a) Линейный элемент Эйзенхарта. Пусть имеется реономная система с $N$ степенями свободы, обладающая потенциальной энергией $V$, которая может зависеть от $t$. Кинетическая энергия определится формулой:
\[
T=\frac{1}{2} a_{i j}(x, t) \dot{x}^{l} \dot{x}^{j}+a_{i}(x, t) \dot{x}^{i}+\frac{1}{2} A(x, t) .
\]

Эйзенхарт (Eisenhart) [2] предлагает рассматривать пространство $V_{N+2} N+2$ измерений с координатами $x^{i}, t$, и с линейным элементом
\[
\text { (8.2) } d s^{2}=a_{i j} d x^{l} d x^{j}+2 \alpha_{i} d x^{l} d t+(A-2 V) d t^{2}+2 d t d u \text {. }
\]

Он показал, что если геодезические линии пространства $V_{N+2}$ проектируются вдоль параметрических линий $u$ на поверхности $u=$ const, то полученные при этом кривые будут совпадать с динамическими траекториями в многообразии конфигураций и времени.

Для склерономной голономной системы Эйзенхарт рассматривает пространство $V_{N+1}$ с координатами $x^{i}$, $u$ (а не про-

странство конфигураций и времени) с линейным элементом
\[
\left.d s^{2}=a_{i j} d x^{t} d x^{j}+2 d u^{2}\right\}(V+b),
\]

где $b$-постоянная; в этом случае предполагается, конечно, что $V$ не зависит от $t$. Если спроектировать геодезические линии пространства $V_{N+1}$ вдоль параметрических линий $u$ на многообразие конфигураций, то полученные таким образом кривые совпадают с динамическими траекториями, причем время связано с длиной дуги в $V_{N+1}$ следующим соотношением:
\[
t=s[2(E+b)]^{-\frac{1}{2}},
\]

здесь $E$ обозначает полную энергию движения. Линейный элемент Эйзенхарта (8.3) был позже вновь открыт $Л ю$ исом (Lewis) [1].

b) Линейный элемент Мак-Коннеля. Для консервативной с. г. системы Мак-Коннель (McConnell) [1] предлагает брахистохронный линейный элемент
\[
d s^{2}=2 T d t^{2} /(E-V)=a_{i j} d x^{i} d x^{j} \mid(E-V) .
\]

Брахистохроны с полной энергией $E$ являются геодезическими линиями многообразия конфигураций с таким линейным элементом. Мак-Коннель предложил также воспользоваться линейным элементом
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon d s^{2}=2(T+V-E) d t^{2}=a_{i j} d x^{i} d x^{j}-2(E-V) d t^{2}, \\
\varepsilon= \pm 1,
\end{array}
\]

в многообразии конфигураций и времени.
Каждая траектория с полной энергией $E$ будет в этом случае изотропной (нулевой) линией; в частности, брахистохроны изотропными геодезическими линиями.

с) Линейный элемент Горака. Горак (Horak) [6] предложил для многообразия конфигураций и времени $V_{N+1}$ использовать линейный элемент, напоминающий отчасти линейный элемент Мак-Коннеля, а именно:
\[
d s^{2}=2(T+V) d t^{2}=a_{i j} d x^{i} d x^{j}+2 V d t^{2} .
\]

Этот линейный элемент обладает тем интересным свойством, что траектория удовлетворяет условию
\[
E k_{\alpha}=X_{\alpha}, \quad(\alpha=0,1, \ldots N),
\]

где $E$ – постоянная полная энергия, $k_{\alpha}$ – ковариантный вектор

кривизны в $V_{N+1}$ для $x^{0}=t, X_{l}$-компонента обобщенной силь, и
\[
X_{0}=-X_{i} \frac{d x^{i}}{d t} .
\]

По аналогии с теорией относительности Горак (Horak) [8] предложил также линейный элемент
\[
d s^{2}=c^{-2}\left[a_{i j} d x^{l} d x^{\prime}+c^{2}(1-2 \tau) d t^{2}\right],
\]

где $c$ – постоянная, а
\[
\tau=T i c^{2}
\]

выражено как функция от $t$; тогда для каждого движения $d s=d t$. Впрочем, ценность этого последнего линейного элемента несколько сомнительна, так как мы можем выразить $T$ как функцию от $t$ лишь после того, как движение становится известным.