\[
d s^{2}=(E-V) a_{i j} d x^{i} d x .
\]

a) Уравнения движения. Форма, которую дал Якоби для принципа наименьшего действия, выражает собой тот факт, что траектория консервативной склерономной голономной системы является геодезической линией в многообразии конфигураций с линейным элементом действия. Уравнения движения будут иметь, следовательно, вид:
\[
\frac{\delta^{2} x^{t}}{\delta s^{2}}=0 .
\]

Если исключить то обстоятельство, что линейный элемент действия не всегда будет положительно определенным во всем многообразии конфигураций (хотя это несомненно имеет место в той области, которая соответствует движению системы), все же исследование движения консервативной системы с линейным элементом действия содержит в себе глубокое сходство с изучением движения соответствующей системы с кинематическим линейным элементом, не находящимся под воздействием сил, так как траектория, соответствующая движению без воздействия сил, представляет собой геодезическую линию кинематического линейного элемента. В силу этих соображений мы лишь бегло коснемся случая линейного элемента действия.

b) Устойчивость ${ }^{1}$ ). При использовании линейного элемента действия изучение устойчивости движения совпадает с изучением отклонения геодезического смещения в римановом пространстве. Как было уже замечено, это исследование может быть рассмотрено как частный случай проведенного в § 3 рассуждения; основное уравнение для соответствия по нормали имеет вид:
\[
\frac{\delta 2 \xi l}{\delta s^{2}}+R_{, j k l}^{l} \lambda^{j} \xi^{k} \lambda^{l}=0,
\]

где $\xi^{t}$ – бесконечно малый вектор смещения, $\lambda^{t}$ – единичныи касательный вектор невозмущенной траектории, а $R_{. j k l}^{i}$ тензор кривизны, вычисленный, разумеется, для линейного эле-

мента действия. Для длины $\varepsilon$ вектора смещения будем иметь уравнение
\[
\frac{d^{2} s}{d s^{2}}+\xi\left(K-\frac{\delta \mu_{i}}{\delta s} \frac{\delta \mu^{i}}{\delta s}\right)=0,
\]

где $K$-риманова кривизна для элементарной площадки, определенной векторами $\xi^{i}$ и $\lambda^{i}$, а $\mu^{i}$ – единичный вектор направления $\xi$. Что именно следует понимать под словом „устойчивость\”, представляет собой вопрос определения, связанный с физическими соображениями. Представляется желательным, тем не менее, чтобы мы могли утверждать, что имеет место неустойчивость в случае, если $K$ отрицательно для площадок всех возможных ориентаций. В то же время положительность $K$ для всех ориентаций оставляет еще сомнительным вопрос о наличии устойчивости. Вопрос об устойчивости становится определенным в случае установившегося движения ${ }^{1}$ ), соответственным образом определенного, так как в этом случае мы имеем дело с уравнениями с постоянными коэффициентами.