\[
d s^{2}=(E-V) a_{i j} d x^{i} d x^{j} .
\]
a) Уравнения движения ${ }^{2}$ ). В силу неголономности связей траектории не будут в этом случае геодезическими многообразия конфигураций. Общие соображения вариационного исчисления приводят нас к исследованию двух типов кривых: 1) кривых, удовлетворяющих связям и имеющих экстремальную длину для вариаций, которые удовлетворяют связям; 2) кривых, удовлетворяющих связям и имеющих экстремальную длину по сравнению с близлежащими кривыми, также удовлетворяющими связям. Эти два типа кривых были хорошо знакомы Герцу (Hertz)[1] и были недавно изучены Франклином и М уром (Franklin and Moore) [1]. На основании принципа наименьшего действия в форме Якоби, приложенного к системам со связями, можно утверждать, чго динамические траектории являются кривыми именно первого, а не второго типа.

Мы видели, что первая нормаль к траектории лежит в векторном пространстве $E_{M}$, порожденном векторами связи, и, следовательно, по соображениям, подобным тем, которые были

изложены в §4, а, уравнения движения могут быть записаны в таком виде:
\[
\frac{\partial^{\prime} \lambda^{i}}{\delta^{\prime} s} \equiv \frac{d \lambda^{l}}{d s}+\Gamma_{j k}^{i} \lambda^{j} \lambda^{k}=0,
\]

где
\[
\Gamma_{j k}^{i}=\left\{\begin{array}{l}
i \\
j k
\end{array}\right\}+\frac{1}{2} \Phi_{(\alpha)}^{i}\left(\Phi_{(\alpha) j k}+\Phi_{(\alpha)_{k j}}\right) .
\]
$\lambda^{i}$ означает здесь единичный касательный вектор, а $\Phi_{(\alpha)}^{i}$ – единичные ортогональные векторы связи.

b) Принцип наименьшей кривизны ${ }^{1}$ ). Здесь имеет место теорема о наименьшей кривизне, такая же, как в 4 , b, с тем лишь изменением, что свободная траектория $C$ становится теперь просто геодезической, так что относительные кривизны $k^{\prime}, k^{\prime \prime}$ заменяются здесь абсолютными. Едва ли нужно напоминать, что при употреблении линейного элемента действия рассматриваются только движения с заданной полной энергией $E$.

с) Устойчивость ${ }^{2}$ ). С помощью метода, использованного в $\S 4$, с, мы находим для соответствия по нормали, что
\[
\left.\frac{\delta^{\prime 2} \xi i}{\delta^{\prime} s^{2}}+F_{. j k l}^{i} \lambda^{j \xi k}\right\rangle^{l}=0,
\]

где $\xi^{t}$ – бесконечно малый вектор смещения, $\lambda^{t}$ единичный вектор касательной к невозмущенной траектории, $F_{. j k l}^{i}$ – тензор кривизны для $\mathrm{I}_{j k}^{i}$, определенных формулами (6.2).