$$d{s}^2=2Td{t}^2=a_{ij}d{x}^{i}d{x}^J.$$
a) Уравнения движения ${}^1$ ). Мы имеем $M$ неинтегрируемых уравнений связи
$${\phi }_{(a)i}d{x}^i=0.$$

Все перемещения, удовлетворяющие в некоторой точке этим связям, образуют векторное пространство $E_{N-M}^{\prime }$, ортогональное к векторному пространству $E_M$, определенному векторами ${\phi }_{i\alpha }^i$. Пусть в каждой точке $E_M$ выбрана система единичных взаимноортогональных векторов ${\mathrm{\Phi }}_{(x)}^i$ :
$${\mathrm{\Phi }}_{(\alpha )}^i{\mathrm{\Phi }}_{(\beta )i}={\delta }_{\alpha \beta },$$

где ${\hat{c}}_{\text{ав }}$-символ Кронекера. Уравнения связей записываются в виде
$${\mathrm{\Phi }}_{(\mathrm{x})i}d{x}^i=0.$$

Используя выражения для скорости $v^t$ и для ускорения $f^i$, полученные в $\mathrm{\S }3$, выведем, как сләдствие из (1.8), что уравнения движения имеют вид:
$$f^t=X^i+Y^i,{\mathrm{\Phi }}_{(\alpha )i}{v}^i=0,$$

где
$$Y^i={\theta }_{(\alpha )}{\mathrm{\Phi }}_{(\alpha )}^i.$$

При этом ${\theta }_{(a)}$ еще не определены. Реакция $Y^t$ лежит, сленовательно, в $E_M$. Диференцируя второе из соотношений (4.4), получим:
$${\mathrm{\Phi }}_{(\alpha )i}{f}^i+{\mathrm{\Phi }}_{(a)ij}{v}^i{v}^j=0,$$

где ${\mathrm{\Phi }}_{(a)ij}$ есть ковариантная производная от ${\mathrm{\Phi }}_{(\alpha )i}$. Таким образом, вследствие первого из соотношений (4.4)
$${\mathrm{\Phi }}_{(\alpha )i}{Y}^t=-{\mathrm{\Phi }}_{(\alpha )i}{X}^i-{\mathrm{\Phi }}_{(\alpha )ij}{J}^i{\mathfrak{v}}^j.$$

В соединении с (4.2) и (4.5) это дает:
$${\theta }_{(\alpha )}=-{\mathrm{\Phi }}_{(\alpha )i}{X}^i-{\mathrm{\Phi }}_{(\alpha {)}_{ij}}{v}^i{v}^j.$$

Уравнения движения (4.4) могут быть теперь записаны так:
$$f^i=X^i-{\mathrm{\Phi }}_{(\alpha )}^i({\mathrm{\Phi }}_{(\mathrm{c})j}{X}^j+{\mathrm{\Phi }}_{(\alpha )jz}{v}^j{v}^k).$$

Эти уравнения имеют первые интегралы
$${\mathrm{\Phi }}_{(\alpha )i}{v}^i=C_{(\alpha )}=\text{ const. }$$

В действительном движении $C_{(\alpha )}=0$. Если ввести обозначения:
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i={\mathrm{I}}_{kj}^i& =\left\{\begin{array}{c}i\\ jk\end{array}\right\}+\frac{1}{2}{\mathrm{\Phi }}_{(\alpha )}^i({\mathrm{\Phi }}_{(\alpha )jk}+{\mathrm{\Phi }}_{(\alpha {)}_{kj}}),\\ X^i& =X^i-{\mathrm{\Phi }}_{(\alpha )}^i{\mathrm{\Phi }}_{(\alpha )j}{X}^j,\end{array}$$

где $X^{\mathit{t}}$ обозначают компоненту приложенной силы в пространстве $E_{N-M}$, то в этих обозначениях уравнения движения примут вид:
$$\frac{{\delta }^{\prime }{v}^t}{{\delta }^{\prime }t}\equiv \frac{d{v}^t}{dt}+{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i{v}^j{v}^i=X^{\prime }.$$

Эта форма уравнений движения системы связывает нашу теорию с геометрией траекторий (Paths) ${}^1$ ).

Давая греческим индексам значения $M+1,\dots ,N$, мы можем ввести в $E_{N-M}^{\prime }$ систему единичных взаимно ортогональных векторов ${\mathrm{\Phi }}_{\left({\alpha }^{\prime }\right)}^i$. Найдем компоненты скорости и силы $X^{\prime i}$ в направлении этих векторов:
$$v^t=v_{\left(z^{\prime }\right)}{\mathrm{\Phi }}_{\left(x^{\prime }\right)}^i,X^{\prime i}=X_{\left(x^{\prime }\right)}{\mathrm{\Phi }}_{\left({\alpha }^{\prime }\right)}^i.$$

Тогда в силу (4.12) легко получим следующие уравнения:
$$\frac{d{}^{\prime \prime }\left({\alpha }^{\prime }\right)}{dt}+{\mathrm{\Lambda }}_{\left({\alpha }^{\prime }{\beta }^{\prime }{\gamma }^{\prime }\right)}{v}_{\left({\beta }^{\prime }\right)}{v}_{\left({\gamma }^{\prime }\right)}=X_{\left(x^{\prime }\right)},$$

где величины
$${\mathrm{\Lambda }}_{\left({\alpha }^{\prime }{\beta }^{\prime }{\gamma }^{\prime }\right)}={\mathrm{\Lambda }}_{\left(x^{\prime }{\gamma }^{\prime }{\beta }^{\prime }\right)}=-\frac{1}{i}({\mathrm{\Phi }}_{\left(x^{\prime }\right)j}+{\mathrm{\Phi }}_{\left(x^{\prime }\right)ji)}{\mathrm{\Phi }}_{\left(y^{\prime }\right)}^i{\mathrm{\Phi }}_{\left({\gamma }^{\prime }\right)}^{\prime }$$

легко выражаются с помоцью риччиевских коэффициентов ротации. Уравнения (4.14) содержат ровно столько компонент скорости, сколько имеется степеней свободы у нашей системы, то есть $N-M$, хотя, конечно, сюда должно входить, вообще говоря, полное число координат. Уравнение (4.14) инвариантно по отношению к преобразованию координат и представляет собой векторное уравнение относительно ортогональных преобразований векторов ${\mathrm{\Phi }}_{\left({\alpha }^{\prime }\right)}^i$ в $E_{N-M}^{\prime }$.

Отметим, что условия голономности имеют следующий вид ${}^1$ ): (4.16)
$$({\mathrm{\Phi }}_{(\alpha )ij}-{\mathrm{\Phi }}_{(\alpha )ji}){\mathrm{\Phi }}_{\left({\beta }^{\prime }\right)}^i{\hat{\omega }}_{\left({\gamma }^{\prime }\right)}^j=0.$$
b) Принцип наименьшей кривизны ${}^2$ ). Зададим систему сил $X^i$ и сравним три траектории, имеющие общую точку $P$ и общую касательную в этой точке. Связи будем считать, вообще говоря, неголономными, а общее направление движения в точке $P$ удовлетворяющим этим связям. Эти траектории выберем следующим образом:
$C$ — естественная свободная траектория,
$C^{\prime }$ — произвольнаятраектория, удовлетворяющая связям,
$C^{\prime \prime }$-естественная траектория, удовлетворяющая связям. Вектор первой кривизны некоторой кривой имеет следующее выражение:
(4.17)
$$k^i=k{v}^i=\frac{8\lambda i}{is}.$$

Величины, относяциеся к $C^{\prime }$ и $C^{\prime \prime }$, будем отмечать соответственно одним или двумя штрихами. Пусть
(4.18) $k^{\prime 2}=(k_i^{\prime }-k_i)(k^{\prime i}-k^i),k^{\prime \prime 2}=(k_i^{\prime \prime }-k_i)(k^{\prime i}-k^{\prime })$.

Будем называть величины $k^{\prime }$ и $k^{\prime \prime }$ кривизной линий $C^{\prime }$ и $C^{\prime \prime }$ относительно линии $C$. Из (4.18) следует, что
(4.19) $k^{\prime 2}-k^{\prime 2}=(k_i^{\prime }-k_i^{\prime \prime })(k^{\prime i}-k^{\prime \prime })+2(k_i^{\prime }-k_i^{\prime \prime })(k^{n_i}-k^i)$.

На основании (3.11), (4.4), (3.7) мы получим соответственно для $C^{\prime },C^{\prime \prime }$ в точке $P$
(4.20) $\{\begin{array}{rl}{k}^i{v}^2& =X^i-\dot{v}{\lambda }^i=X^i-X^j{\lambda }_j{\dot{\lambda }}^i,\\ k^i{v}^2& =X^i+Y^i-\dot{v^n}{\lambda }^i=X^i+Y^i-X^j{\lambda }_j{\lambda }^i,\end{array}$

где $Y^i$ — реакция связей на $C^{\prime \prime }$, удовлетворяющая условию $Y^i{\lambda }_i=0$. Произведя вычитание, получим:
$$(k^{ht}-k^t)v^2=Y^t.$$

Вдоль $C^{\prime }$ и $C^{\prime \prime }$ имеют место уравнения связей:
$$\phi (\alpha ){\lambda }^{\lambda i}=0,{\phi }_{(\alpha )i}{\lambda }^{\prime \prime i}=0.$$

Диференцируя по дуге и вычитая, мы получаем для точки $P$ :
$${\phi }_{(\alpha )i}(k^{\prime i}-k^{\ast i})=0.$$

Таким образом, $(k^{\prime }-k^{\prime \prime })$ перпендикулярен к $E_M$, так как в силу (4.21) ( $k^{\text{in }}-k^i$ ) лежит в $E_M$, поэтому последний член в равенстве (4.19) исчезает, и мы имеем окончательно:
$$k^{\prime 2}-k^{\prime \prime 2}=(k_i^{\prime }-k_i^{\prime \prime })(k^{\prime i}-k^{\prime i})⩾0,$$

ибо фундаментальная форма положительно определенная. Отсюда $k^{\prime }⩾k^{\prime }$, и мы приходим к следующему результату: из всех траеторий, естественных и неестественных, удовлетворяющих связям и шеющим заданную скорость в точке $P$, естественная траектория, удовлетворяющая связям, имеет наименьшую кривизну относительно естественной свободной траектории, имеющей заданную скорость в точке $P$.
c) Устойчивость ${}^1$ ). Рассмотрим однопараметрическое семейство траекторий, удовлетворяюцих связям. Введем вдоль каждой из них параметр $\sigma$. Параметр, определяющий траекторию в семействе, обозначим т. Определим абсолютную производную по отношению к перенесению ${\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i$, введенному в (4.11) с помощью формулы
$$\frac{{\delta }^{\prime }{A}^t}{{\delta }^{\prime }\sigma }=\frac{\partial A^l}{\partial \sigma }+{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i{A}^j\frac{\partial x^{\hslash }}{\partial \sigma }.$$

Так же как в 3.15 , получаем:
(4.26) $\{\begin{array}{l}\frac{{\delta }^{\prime 2}{A}^l}{{\delta }^{\prime }\sigma {\delta }^{\prime }\tau }-\frac{{\delta }^{\prime \prime }{A}^i}{{\delta }^{\prime }\tau {\delta }^{\prime }\sigma }=F_{,jkl}^i{A}^j\frac{\partial x^k}{\partial \sigma }\frac{\partial x^l}{\partial \tau },\\ F_{jkl}^i=\frac{\partial }{\partial x^k}{\mathrm{\Gamma }}_{jl}^i-\frac{\partial }{\partial x^l}{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i+{\mathrm{\Gamma }}_{jl}^m{\mathrm{\Gamma }}_{mk}^i-{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^m{\mathrm{\Gamma }}_{ml}^l,\end{array}$

где $F_{.jkl}^i$ тензор кривизны, соответствующий перенесению ${\mathrm{\Gamma }}_{jk}^l$. Рассуждая, как в § 3 , мы убедимся, что бесконечно малый вектор смещения удовлетворяет равенству

Для изохронного соответствия мы получим согласно (4.12),
$$\frac{{\hat{\delta }}^{\prime 2}\xi i}{{\delta }^{\prime }{t}^2}+F_{.jkl}^l{\sigma }^j{\xi }_{\xi }^k{v}^l=X_{.j}^{\prime i}{\xi }^j$$

где $X_{,j}^{\prime i}$ — ковариантная производная компоненты $X^{\prime i}$ в $E_{N-M}^{\prime }$, вычисленная относительно перенесения ${\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i$, а не $\{i\}$.

Так как условия связи выполнены для всех рассматриваемых траекторий, то
$${\mathrm{\Phi }}_{(\alpha )i}\frac{\partial x^i}{\partial \sigma }=0,{\mathrm{\Phi }}_{(\alpha )i}\frac{{\delta }^2{x}^i}{{\delta }^{\prime }\tau {\hat{\delta }}^{\prime }\sigma }+{\mathrm{\Phi }}_{(\alpha )ij}^{\prime }\frac{\partial x^i}{\partial \sigma }\frac{\partial x^f}{\partial \tau }=0,$$

где ${\mathrm{\Phi }}_{(\alpha )ij}^{\prime }$ — ковариантная производная относительно ${\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i$; вследствие симметричности перенесения мы получим:
$$\frac{{\hat{\partial }}^{\prime 2}{x}^i}{\delta {\delta }^1\tau {\delta }^{\prime }\sigma }=\frac{{\delta }^{\prime }2x^i}{{\delta }^{\prime }\sigma {\delta }^{\prime }\tau },$$

и, следовательно, для изохронного соответствия:
$${\mathrm{\Phi }}_{(\alpha )i}\frac{{\delta }^{\prime }÷i}{{\delta }^{\prime }t}+{\mathrm{\Phi }}_{(\alpha )ij}^{\prime }{v}^i{\xi }_{\xi }^j=0,$$

что можно рассматривать как частный первый интеграл уравнения (4.28). Легко непосредственно усмотреть, что
$${\mathrm{\Phi }}_{(\alpha )ij}^{\prime }=\frac{1}{2}({\mathrm{\Phi }}_{(\alpha )ij}-{\mathrm{\Phi }}_{(\alpha {)}_{ji}}).$$

Из-за недостатка места я вынужден отказаться от рассмотрения поведения модуля вектора смещения, а также от рассмотрения соответствия по нормали.