$$d{s}^2=(E-V)a_{ij}d{x}^{i}dx.$$

a) Уравнения движения. Форма, которую дал Якоби для принципа наименьшего действия, выражает собой тот факт, что траектория консервативной склерономной голономной системы является геодезической линией в многообразии конфигураций с линейным элементом действия. Уравнения движения будут иметь, следовательно, вид:
$$\frac{{\delta }^2{x}^t}{\delta s^2}=0.$$

Если исключить то обстоятельство, что линейный элемент действия не всегда будет положительно определенным во всем многообразии конфигураций (хотя это несомненно имеет место в той области, которая соответствует движению системы), все же исследование движения консервативной системы с линейным элементом действия содержит в себе глубокое сходство с изучением движения соответствующей системы с кинематическим линейным элементом, не находящимся под воздействием сил, так как траектория, соответствующая движению без воздействия сил, представляет собой геодезическую линию кинематического линейного элемента. В силу этих соображений мы лишь бегло коснемся случая линейного элемента действия.

b) Устойчивость ${}^1$ ). При использовании линейного элемента действия изучение устойчивости движения совпадает с изучением отклонения геодезического смещения в римановом пространстве. Как было уже замечено, это исследование может быть рассмотрено как частный случай проведенного в § 3 рассуждения; основное уравнение для соответствия по нормали имеет вид:
$$\frac{\delta 2\xi l}{\delta s^2}+R_{,jkl}^l{\lambda }^j{\xi }^k{\lambda }^l=0,$$

где ${\xi }^t$ — бесконечно малый вектор смещения, ${\lambda }^t$ — единичныи касательный вектор невозмущенной траектории, а $R_{.jkl}^i$ тензор кривизны, вычисленный, разумеется, для линейного эле-

мента действия. Для длины $\epsilon$ вектора смещения будем иметь уравнение
$$\frac{d^{2}s}{d{s}^2}+\xi (K-\frac{\delta {\mu }_i}{\delta s}\frac{\delta {\mu }^i}{\delta s})=0,$$

где $K$-риманова кривизна для элементарной площадки, определенной векторами ${\xi }^i$ и ${\lambda }^i$, а ${\mu }^i$ — единичный вектор направления $\xi$. Что именно следует понимать под словом „устойчивость\», представляет собой вопрос определения, связанный с физическими соображениями. Представляется желательным, тем не менее, чтобы мы могли утверждать, что имеет место неустойчивость в случае, если $K$ отрицательно для площадок всех возможных ориентаций. В то же время положительность $K$ для всех ориентаций оставляет еще сомнительным вопрос о наличии устойчивости. Вопрос об устойчивости становится определенным в случае установившегося движения ${}^1$ ), соответственным образом определенного, так как в этом случае мы имеем дело с уравнениями с постоянными коэффициентами.