Аналогия между многообразием конфигураций и времени, с одной стороны, и пространственно-временным многообразием теории относительности – с другой, побуждает нас перейти к общей системе координат $\bar{x}^{0}, \bar{x}^{t}$, определяемой формулами:
\[
\begin{array}{l}
\bar{x}^{0}=f^{0}\left(x^{1}, x^{2}, \ldots, x^{N}, t\right), \\
\bar{x}^{t}=f^{i}\left(x^{1}, x^{2}, \ldots, x^{N}, t\right) .
\end{array}
\]

При таком преобразовании время перестает быть привилегированной координатой в многообразии. Это сделано в работах Горака (Horak) [7], [8], которые содержат также переход к

квази-координатам. Имея, однако, в виду то обстоятельство, что в классической динамике, с которой мы сейчас имеем дело, временная координата действительно имеет привилегированное значение, представляется целесообразным воздержаться от вышеуказанного преобразования. Мы предпочтем метод Вундхейлера (Wundheiler) [3], оставляющий время на особом положенни.

Мы скажем несколько слов о методе Вундхейлера и предложим некоторую его модификацию, дающую значительные упрощения без нарушения общности – в том объеме, по крайней мере, какой требуется для рассматриваемых нами систем. Метод Вундхейлера изложен также у Вранчеану (Vranceanu) [16].

Мы рассмотрим реономную систему с кинетической энергией:
\[
T=\frac{1}{2} a_{i j}(x, t) \dot{x}^{i} \dot{x}^{j}+a_{i}(x, t) \dot{x}^{t}+\frac{1}{2} A(x, t) .
\]

Обозначим многообразие конфигураций и времени через $V_{N+1}$. $T$ определяет инвариантный линейный элемент в $V_{N+1}$,
\[
\begin{aligned}
d s^{2}=2 T d t^{2}=a_{i j}(x, t) d x^{i} d x^{j} & +2 \alpha_{i}(x, t) d x^{t} d t+ \\
& +A(x, t) d t^{2} .
\end{aligned}
\]

Уравнение $t=$ const определяет однопараметрическое семейство привилегированных поверхностей $V_{i v}(t)$ в $V_{N+1}$. Таким образом, движение системы может быть рассматриваемо либо как некоторая кривая в $V_{N+1}$, либо как движение точки в деформируемом пространстве $V_{N}{ }^{(t)}$ с линейным элементом
\[
d \sigma^{2}=a_{i j}(x, t) d x^{i} d x^{j} .
\]

Теорию таких деформируемых пространств Вундхейлер называет \”реономной геометрией“. Динамическая проблема приводится, таким образом, к обобщению задачи о движении точки по поверхности, форма которой меняется со временем. Вундх йле е считает, что невозможно идентифицировать точки на поверхности после преобразования, и исследует поэтому инвариантность уравнений относительно общего преобразования вида:
\[
\bar{x}^{i}=f^{i}\left(x^{1}, x^{2}, \ldots, x^{N}, t\right) .
\]

Так как это преобразование содержит параметр $t$, то возникает. необходимость в модификации обычного тензорного аппарата; назовем, следуя Вундхейлеру, некоторый объект „сильным“ тензором, если он подчиняется обычным формальным законам

тензорного преобразования, например:
\[
\bar{X}^{t}=X^{j} \frac{\partial \bar{x}^{t}}{\partial x^{j}} .
\]

Так как
\[
\overline{d x^{t}}=\frac{\partial \bar{x}^{i}}{\partial x^{j}} d x^{j}+\frac{\partial \bar{x}^{i}}{\partial t} d t,
\]

то $d x^{t}$ не является сильным тензором, но
\[
v_{i}=\frac{\partial T}{\partial \dot{x}^{i}}=a_{i} \dot{x}^{j}+a_{i}
\]

является сильным тензором.
Вундхейлеру удается придать уравнениям движения, также и в случае неголономной системы, форму равенств, свизывающих сильные тензоры. Он, однако, ошибается, полагая, что нет возможности идентифицировать точки поверхности после деформации. Линейный элемент (7.3) определяет абсолютную ортогональность в $V_{N+1}$, и, следовательно, ортогональные траектории в $V_{N}(t)$ имеют абсолютный смысл. Выберем их в качестве параметрических линий $t$. Тогда в $T$ исчезнут члены, содержащие $a_{i}$, и мы получим, не теряя общности, что
\[
\left\{\begin{aligned}
T & =\frac{1}{2} a_{i j}(x, t) \dot{x}^{l} \dot{x}^{j}+\frac{1}{2} A(x, t), \\
d s^{2} & =a_{i j}(x, t) d x^{t} d x^{j}+A(x, t) d t^{2} .
\end{aligned}\right.
\]

Координаты $x^{i}$ могут быть произвольно выбраны в $V_{N}(0)$ : таким образом, мы получаем инвариантность лишь относительно преобразований
\[
\bar{x}^{l}=f^{i}\left(x^{1}, x^{2}, \ldots x^{N}\right),
\]

не содержащих никакого параметра. A является инвариантом, и мы должны рассматривать теперь деформируемую поверхность $V_{N}(t$, на которой
\[
d \sigma^{2}=a_{i j}(x, t) d x^{t^{t}} d x^{t} .
\]

В дальнейшем исчезает необходимость говорить о сильных тензорах. Тем не менее, вследствие зависимости фундаментального тензора $a_{i j}$ от времени необходимо некоторое изменение тензорного аппарата. Заметим, что если $S$ есть тензорное поле, то $\partial S / \partial t$ также является тензорным полем. Обычное определение ковариантной производной сохраняется, например:
\[
D_{j} S^{t}=\frac{\partial S^{t}}{\partial x^{j}}+\left\{\begin{array}{l}
i \\
j k
\end{array}\right\} S^{\boldsymbol{k}}, \quad D_{k} a_{i i}=0 .
\]

Сохраняется также формула для абсолютной производной вдоль кривой $x^{i}=x^{i}(u)$, например:
\[
\frac{\delta S t}{\delta u}=\frac{d S i}{d u}+\left\{\begin{array}{l}
i \\
j k
\end{array}\right\} S^{j} \frac{d x^{k}}{d u} .
\]

Однако для абсолютной производной тензорного поля мы получаем, например,
\[
\frac{\delta S t}{\delta u}=\left(D_{j} S^{i}\right) \frac{d x J}{d u}+\frac{\partial S i}{\partial t} \frac{d t}{d u} .
\]

Недостаток места не позволяет входить здесь в детали. Я укажу только, что для голономной системы уравнения движения
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{x}^{i}}-\frac{\partial T}{\partial x^{i}}=X_{i}
\]

сводятся сразу к тензорной форме:
\[
\frac{\delta v^{i}}{\partial t}=X^{t}-b_{\cdot, j}^{i} v^{j}+\frac{1}{2} A^{t}
\]

где
\[
X^{t}=a^{i j} X_{j}, \quad b_{j}^{i}=a^{l k} \frac{\delta a_{j k}}{\partial t}, \quad A^{t}=a^{i j} \frac{\delta A}{\partial x^{j}}, \quad v^{t}=\frac{d x^{t}}{d t} .
\]