\[
d s^{2}=2 T d t^{2}=a_{i j} d x^{i} d x^{J} .
\]
a) Уравнения движения ${ }^{1}$ ). Мы имеем $M$ неинтегрируемых уравнений связи
\[
\varphi_{(a) i} d x^{i}=0 .
\]

Все перемещения, удовлетворяющие в некоторой точке этим связям, образуют векторное пространство $E_{N-M}^{\prime}$, ортогональное к векторному пространству $E_{M}$, определенному векторами $\varphi_{i \alpha}^{i}$. Пусть в каждой точке $E_{M}$ выбрана система единичных взаимноортогональных векторов $\Phi_{(x)}^{i}$ :
\[
\Phi_{(\alpha)}^{i} \Phi_{(\beta) i}=\delta_{\alpha \beta},
\]

где $\hat{c}_{\text {ав }}$-символ Кронекера. Уравнения связей записываются в виде
\[
\Phi_{(\mathrm{x}) i} d x^{i}=0 .
\]

Используя выражения для скорости $v^{t}$ и для ускорения $f^{i}$, полученные в $\S 3$, выведем, как сләдствие из (1.8), что уравнения движения имеют вид:
\[
f^{t}=X^{i}+Y^{i}, \quad \Phi_{(\alpha) i} v^{i}=0,
\]

где
\[
Y^{i}=\theta_{(\alpha)} \Phi_{(\alpha)}^{i} .
\]

При этом $\theta_{(a)}$ еще не определены. Реакция $Y^{t}$ лежит, сленовательно, в $E_{M}$. Диференцируя второе из соотношений (4.4), получим:
\[
\Phi_{(\alpha) i} f^{i}+\Phi_{(a) i j} v^{i} v^{j}=0,
\]

где $\Phi_{(a) i j}$ есть ковариантная производная от $\Phi_{(\alpha) i}$. Таким образом, вследствие первого из соотношений (4.4)
\[
\Phi_{(\alpha) i} Y^{t}=-\Phi_{(\alpha) i} X^{i}-\Phi_{(\alpha) i j} J^{i} \mathfrak{v}^{j} .
\]

В соединении с (4.2) и (4.5) это дает:
\[
\theta_{(\alpha)}=-\Phi_{(\alpha) i} X^{i}-\Phi_{(\alpha)_{i j}} v^{i} v^{j} .
\]

Уравнения движения (4.4) могут быть теперь записаны так:
\[
f^{i}=X^{i}-\Phi_{(\alpha)}^{i}\left(\Phi_{(\mathrm{c}) j} X^{j}+\Phi_{(\alpha) j z} v^{j} v^{k}\right) .
\]

Эти уравнения имеют первые интегралы
\[
\Phi_{(\alpha) i} v^{i}=C_{(\alpha)}=\text { const. }
\]

В действительном движении $C_{(\alpha)}=0$. Если ввести обозначения:
\[
\begin{aligned}
\Gamma_{j k}^{i}=\mathrm{I}_{k j}^{i} & =\left\{\begin{array}{c}
i \\
j k
\end{array}\right\}+\frac{1}{2} \Phi_{(\alpha)}^{i}\left(\Phi_{(\alpha) j k}+\Phi_{(\alpha)_{k j}}\right), \\
X^{i} & =X^{i}-\Phi_{(\alpha)}^{i} \Phi_{(\alpha) j} X^{j},
\end{aligned}
\]

где $X^{\boldsymbol{t}}$ обозначают компоненту приложенной силы в пространстве $E_{N-M}$, то в этих обозначениях уравнения движения примут вид:
\[
\frac{\delta^{\prime} v^{t}}{\delta^{\prime} t} \equiv \frac{d v^{t}}{d t}+\Gamma_{j k}^{i} v^{j} v^{i}=X^{\prime} .
\]

Эта форма уравнений движения системы связывает нашу теорию с геометрией траекторий (Paths) ${ }^{1}$ ).

Давая греческим индексам значения $M+1, \ldots, N$, мы можем ввести в $E_{N-M}^{\prime}$ систему единичных взаимно ортогональных векторов $\Phi_{\left(\alpha^{\prime}\right)}^{i}$. Найдем компоненты скорости и силы $X^{\prime i}$ в направлении этих векторов:
\[
v^{t}=v_{\left(z^{\prime}\right)} \Phi_{\left(x^{\prime}\right)}^{i}, \quad X^{\prime i}=X_{\left(x^{\prime}\right)} \Phi_{\left(\alpha^{\prime}\right)}^{i} .
\]

Тогда в силу (4.12) легко получим следующие уравнения:
\[
\frac{d{ }^{\prime \prime}\left(\alpha^{\prime}\right)}{d t}+\Lambda_{\left(\alpha^{\prime} \beta^{\prime} \gamma^{\prime}\right)} v_{\left(\beta^{\prime}\right)} v_{\left(\gamma^{\prime}\right)}=X_{\left(x^{\prime}\right)},
\]

где величины
\[
\Lambda_{\left(\alpha^{\prime} \beta^{\prime} \gamma^{\prime}\right)}=\Lambda_{\left(x^{\prime} \gamma^{\prime} \beta^{\prime}\right)}=-\frac{1}{i}\left(\Phi_{\left(x^{\prime}\right) j}+\Phi_{\left.\left(x^{\prime}\right) j i\right)} \Phi_{\left(y^{\prime}\right)}^{i} \Phi_{\left(\gamma^{\prime}\right)}^{\prime}\right.
\]

легко выражаются с помоцью риччиевских коэффициентов ротации. Уравнения (4.14) содержат ровно столько компонент скорости, сколько имеется степеней свободы у нашей системы, то есть $N-M$, хотя, конечно, сюда должно входить, вообще говоря, полное число координат. Уравнение (4.14) инвариантно по отношению к преобразованию координат и представляет собой векторное уравнение относительно ортогональных преобразований векторов $\Phi_{\left(\alpha^{\prime}\right)}^{i}$ в $E_{N-M}^{\prime}$.

Отметим, что условия голономности имеют следующий вид ${ }^{1}$ ): (4.16)
\[
\left(\Phi_{(\alpha) i j}-\Phi_{(\alpha) j i}\right) \Phi_{\left(\beta^{\prime}\right)}^{i} \widehat{\omega}_{\left(\gamma^{\prime}\right)}^{j}=0 .
\]
b) Принцип наименьшей кривизны ${ }^{2}$ ). Зададим систему сил $X^{i}$ и сравним три траектории, имеющие общую точку $P$ и общую касательную в этой точке. Связи будем считать, вообще говоря, неголономными, а общее направление движения в точке $P$ удовлетворяющим этим связям. Эти траектории выберем следующим образом:
$C$ – естественная свободная траектория,
$C^{\prime}$ – произвольнаятраектория, удовлетворяющая связям,
$C^{\prime \prime}$-естественная траектория, удовлетворяющая связям. Вектор первой кривизны некоторой кривой имеет следующее выражение:
(4.17)
\[
k^{i}=k v^{i}=\frac{8 \lambda i}{i s} .
\]

Величины, относяциеся к $C^{\prime}$ и $C^{\prime \prime}$, будем отмечать соответственно одним или двумя штрихами. Пусть
(4.18) $\quad k^{\prime 2}=\left(k_{i}^{\prime}-k_{i}\right)\left(k^{\prime i}-k^{i}\right), \quad k^{\prime \prime 2}=\left(k_{i}^{\prime \prime}-k_{i}\right)\left(k^{\prime i}-k^{\prime}\right)$.

Будем называть величины $k^{\prime}$ и $k^{\prime \prime}$ кривизной линий $C^{\prime}$ и $C^{\prime \prime}$ относительно линии $C$. Из (4.18) следует, что
(4.19) $k^{\prime 2}-k^{\prime 2}=\left(k_{i}^{\prime}-k_{i}^{\prime \prime}\right)\left(k^{\prime i}-k^{\prime \prime}\right)+2\left(k_{i}^{\prime}-k_{i}^{\prime \prime}\right)\left(k^{n_{i}}-k^{i}\right)$.

На основании (3.11), (4.4), (3.7) мы получим соответственно для $C^{\prime}, C^{\prime \prime}$ в точке $P$
(4.20) $\left\{\begin{aligned} k^{i} v^{2} & =X^{i}-\dot{v} \lambda^{i}=X^{i}-X^{j} \lambda_{j} \dot{\lambda}^{i}, \\ k^{i} v^{2} & =X^{i}+Y^{i}-\dot{v^{n}} \lambda^{i}=X^{i}+Y^{i}-X^{j} \lambda_{j} \lambda^{i},\end{aligned}\right.$

где $Y^{i}$ – реакция связей на $C^{\prime \prime}$, удовлетворяющая условию $Y^{i} \lambda_{i}=0$. Произведя вычитание, получим:
\[
\left(k^{h t}-k^{t}\right) v^{2}=Y^{t} .
\]

Вдоль $C^{\prime}$ и $C^{\prime \prime}$ имеют место уравнения связей:
\[
\varphi(\alpha) \lambda^{\lambda i}=0, \quad \varphi_{(\alpha) i} \lambda^{\prime \prime i}=0 .
\]

Диференцируя по дуге и вычитая, мы получаем для точки $P$ :
\[
\varphi_{(\alpha) i}\left(k^{\prime i}-k^{* i}\right)=0 .
\]

Таким образом, $\left(k^{\prime}-k^{\prime \prime}\right)$ перпендикулярен к $E_{M}$, так как в силу (4.21) ( $k^{\text {in }}-k^{i}$ ) лежит в $E_{M}$, поэтому последний член в равенстве (4.19) исчезает, и мы имеем окончательно:
\[
k^{\prime 2}-k^{\prime \prime 2}=\left(k_{i}^{\prime}-k_{i}^{\prime \prime}\right)\left(k^{\prime i}-k^{\prime i}\right) \geqslant 0,
\]

ибо фундаментальная форма положительно определенная. Отсюда $k^{\prime} \geqslant k^{\prime}$, и мы приходим к следующему результату: из всех траеторий, естественных и неестественных, удовлетворяющих связям и шеющим заданную скорость в точке $P$, естественная траектория, удовлетворяющая связям, имеет наименьшую кривизну относительно естественной свободной траектории, имеющей заданную скорость в точке $P$.
c) Устойчивость ${ }^{1}$ ). Рассмотрим однопараметрическое семейство траекторий, удовлетворяюцих связям. Введем вдоль каждой из них параметр $\sigma$. Параметр, определяющий траекторию в семействе, обозначим т. Определим абсолютную производную по отношению к перенесению $\Gamma_{j k}^{i}$, введенному в (4.11) с помощью формулы
\[
\frac{\delta^{\prime} A^{t}}{\delta^{\prime} \sigma}=\frac{\partial A^{l}}{\partial \sigma}+\Gamma_{j k}^{i} A^{j} \frac{\partial x^{\hbar}}{\partial \sigma} .
\]

Так же как в 3.15 , получаем:
(4.26) $\left\{\begin{array}{l}\frac{\delta^{\prime 2} A^{l}}{\delta^{\prime} \sigma \delta^{\prime} \tau}-\frac{\delta^{\prime \prime} A^{i}}{\delta^{\prime} \tau \delta^{\prime} \sigma}=F_{, j k l}^{i} A^{j} \frac{\partial x^{k}}{\partial \sigma} \frac{\partial x^{l}}{\partial \tau}, \\ F_{j k l}^{i}=\frac{\partial}{\partial x^{k}} \Gamma_{j l}^{i}-\frac{\partial}{\partial x^{l}} \Gamma_{j k}^{i}+\Gamma_{j l}^{m} \Gamma_{m k}^{i}-\Gamma_{j k}^{m} \Gamma_{m l}^{l},\end{array}\right.$

где $F_{. j k l}^{i}$ тензор кривизны, соответствующий перенесению $\Gamma_{j k}^{l}$. Рассуждая, как в § 3 , мы убедимся, что бесконечно малый вектор смещения удовлетворяет равенству

Для изохронного соответствия мы получим согласно (4.12),
\[
\frac{\hat{\delta}^{\prime 2} \xi i}{\delta^{\prime} t^{2}}+F_{. j k l}^{l} \sigma^{j} \xi_{\xi}^{k} v^{l}=X_{. j}^{\prime i} \xi^{j}
\]

где $X_{, j}^{\prime i}$ – ковариантная производная компоненты $X^{\prime i}$ в $E_{N-M}^{\prime}$, вычисленная относительно перенесения $\Gamma_{j k}^{i}$, а не $\{i\}$.

Так как условия связи выполнены для всех рассматриваемых траекторий, то
\[
\Phi_{(\alpha) i} \frac{\partial x^{i}}{\partial \sigma}=0, \quad \Phi_{(\alpha) i} \frac{\delta^{2} x^{i}}{\delta^{\prime} \tau \hat{\delta}^{\prime} \sigma}+\Phi_{(\alpha) i j}^{\prime} \frac{\partial x^{i}}{\partial \sigma} \frac{\partial x^{f}}{\partial \tau}=0,
\]

где $\Phi_{(\alpha) i j}^{\prime}$ – ковариантная производная относительно $\Gamma_{j k}^{i}$; вследствие симметричности перенесения мы получим:
\[
\frac{\hat{\partial}^{\prime 2} x^{i}}{\delta \delta^{1} \tau \delta^{\prime} \sigma}=\frac{\delta^{\prime} 2 x^{i}}{\delta^{\prime} \sigma \delta^{\prime} \tau},
\]

и, следовательно, для изохронного соответствия:
\[
\Phi_{(\alpha) i} \frac{\delta^{\prime} \div i}{\delta^{\prime} t}+\Phi_{(\alpha) i j}^{\prime} v^{i} \xi_{\xi}^{j}=0,
\]

что можно рассматривать как частный первый интеграл уравнения (4.28). Легко непосредственно усмотреть, что
\[
\Phi_{(\alpha) i j}^{\prime}=\frac{1}{2}\left(\Phi_{(\alpha) i j}-\Phi_{(\alpha)_{j i}}\right) .
\]

Из-за недостатка места я вынужден отказаться от рассмотрения поведения модуля вектора смещения, а также от рассмотрения соответствия по нормали.