Рассмотрим уравнения
\[
d y^{a}=\varphi_{i}^{a}(x) d x^{t}
\]

с отличным от нуля детерминаятом $\left|\varphi_{i}^{\alpha}\right|$. Эти уравнения тогда и только тогда определяют величины $y^{a}$ как функции от $x^{i}$ (с точностью до постоянных слагаемых), когда правые части уравнений представляют собой полные диференциалы. В общем случае $d y^{\alpha}$ определены как функции от $x^{i}$ и $d x^{i}$, и если мы хотим найти функции $y^{a}$ от $x^{i}$, удовлетворяющие нашим уравнениям, то мы можем достичь этого, только выбрав некоторую конгруенцию кривых и интегрируя (9.1) вдоль этой конгруенции. Тогда каждое из соотношений (9.1) будет удовлетворяться только для перемещений вдоль линий конгруенции.

Для защиты от соблазна усмотреть в записи уравнения больше, чем там заключено, в теории пфаффовых форм принято, во избежание ошибок, записывать уравнение (9.1) в виде:
\[
\omega_{d}^{a}=\varphi_{i}^{a} d x^{i} .
\]

Это выражение уже не дает повода думать, что мы имеем дело с диференциалами функций $y^{x}$. Однако в теории квази-координат в динамике стоит, подвергая себя этой опасности, употреблять все же обозначения (9.1). Иначе мы были бы лишены

очень ясного формального выражения для уравнений движения. В (9.1) $x^{i}$ являются координатами динамической системы, a $d y^{a}$ диференцилами неголономных координат, или же параметрами. Мы никогда не будем опускать слово .диференциалы\” или какое-либо эквивалентное ему выражение, так как квази-координаты или неголономные координаты не существуют в том общем случае, когда $\varphi_{i}^{a} d x^{i}$ не являются полными диференциалами. $\mathrm{K}$ сожалению, эти благие намерения должны быть иногда принесены в жертву краткости, как это сделано, например, в заголовке этой главы. У Больцмана (Bolzmann) [1] в 1902 г, и в содержатся утверждения, обнаруживающие неполное понимание этих обстоятельств, хотя, впрочем, эти утверждения не ведут к каким-либо незаконным аналитическим заключениям.

В заключение могу только сказать, что тот, кто хочет избежать опасности этих скользких рассуждений, может отказаться от использования квази-координат и рассматривать локальные системы референции. При этом, однако, теряется некоторая формальная простота.

Мы будем попрежнему считать, что латинские индексы пробегают значения $1,2, \ldots N$, но теперь мы разделим их на две группы:
\[
a, b, c, \ldots ; \quad i, j, k, \ldots \text {; }
\]

первая группа будет служить индексами квази-координат, а вторая группа – индексами истинных координат $x^{t}$. Мы выиграем в формальной простоте, если для диференциалов квази-координат ${ }^{2}$ ) будем теперь писать $d x^{a}$ вместо $d y^{a}$; тогда уравнения (9.1) запишутся так:
\[
d x^{a}=\varphi_{i}^{a} d x^{l},
\]
$\varphi_{i}^{a}$ являются, разумеется, функциями от $x^{l}$ (а не от $x^{a}$, которые

не существуют). Из этих уравнений получаем:
\[
d x^{t}=\varphi_{a}^{i} d x^{a},
\]

где
\[
\varphi_{i}^{a} \varphi_{b}^{l}=\delta_{b}^{n}, \quad \varphi_{i}^{a} \varphi_{a}^{\prime}=\delta_{i}^{\prime} .
\]

Уравнения (9.3) и (9.4) наталкивают на мысль распространить на неинтегрируемый случай определения, обоснованные для интегрируемого случая. Так, мы полагаем:
\[
\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{a}}=\varphi_{a}^{t}, \quad \frac{\partial x^{a}}{\partial x^{t}}=\varphi_{i}^{a},
\]

и, вообще
\[
\frac{\partial}{\partial x^{a}}=\varphi_{a}^{i} \frac{\partial}{\partial x^{i}},
\]

из чего следует, что
\[
\frac{\partial}{\partial x^{i}}=\varphi_{i}^{a} \frac{\partial}{\partial x^{a}} .
\]

Если мы сделаем преобразование истинных координат, при котором $x^{t}$ перейдут в $\bar{x}^{i}$ (преобразования первого рода), то (9.3) принимают следующий вид:
\[
d x^{a}=\bar{\varphi}_{i}^{a} d \overline{d x^{t}}, \quad \bar{\varphi}_{i}^{a}=\varphi_{j}^{a} \frac{\partial x^{J}}{\partial \bar{x}^{i}} .
\]

Таким образом, при таких преобразованиях $\varphi_{a}^{l}$ преобразуются как координаты ковариантного вектора (с индексом $i$ ).

С другой стороны, если мы выполним ,преобразование квази-координат\”, полагая
\[
\left\{\begin{array}{l}
d x^{a}=A_{b}^{a} \tilde{d x}, \quad \dot{d} \tilde{x}^{a}=\tilde{A}_{b}^{a} d x^{b}, \\
A_{b}^{a} \tilde{A}_{c}^{b}=\delta_{c}^{a}, \quad A_{a}^{b} \tilde{A}_{b}^{c}=\tilde{\delta}_{a}^{c},
\end{array}\right.
\]
(преобразования второго рода), мы получим, согласно (9.3), что
\[
\tilde{d x}^{a}=\tilde{\varphi}_{i}^{a} d x^{l}, \quad \tilde{\varphi}_{i}^{a}=\tilde{A}_{b}^{a} \varphi_{i}^{b}
\]

Если ввести естественно возникающие в связи с (9.10) обозначения
\[
\frac{\partial x^{a}}{\partial \tilde{x}^{b}}=A_{b}^{a}, \quad \frac{\partial \tilde{x}^{a}}{\partial x^{b}}=\tilde{A}_{b}^{a},
\]

то мы получим
\[
\tilde{\varphi}_{i}^{a}=\varphi_{i}^{b} \frac{\partial \tilde{x}^{a}}{\partial x^{b}},
\]

и мы можем сказать, что при таких преобразованиях $\varphi_{i}^{a}$ преобразуются как координаты контравариантного вектора (с индексом $a$ ). Из этого следует, что по отношению к преобразованиям обоего рода $\varphi_{a}^{i}$ также имеет тензорный характер, определяемый положением индексов.

В последующем изложении мы рассмотрим тензорный характер не только по отношению к преобразованиям, связанным с индексами $i, j, k, \ldots$, но и по отношению к преобразованиям, связанным с индексами $a, b, c \ldots$

Величины с индексами $i, j, k \ldots$, а также $\varphi_{i}^{a}$ мы считаем определенными. Другие величины с индексами $a, b, c \ldots$ мы определим через предшествующие. Так, например, (9.3) можно рассматривать как соотношения, определяющие $d x^{a}$, а (9.5)как соотношения, определяющие $\varphi_{a}^{i}$. Мы установим общее правило для определения тензоров с индексами $a, b, c, \ldots$ через тензоры с индексами $i, j, k, \ldots$ Это правило достаточно очевидно для некоторых частных случаев. Так, например, если $\mathcal{S}^{t}$, $T_{i}, U_{j}^{i}$ являются тензорами относительно преобразований первого рода, то мы определяем
(9.14) $\quad S^{a}=\varphi_{i}^{a} \mathcal{S}^{i}, T_{a}=\varphi_{i}^{i} T_{i}, \quad U_{b}^{a}=\varphi_{i}^{a} \varphi_{b}^{j} U_{j}^{i}$.

Ясно, что $S^{a}, T_{a}, U_{b}^{a}$ будут инвариантами по отношению к преобразованиям первого рода и будут иметь тензорный характер по отношению к преобразованиям второго рода. В частности, с помощью фундаментального тензора $a_{i j}$ мы определяем величины
\[
a_{a b}=a_{i j} \varphi_{a}^{i}{ }_{b}^{j},
\]
– „компоненты фундаментального тензора для квази-координат“. Таким образом,
(9.16) $\quad d s^{2}=a_{i j} d x^{l} d x^{j}=a_{a b} d x^{a} d x^{b}$.

Точно так же мы определим:
\[
a^{a b}=a^{i j} \varphi_{i}^{a}{ }_{\dagger j}^{b}
\]

и проверим, что
\[
a^{a b} a_{a c}=\delta_{c}^{b} .
\]

Операцию опускания и поднимания индексов мы определяем для истинных координат так, как это делают обычно, и проверяем

затем ее применимость для квази-координат. Так, например, по определению
(9.19) $\quad S_{i}=a_{i j} S^{j}, \quad S_{a}=\varphi_{a}^{i} S_{i}, S^{a}=\varphi_{i}^{a} S^{i}$,

и, следовательно,
\[
S_{a}=a_{i j} \varphi_{a}^{t} S^{\prime}=a_{i j} \varphi_{a}^{t} \varphi_{b}^{j} S^{b}=a_{a b} S^{b} .
\]

Следуя правилу (9.14), мы определяем
\[
\begin{aligned}
\frac{\delta v a}{\delta t} & =\varphi_{i}^{a} \frac{\delta v^{i}}{\delta t}= \\
& =\varphi_{i}^{a} \frac{d v^{i}}{d t}+\varphi_{i}^{a}\left\{\begin{array}{c}
i \\
j k
\end{array}\right\} v^{j} v^{k}= \\
& =\frac{d v^{a}}{d t}+\Gamma_{b c}^{a} v^{b} v^{c},
\end{aligned}
\]

где
(9.22) $\Gamma_{b c}^{a}=\Gamma_{c b}^{a}=\left\{\begin{array}{l}i \\ j k\end{array}\right\} \varphi_{i}^{a} \varphi_{b}^{j} \varphi_{c}^{k}-\frac{1}{2} \varphi_{b}^{j} \varphi_{c}^{k}\left(\partial_{j} \varphi_{k}^{a}+\partial_{k} \varphi_{j}^{a}\right)$,
\[
\partial_{j}=\frac{\partial}{\partial x^{j}} \text {. }
\]

Уравнения движения (3.12) для с. г. динамической системы под действием сил $X^{i}$ могут быть, следовательно, записаны с помощью квази-координат в следующей форме:
\[
\frac{\delta v^{a}}{\delta t}=X^{a}, \quad \frac{d x^{a}}{d t} \equiv \varphi_{i}^{a} \frac{d x^{t}}{d t}=v^{a} .
\]

Мы имеем здесь $2 N$ уравнений первого порядка относительно $v^{a}$ и $x^{l}$. Первая из этих систем не состоит, как это может казаться, из $N$ уравнений второго порядка с неизвестными $x^{a}$, так как $x^{i}$ будут в общем случае входить в $\Gamma_{b c}^{a}$ и $X^{a}$. В некоторых случаях, однако, как, например, для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки без воздействия сил, квази-координаты могут быть выбраны так, что $\Gamma_{b c}^{a}$ и $X^{a}$ становятсся постоянными. Тогда мы можем рассматривать первую систему в (9.23) как систему $N$ уравнений первого порядка относительно $v^{a}$ или как систему $N$ уравнений второго порядка относительно $x^{a}$, в предположении, что
\[
x^{a}=\int d x^{a}=\int \varphi_{i}^{a} d x^{t} .
\]

В этой формуле интегралы берутся вдоль траектории.

Определяя
(9.25) $\left\{\begin{array}{l}{[b c, d]=\frac{1}{2}\left(\partial_{b} a_{c t}+\partial_{c} a_{b d}-\partial_{d} a_{b c}\right), \quad \partial_{b}=\frac{\partial}{\partial x^{b}} .} \\ \left\{\begin{array}{l}a \\ b c\end{array}\right\}=a^{a d}[b c, d],\end{array}\right.$

мы можем также следующим образом выразить $\Gamma_{b c}^{a}$ :
(9.26) $\quad \Gamma_{b c}^{a}=\left\{\begin{array}{c}a \\ b c\end{array}\right\}+\frac{1}{2} a^{a d} \varphi_{d}^{k}\left(a_{b e} \varphi_{c}^{j}+a_{c e} \varphi_{b}^{j}\right)\left(\partial_{j} \varphi_{k}^{e}-\partial_{k} \varphi_{j}^{b}\right)$.

Если рассматривается неголономная система, то для истинных коордикат уравнения движения имеют вид (4.4); эти уравнения, как и в предыдущем случае, можно преобразовать к такой форме:
\[
\frac{\delta v a}{\delta t}=X^{a}+Y^{a} \text {. }
\]

Пусть имеется $M$ связей; пусть индексы, соответствующие квазикоординатам, разбиты на две группы:
(9.28) $\alpha, \beta, \gamma, \ldots=1^{\prime}, 2^{\prime}, \ldots M^{\prime} ; \mu,
u, p \ldots=(M+1)^{\prime}, \ldots N^{\prime}$.

В каждой точке связи определяют векторное пространство движения $E_{N-M}^{\prime}$; пусть $E_{M}$ векторное пространство, ортогональное к $E_{N-M}^{\prime}$. Существуют такие величины $\varphi_{\mu}^{i}$, что для произвольного $d x^{\mu}$ смещение
\[
d x^{i}=\varphi_{\mu}^{i} d x^{\mu}
\]

лежит в $E_{N-M}^{\prime}$, и существуют величины $\Phi_{x}^{i}$ такие, что для произвольного $d x^{\alpha}$ смещение
\[
d x^{i}=\varphi_{\alpha}^{i} d x^{\alpha}
\]

лежит в $E_{M}$. Всякое смещение $d x^{i}$ в $V_{N}$ может быть представлено, как сумма смецений в $E_{M}$ и $E_{N-M}^{\prime}$, так что мы можем написать
\[
d x^{i}=\varphi_{\alpha}^{i} d x^{\alpha}+\varphi_{\mu}^{i} d x^{\mu}=\varphi_{\alpha}^{i} d x^{a} .
\]

Решение этого уравнения дается формулой
\[
d x^{a}=\varphi_{i}^{a} d x^{i},
\]

в предположении, что выполняются соотношения (9.5). Мы рассматриваем $d x^{a}$ как диференциалы квази-координат.
Для всякого движення, удовлетворяющего связям, получим
\[
v^{\alpha}=\frac{d x^{\alpha}}{d t}=0,
\]

и в силу того, что, как мы установили раньше, реакции $Y^{t}$ лежат в $E_{M}$, получаем
\[
Y^{\mu}=0 .
\]

Таким образом, если мы выделим из (9.27) уравнения, соответствующие значениям $a$, равным $(M+1)^{\prime}, \ldots N^{\prime}$, то мы получим, что
\[
\frac{\delta v^{\mu}}{\delta t}=X^{\mu},
\]

где
\[
\frac{\delta v^{\mu}}{\partial t}=\frac{d v^{\mu}}{d t}+\Gamma_{v \rho}^{\mu} v^{v} v^{\rho}
\]

представляют собой уравнения движения неголономной системы, записанные в квази-координатах. Число входящих в них компонент скорости равно числу степеней свободы ( $N-M$ ), но, разумеется, $\Gamma_{
u p}^{\mu}$ могут содержать полную систему всех $N$ координат.

Я не сомневаюсь, что вывод вышеуказанных соотношений покажется некоторым читателям лишь простым жонглированием символами. Этот критицизм полезен, и я испытываю к нему известную симпатию. В то же время, однако, поиски наиболее компактных и плодотворных обозначений имели притягательный интерес для многих математиков. История математики показывает, что время, затраченное на такую работу, не пропадает напрасно.