta}{d t}=\omega-\frac{3}{2}
u-\frac{\omega^{4} h^{2}}{3 \cdot 2
u\left(4 \omega^{2}-
u^{2}\right)}-\frac{h^{3} \omega^{6}}{3 \cdot 2^{5}
u^{3}(2 \omega-
u)(\omega-
u)} \cos 2 \vartheta .
\end{array}\right\}
\]

Попутно заметим, что в общем случае из-за громоздкости не выписывались выражения для третьего приближения. Структура же уравнений (17.57) свидетельствует лишний раз о том, что в конкретных случаях даже уравнения третьего приближения весьма просты.

Из системы уравнений (17.57) находим для зоны неустойчивости неравенство
\[
\begin{aligned}
9+\frac{2 \omega^{4} h^{2}}{
u^{2}\left(4 \omega^{2}-
u^{2}\right)}-\frac{\omega^{6} h^{3}}{2^{3}
u^{4}(2 \omega-
u)(\omega-
u)}<\left(\frac{2 \omega}{
u}\right)^{2} & <9+ \\
\quad+\frac{2 \omega^{4} h^{2}}{
u^{2}\left(4 \omega^{2}-
u^{2}\right)} & +\frac{\omega^{6} h^{3}}{2^{3}
u^{4}(2 \omega-
u)(\omega-
u)},
\end{aligned}
\]

или с той же степенью точности
\[
9+\frac{81 h^{2}}{64}-\frac{3^{6} h^{3}}{2^{9}}<\left(\frac{2 \omega}{
u}\right)^{2}<9+\frac{81 h^{2}}{64}+\frac{3^{6} h^{3}}{2^{9}} .
\]

Приведем здесь также неравенство определяющее зону неустойчивости в случае $\omega \approx \frac{
u}{2}$. Согласно (17.20) имеем:
\[
1-\frac{h}{2}<\left(\frac{2 \omega}{
u}\right)^{2}<1+\frac{h}{2} \text {. }
\]

Из анализа неравенств (17.55), (17.59) и (17.60) очевидно, что величина (ширина) области неустойчивости уменьшается с ее порядком $p$, как $h^{p}$.

Таким образом, высшие резонансы $p=2,3, \ldots$ можем наблюдать, рассматривая соответственно второе, третье и т. д. приближения, а при рассмотрении точного рещения уравнения (17.10) получим бесконечный спектр резонансов.

На рис. 103 приведены первые три зоны неустойчивости, построенные согласно неравенствам (17.55), (17.59) и (17.60).
Заметим, что при наличии затухания, т. е. для уравнения
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\delta \frac{d x}{d t}+\omega^{2}(1-h \cos v t) x=0,
\]

эти зоны уменьшаются (см. на рис. 103 заптрихованные области). Нетрудно показать, что вместо рассматриваемых неравенств при наличии трения мы получим следующие:
\[
\begin{array}{c}
1-\sqrt{\frac{h^{2}}{4}-\frac{4 \delta^{2}}{v^{2}}}<\left(\frac{2 \omega}{v}\right)^{2}<1+\sqrt{\frac{h^{2}}{4}-\frac{4 \delta^{2}}{v^{2}}}, \\
4+\frac{2 h^{2}}{3}-\sqrt{h^{4}-64 \frac{\delta^{2}}{v^{2}}}<\left(\frac{2 \omega}{v}\right)^{2}<4+\frac{2 h^{2}}{3}+\sqrt{h^{4}-64 \frac{\delta^{2}}{v^{2}}}, \\
9+\frac{81 h^{2}}{64}-\sqrt{\frac{3^{12} h^{6}}{2^{18}}-3^{4} 4 \frac{\delta^{2}}{
u^{2}}}<\left(\frac{2 \omega}{
u}\right)^{2}<9+\frac{81 h^{2}}{64}+\sqrt{\frac{3^{12} h^{6}}{2^{18}}-3^{4} 4 \frac{\delta^{2}}{v^{2}}} .
\end{array}
\]

Неравенства (17.62), (17.63) и (17.64) содержат еще дополнительные условия:
для первой области
\[
h>4 \frac{\delta}{v},
\]

для второй
\[
h>2 \sqrt{2 \frac{\delta}{v}},
\]

для третьей
\[
h>\frac{8}{3} \sqrt[6]{\frac{4 \delta^{2}}{9 v^{2}}} .
\]

Как нетрудно видеть, при наличии затухания, для того чтобы был заметен резонанс $\omega \approx
u$, требуется гораздо большая глубина модуляци и параметра $h \omega^{2}$, чем в случае резонанса $\omega \approx \frac{v}{2}$. Еще тяжелее осуществить резонанс $\omega \approx \frac{3}{2}$ v.

Поэтому обычно наибольший практический интерес представляет резонанс $\omega \approx \frac{
u}{2}$.

Рассмотрим теперь параметрическое возбуждение в нелинейной колебательной системе.

Заметим, что приведенный выше случай показывает, что в линейной колебательной системе при параметрическом изменении массы или жесткости системы при определенных условиях положение равновесия становится неустойчивым. Даже при очень малых значениях $\omega^{2} h$ (глубины модуляции) в системе при определенном соотношении частот возникают колебания, амплитуда которых неограниченно возрастает.

При наличии в линейной системе диссипативных сил влияние последних сказывается только на условии возбуждения колебаний – при наличии диссипации глубина модуляции, при которой наступает резонанс, имеет некоторый нижний предел, отличный от нуля и зависящий от величины декремента затухания. Стационарных колебаний при наличии трения в линейной системе не будет.

В нелинейной колебательной системе дело обстоит иначе. Как будет показано ниже, при изменении рассматриваемых параметров колебательной системы по гармоническому закону с частотой, для определенности, например, равной или близкой к удвоенной собственной частоте системы, настушает резонанс. В данном случае возможны устойчивые режимы стационарных колебаний.

В качестве простейшего примера рассмотрим колебательную систему, описываемую следующим дифференциальным уравнением:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega^{2}(1-h \cos
u t) x+2 \delta \frac{d x}{d t}+\gamma x^{3}=0 .
\]

Предположим, что колебания, описываемые уравнением (17.68), близки к гармоническим. Тогда решение уравнения (17.68), соответствующее наличию в системе основного демультишликационного резонанса, ищем в виде
\[
x=a \cos \left(\frac{v}{2} t+\vartheta\right),
\]

где согласно (14.25) a и э должны удовлетворять следующей системе уравнений:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=-\delta a-\frac{a h \omega^{2}}{2
u} \sin 2 \vartheta \\
\frac{d \vartheta}{d t}=\omega-\frac{
u}{2}+\frac{3 \gamma a^{2}}{4
u}-\frac{h \omega^{2}}{2
u} \cos 2 \vartheta .
\end{array}\right\}
\]

Для получения стационарных значений амплитуды и фазы колебания приравняем правые части системы (17.70) нулю.
Получаем соотнопгения:
\[
\left.\begin{array}{r}
-\delta a-\frac{a h \omega^{2}}{2 v} \sin 2 \vartheta=0, \\
\omega-\frac{
u}{2}+\frac{3 \gamma a^{2}}{4
u}-\frac{h \omega^{2}}{2 v} \cos 2 \vartheta=0 .
\end{array}\right\}
\]

Исключая из них фазу ๆ, находим с точностью до величин первого порядка малости включительно следующее соотноциение между амплитудой $a$ и частотой модуляции v:
\[
a^{2}=\frac{4}{3 \gamma}\left[\left(\frac{v}{2}\right)^{2}-\omega^{2} \mp \frac{1}{2} \sqrt{h^{2} \omega^{4}-4
u^{2} \hat{\delta}^{2}}\right] .
\]

При помощи этой зависимости строим резонансную кривую.
В случае, если $\gamma>0$, получим резонансную кривую, приведенную на рис. 104. Анализируя эту кривую, видим, что при увеличении $
u$, начиная с малых значений, колебания в системе будут отсутствовать, пока $
u$ не достигнет значения, соответствующего точке $A$. При достижении $
u$ точки $A$ в системе возникнут колебания, и при дальнейшем увеличении $
u$ ампілитуда этих колебаний будет изменяться вдоль верхней ветви резонансной кривой $A B$. В точке $B$ колебания потеряют свою устойчивость и сорвутся.

При уменьшении v, начиная с больших значений, колебания скачком возбудятся в точке $C$ (жесткое возбуждение), и при последующем уменьпении $v$ амплитуда колебаний будет изменяться вдоль кривой $A B$.
Рис. 104.
Pnc. 105.
В случае, если $\gamma<0$, получим аналогичную картину, только резонансная кривая будет наклонена в сторону малых значений $
u$ (рис. 105).

Для определения границ зоны синхронизации необходимо приравнять правую часть выражения для $a$ нулю.
В первом приближении зона резонанса будет:
\[
\omega^{2}-\frac{1}{2} \sqrt{h^{2} \omega^{4}-16 \omega^{2} \delta^{2}}<\left(\frac{
u}{2}\right)^{2}<\omega^{2}+\frac{1}{2} \sqrt{h^{2} \omega^{4}-16 \omega^{2} \delta^{2}},
\]

и потому ширина резонансной зоны
\[
\Delta=\sqrt{h^{2} \omega^{4}-16 \omega^{2} \delta^{2}} .
\]

Заметим, что наличие затухания уменьшает интервал $A C$, внутри которого возникает параметрический резонанс.

Очевидно, что $\Delta$ будет действительным, если выполняется неравенство
\[
h>\frac{4 \delta}{\omega},
\]

которое, как указывалось, определяет минимальную глубину модуляции, необходимую для параметрического резонанса при данном затухании.

Рассмотрим еще случай параметрического резонанса в колебательной системе с нелинейным трением.

В случае параметрического возбуждения контура с электронной лампой (рис. 23) уравнение колебаний будет:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+2\left(\lambda_{0}+\lambda_{2} x^{2}\right) \frac{d x}{d t}+\omega^{2}(1-h \cos v t) x=0 .
\]

Допустим, что при отсутствии параметрического возбуждения, т. е. при $h=0, \quad$ система несамовозбужденная. Для этого необходимо, чтобы $\lambda_{0}>0$.

Составим уравнения первого приближения. Имеем:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=-\lambda_{0}-\frac{\lambda_{2} a^{3}}{4}-\frac{a h \omega^{2}}{2 v} \sin 2 \vartheta \\
\frac{d \vartheta}{d t}=\omega-\frac{
u}{2}-\frac{h \omega^{2}}{2 v} \cos 2 \vartheta .
\end{array}
\]

Рис. 106.
Для определения стационарных значений $a$ и $\vartheta$ приравниваем правые части уравнений (17.77) нулю:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\lambda_{0} a+\frac{\lambda_{2} a^{3}}{4}+\frac{a h \omega^{2}}{2
u} \sin 2 \vartheta & =0, \\
\omega-\frac{
u}{2}-\frac{h \omega^{2}}{2
u} \cos 2 \vartheta & =0 .
\end{array}\right\}
\]

Исключая из полученных соотношений ๆ, находим с принятой нами степенью точности следующую зависимость между амплитудой колебания $a$ и частотой изменения параметра $v$ :
\[
a^{2}=\frac{2}{\lambda_{2}
u} \sqrt{h^{2} \omega^{4}-4\left(\omega^{2}-\left(\frac{
u}{2}\right)^{2}\right)^{2}}-4 \frac{\lambda_{0}}{\lambda_{2}} .
\]

При помощи әтой зависимости можем построить резонансную кривую (рис. 106), а также найти условия параметрического возбуждения, максимальную амплитуду возбуждения, границы резонансной области и т. д.