Мы будем рассматривать динамическую систему наиболее общего типа. Она может быть подчинена переменным связям случай реономной системы. Если связи постоянны, то система называется склерономной. Связи могут быть заданы неинтегрируемыми уравнениями Пфаффа; в этом случае они неголономны; в противном случае связи носят название голономных. Реономная неголономная система представляет собой самый об-

щий случай, включающий все остальные. Однако полезнее изучать сначала более простые системы, так как они обладают интересными свойствами, не имеющими места в общем случае.

Условимся, как это принято, что по каждой паре повторяющихся индексов производится суммирование; при этом мы предполагаем, что латинские индексы пробегают значения от 1 до $N$, а греческие – от 1 до $M$. Индексы, не носящие тензорного характера по отношению к преобразованиям координат, мы будем обычно заключать в скобки. Случаи, когда индексы пробегают другие системы значений, будут всякий раз особо оговорены.

a) Склерономные голономные (с. г.) системы. Конфигурация системы определяется значениями координат $x^{l}$, вариации которых могут принимать произвольные значения. Кинетическая энергия задается формулой
\[
T=\frac{1}{2} a_{i j}(x) \dot{x}^{i} \dot{x}^{j} .
\]

На систему действуют обобщенные силы $X_{i}$, определяемые равенством
\[
d W=X_{i} d x^{t},
\]

где $d W$ – работа при произвольном перемещении. Уравнения движения имеют вид:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{x}^{i}}-\frac{\partial T}{\partial x^{i}}=X_{i}
\]

Простым примером с. г. системы может служить твердое тело, свободно вращающееся вокруг неподвижной точьи.

b) Склерономные неголономные (с. н.) системы. Конфигурация системы определена значениями координат $x^{i}$, но произвольные вариации этих координат могут противоречить связям. Вынужденное связями перемецение должно удовлетворять $M$ уравнениям связей
\[
\varphi(\alpha)_{i} d x^{i}=0, \quad(\alpha=1,2, \ldots M) .
\]

Эти уравнения не интегрируемы – в этом и состоит неголономный характер нашей системы.

На систему действуют приложенные к ней обобщенные силы $X_{i}$ и реакции связей $Y_{i}$. Работа при произвольном, не подчиненном связям перемещении равна
\[
d W=\left(X_{i}+Y_{i}\right) d x^{i},
\]

a для всякого перемещения, подчиненного связям,
\[
Y_{l} d x^{i}=0
\]

поэтому
\[
Y_{i}=\vartheta_{(\alpha) \varphi_{(\alpha)}},
\]

где $\vartheta_{(\alpha)}$ остаются неопределенными.
Кинетическая энергия определяется формулой (1.1), а уравнения движения имеют следующий вид:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{x}^{i}}-\frac{\partial T}{\partial x^{i}}=X_{i}+Y_{i}, \quad \varphi_{(\alpha)} \dot{x}^{i}=0 .
\]

Простым примером с. н. системы может служить диск, катящийся по шероховатой неподвижной плоскости*).

c) Реономные голоноиные (р. г.) системы. Конфигурация этой системы определяется значениями координат $x^{i}$ и времени $t$. Вариации координат могут принимать произвольные значения. Кинетическая энергия определяется формулой
\[
T=\frac{1}{2} a_{i j}(x, t) \dot{x}^{i} x^{j}+a_{i}(x, t) \dot{x}^{l}+\frac{1}{2} A(x, t) .
\]

Система подвергается дейсгвию обобщенных сил $X_{i}$, удовлетворяющих равенству (1.2) для всех перемещений, соответствующих изменению одних лишь координат, при фиксированном времени $t$. Уравнения движения сохраняют форму (1.3). Простым примером p. r. системы может служить свободное вращение твердого тела вокруг точки, движущейся по заданному закону.

d) Реономные неголономчые (р. н.) системы. Конфигурация системы определяется заданием $x^{i}$ и $t$. Движение должно удовлетворять неинтегрируемым уравнениям связей
\[
\varphi_{(a) t}(x, t) d x^{t}=\biguplus_{(\alpha)}(x, t) d t .
\]

Про перемещение, удовлетворяющее равенствам
\[
\varphi(\alpha) t x^{i}=0,
\]

мы будем говорить, что оно удовлетворяет мгновенным связям. На систему действуют внешние обобщенные силы $X_{i}$ и реакции связей $Y_{t}$. Работа, произведенная при произвольном, не подчиненном мгновенным связям перемещении, равна
\[
d W=\left(X_{i}+Y_{i}\right) d x^{i},
\]

а для вслкого перемещения, удовлетворяющего мгновенным связям, имеем:
\[
Y_{i} d x^{i}=0
\]

Поэтому
\[
Y_{i}=\vartheta_{(\alpha)} \varphi_{(\alpha)} .
\]

Кинетическая энергия выражсется формулой (1.9), а уравнения движения имеют вид:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{x}^{i}}-\frac{\partial T}{\partial x^{t}}=X_{l}+Y_{i}, \quad \varphi_{(\alpha) i} \dot{x}^{l}=\oiint_{(a)} .
\]

Простым примером р. н. систємы может служить качение диска по шероховатой плоскости, которая перемещается по заданному закону.

Каждая из описанных выше систем называется консервативной, если существует потенциальная энергия $V$, такая, что
\[
X_{i}=-\frac{\partial V}{\partial x^{2}}
\]