Главная > ТЕНЗОРНЫЕ МЕТОДЫ В ДИНАМИКЕ (Дж.Л.Синдж)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Рассмотрим уравнения
dya=φia(x)dxt

с отличным от нуля детерминаятом |φiα|. Эти уравнения тогда и только тогда определяют величины ya как функции от xi (с точностью до постоянных слагаемых), когда правые части уравнений представляют собой полные диференциалы. В общем случае dyα определены как функции от xi и dxi, и если мы хотим найти функции ya от xi, удовлетворяющие нашим уравнениям, то мы можем достичь этого, только выбрав некоторую конгруенцию кривых и интегрируя (9.1) вдоль этой конгруенции. Тогда каждое из соотношений (9.1) будет удовлетворяться только для перемещений вдоль линий конгруенции.

Для защиты от соблазна усмотреть в записи уравнения больше, чем там заключено, в теории пфаффовых форм принято, во избежание ошибок, записывать уравнение (9.1) в виде:
ωda=φiadxi.

Это выражение уже не дает повода думать, что мы имеем дело с диференциалами функций yx. Однако в теории квази-координат в динамике стоит, подвергая себя этой опасности, употреблять все же обозначения (9.1). Иначе мы были бы лишены

очень ясного формального выражения для уравнений движения. В (9.1) xi являются координатами динамической системы, a dya диференцилами неголономных координат, или же параметрами. Мы никогда не будем опускать слово .диференциалы\» или какое-либо эквивалентное ему выражение, так как квази-координаты или неголономные координаты не существуют в том общем случае, когда φiadxi не являются полными диференциалами. K сожалению, эти благие намерения должны быть иногда принесены в жертву краткости, как это сделано, например, в заголовке этой главы. У Больцмана (Bolzmann) [1] в 1902 г, и в содержатся утверждения, обнаруживающие неполное понимание этих обстоятельств, хотя, впрочем, эти утверждения не ведут к каким-либо незаконным аналитическим заключениям.

В заключение могу только сказать, что тот, кто хочет избежать опасности этих скользких рассуждений, может отказаться от использования квази-координат и рассматривать локальные системы референции. При этом, однако, теряется некоторая формальная простота.

Мы будем попрежнему считать, что латинские индексы пробегают значения 1,2,N, но теперь мы разделим их на две группы:
a,b,c,;i,j,k,

первая группа будет служить индексами квази-координат, а вторая группа — индексами истинных координат xt. Мы выиграем в формальной простоте, если для диференциалов квази-координат 2 ) будем теперь писать dxa вместо dya; тогда уравнения (9.1) запишутся так:
dxa=φiadxl,
φia являются, разумеется, функциями от xl (а не от xa, которые

не существуют). Из этих уравнений получаем:
dxt=φaidxa,

где
φiaφbl=δbn,φiaφa=δi.

Уравнения (9.3) и (9.4) наталкивают на мысль распространить на неинтегрируемый случай определения, обоснованные для интегрируемого случая. Так, мы полагаем:
xixa=φat,xaxt=φia,

и, вообще
xa=φaixi,

из чего следует, что
xi=φiaxa.

Если мы сделаем преобразование истинных координат, при котором xt перейдут в x¯i (преобразования первого рода), то (9.3) принимают следующий вид:
dxa=φ¯iaddxt,φ¯ia=φjaxJx¯i.

Таким образом, при таких преобразованиях φal преобразуются как координаты ковариантного вектора (с индексом i ).

С другой стороны, если мы выполним ,преобразование квази-координат\», полагая
{dxa=Abadx~,d˙x~a=A~badxb,AbaA~cb=δca,AabA~bc=δ~ac,
(преобразования второго рода), мы получим, согласно (9.3), что
dx~a=φ~iadxl,φ~ia=A~baφib

Если ввести естественно возникающие в связи с (9.10) обозначения
xax~b=Aba,x~axb=A~ba,

то мы получим
φ~ia=φibx~axb,

и мы можем сказать, что при таких преобразованиях φia преобразуются как координаты контравариантного вектора (с индексом a ). Из этого следует, что по отношению к преобразованиям обоего рода φai также имеет тензорный характер, определяемый положением индексов.

В последующем изложении мы рассмотрим тензорный характер не только по отношению к преобразованиям, связанным с индексами i,j,k,, но и по отношению к преобразованиям, связанным с индексами a,b,c

Величины с индексами i,j,k, а также φia мы считаем определенными. Другие величины с индексами a,b,c мы определим через предшествующие. Так, например, (9.3) можно рассматривать как соотношения, определяющие dxa, а (9.5)как соотношения, определяющие φai. Мы установим общее правило для определения тензоров с индексами a,b,c, через тензоры с индексами i,j,k, Это правило достаточно очевидно для некоторых частных случаев. Так, например, если St, Ti,Uji являются тензорами относительно преобразований первого рода, то мы определяем
(9.14) Sa=φiaSi,Ta=φiiTi,Uba=φiaφbjUji.

Ясно, что Sa,Ta,Uba будут инвариантами по отношению к преобразованиям первого рода и будут иметь тензорный характер по отношению к преобразованиям второго рода. В частности, с помощью фундаментального тензора aij мы определяем величины
aab=aijφaibj,
— „компоненты фундаментального тензора для квази-координат“. Таким образом,
(9.16) ds2=aijdxldxj=aabdxadxb.

Точно так же мы определим:
aab=aijφiajb

и проверим, что
aabaac=δcb.

Операцию опускания и поднимания индексов мы определяем для истинных координат так, как это делают обычно, и проверяем

затем ее применимость для квази-координат. Так, например, по определению
(9.19) Si=aijSj,Sa=φaiSi,Sa=φiaSi,

и, следовательно,
Sa=aijφatS=aijφatφbjSb=aabSb.

Следуя правилу (9.14), мы определяем
δvaδt=φiaδviδt==φiadvidt+φia{ijk}vjvk==dvadt+Γbcavbvc,

где
(9.22) Γbca=Γcba={ijk}φiaφbjφck12φbjφck(jφka+kφja),
j=xj

Уравнения движения (3.12) для с. г. динамической системы под действием сил Xi могут быть, следовательно, записаны с помощью квази-координат в следующей форме:
δvaδt=Xa,dxadtφiadxtdt=va.

Мы имеем здесь 2N уравнений первого порядка относительно va и xl. Первая из этих систем не состоит, как это может казаться, из N уравнений второго порядка с неизвестными xa, так как xi будут в общем случае входить в Γbca и Xa. В некоторых случаях, однако, как, например, для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки без воздействия сил, квази-координаты могут быть выбраны так, что Γbca и Xa становятсся постоянными. Тогда мы можем рассматривать первую систему в (9.23) как систему N уравнений первого порядка относительно va или как систему N уравнений второго порядка относительно xa, в предположении, что
xa=dxa=φiadxt.

В этой формуле интегралы берутся вдоль траектории.

Определяя
(9.25) {[bc,d]=12(bact+cabddabc),b=xb.{abc}=aad[bc,d],

мы можем также следующим образом выразить Γbca :
(9.26) Γbca={abc}+12aadφdk(abeφcj+aceφbj)(jφkekφjb).

Если рассматривается неголономная система, то для истинных коордикат уравнения движения имеют вид (4.4); эти уравнения, как и в предыдущем случае, можно преобразовать к такой форме:
δvaδt=Xa+Ya

Пусть имеется M связей; пусть индексы, соответствующие квазикоординатам, разбиты на две группы:
(9.28) α,β,γ,=1,2,M;μ,u,p=(M+1),N.

В каждой точке связи определяют векторное пространство движения ENM; пусть EM векторное пространство, ортогональное к ENM. Существуют такие величины φμi, что для произвольного dxμ смещение
dxi=φμidxμ

лежит в ENM, и существуют величины Φxi такие, что для произвольного dxα смещение
dxi=φαidxα

лежит в EM. Всякое смещение dxi в VN может быть представлено, как сумма смецений в EM и ENM, так что мы можем написать
dxi=φαidxα+φμidxμ=φαidxa.

Решение этого уравнения дается формулой
dxa=φiadxi,

в предположении, что выполняются соотношения (9.5). Мы рассматриваем dxa как диференциалы квази-координат.
Для всякого движення, удовлетворяющего связям, получим
vα=dxαdt=0,

и в силу того, что, как мы установили раньше, реакции Yt лежат в EM, получаем
Yμ=0.

Таким образом, если мы выделим из (9.27) уравнения, соответствующие значениям a, равным (M+1),N, то мы получим, что
δvμδt=Xμ,

где
δvμt=dvμdt+Γvρμvvvρ

представляют собой уравнения движения неголономной системы, записанные в квази-координатах. Число входящих в них компонент скорости равно числу степеней свободы ( NM ), но, разумеется, Γupμ могут содержать полную систему всех N координат.

Я не сомневаюсь, что вывод вышеуказанных соотношений покажется некоторым читателям лишь простым жонглированием символами. Этот критицизм полезен, и я испытываю к нему известную симпатию. В то же время, однако, поиски наиболее компактных и плодотворных обозначений имели притягательный интерес для многих математиков. История математики показывает, что время, затраченное на такую работу, не пропадает напрасно.

1
email@scask.ru