\[
d s^{2}=2 T d t^{2}=a_{i j} d x^{i} d x .
\]

a) Кинематика ${ }^{1}$ ). В римановом $N$-мерном пространстве абсолютная производная контравариантного вектора $A^{i}$ вдоль кривой $x^{i}=x^{i}(\sigma)$, где $\sigma$ – параметр, определяется формулой
\[
\frac{\delta A^{i}}{\delta \sigma}=\frac{d A^{l}}{d \sigma}+\left\{\begin{array}{c}
t \\
j k
\end{array}\right\} A^{j} \frac{d x^{k}}{d \sigma} .
\]

Если $\sigma=t$, мы можем говорить о производной $A^{l}$ по времени.
Скоростью системы будем называть контравариантный вектор
\[
v^{i}=d x^{i} / d t
\]

а ускорением – его производную по времени
\[
f^{i}=\delta v^{t} / \delta t .
\]

Модуль скорости равен при этом
\[
v=\left(a_{i j} v^{i} v^{j}\right)^{\frac{1}{2}}=d s / d t .
\]

Если $\lambda^{t}$ – единичный вектор касательной к траектории, $
u^{t}$ единичный вектор главной (первой) нормали, а $k$ – (первая) кривизна, то, согласно первой формуле Френе,
\[
\frac{\delta \lambda^{i}}{\delta s}=k
u^{l} \text {. }
\]

Ho
\[
v^{\prime}=v \lambda^{\prime}
\]

и, следовательно,
\[
f^{i}=\dot{v} \lambda^{l}+k v^{2}
u^{l}, \quad(\dot{v}=d v / d t) .
\]

Таким образом, ускорение слагается из компоненты $\dot{v}$, направленной по касательной, и колпоненты $k v^{2}$, направленной по главной нормали, как и в элементарной динамике точки.

Верхние индексы могут быть, конечно, опущены с помощью фундаментального тензора $a_{i j}$ : иы получаем ковариантную запись векторов скорости и ускорения
\[
v_{i}=a_{i j} v^{j}, \quad f_{i}=a_{i j} f^{\prime} .
\]

Легко непосредственно показать, что
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{x}^{i}}-\frac{\partial T}{\partial x^{i}}=f_{l} \text {. }
\]

Это уравнение осуществляет связь между лагранжевым и тензорным методами.

b) Уравнения движения ${ }^{1}$ ). Из (1.3) и (3.9) следует, что уравнения движения могут быгь записаны так:
\[
f_{i}=X_{i}, \text { или } f^{i}=X^{i} .
\]

Или словами: ускорение равно силе – замечательное обобщение второго закона Ньютона.

Если мы подставим значение $f^{i}$ из (3.7), то уравнення движения примут форму:
\[
\dot{v} \lambda^{i}+k v^{2} v^{i}=X^{i} .
\]

Это показывает, что три вектора: вектор силы, вектор касательной к траектории и вєктор главной нормали компланарны (т. е. лежат в двумерном линейном многообразии).

Уравнение движения может быть записано также и в таком виде:
\[
\frac{\delta v^{i}}{\delta t} \equiv \frac{\delta 2 x^{i}}{\delta t^{2}}=X^{i},
\]

или, если выбрать $s$ за независимую переменную, в виде
\[
v^{2} \frac{\delta \lambda^{i}}{\delta s}+v \frac{d v}{d s} \lambda^{i}=X^{i}, \quad\left(\lambda^{t}=\frac{d x^{i}}{d s}, \quad \lambda_{i} \lambda^{i}=1\right) .
\]

c) Устойчивость ${ }^{2}$ ). При изучении устойчивости движения системы мы рассмотрим однократно бесконечное множество ( $\infty^{1}$ ) траекторий, образующих двумерное пространство $\dot{V}_{2}$; уравнения этих траекторий запишутся так:
\[
x^{i}=x^{i}(\sigma, \tau),
\]

где $\sigma$ – параметр, изменяющийся вдоль каждой траектории, а т-параметр, постоянный для всех точек данной траектории. Точки траекторий мы будем называть соответственными, если они получаются при одном и том же значении параметра $\sigma$.

Из тензорного анализа известно, что если $A^{t}$ есть векторное поле на поверхности $V_{2}$, то
(3.15) $\left\{\begin{array}{l}\frac{\delta^{2} A l}{\delta \sigma \delta \tau}-\frac{\delta^{2} A i}{\delta \tau \delta \sigma}=R_{\cdot j k l}^{l} A^{\prime} \frac{\partial x^{k}}{\partial a} \frac{\partial x^{l}}{\partial \tau}, \\ R_{\cdot j k l}^{i}=\frac{\partial}{\partial x^{k}}\left\{\begin{array}{c}i \\ j l\end{array}\right\}-\frac{\partial}{\partial x^{l}}\left\{\begin{array}{c}l \\ j k\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}m \\ j l\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}i \\ m k\end{array}\right\}-\left\{\begin{array}{c}m \\ j k\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}c \\ m l\end{array}\right\} .\end{array}\right.$

Переходя для простоты к обозначениям
\[
\frac{\partial x^{i}}{\partial \sigma}=\frac{\delta x^{i}}{\delta \sigma}, \quad \frac{\partial x^{i}}{\partial \tau}=\frac{\delta x^{t}}{\delta \tau},
\]

положим
\[
A^{t}=\frac{\delta x^{i}}{\delta \sigma} .
\]

Чертеж 1.

Принимая во внимание, что
\[
\frac{\delta^{2} x^{i}}{\delta \sigma \hat{\partial} \tau}=\frac{\delta^{2} x^{l}}{\delta \tau \delta_{0}},
\]

получим в силу (3.15)
\[
\frac{\delta^{2}}{\delta \sigma^{2}} \frac{\partial x^{l}}{\partial \tau}-\frac{\delta}{\delta \tau} \frac{\delta^{2} x^{t}}{\delta \sigma^{2}}+R_{. j k l}^{l} \frac{\partial x^{j}}{\partial \sigma} \frac{\partial x^{k}}{\partial \tau} \frac{\partial x^{t}}{\partial \sigma}=0 .
\]

Введем в рассмотрение вектор
\[
\xi^{t}=\frac{\partial x^{i}}{\partial \tau} d \tau
\]
т. е. вектор бесконечно малого смещения, соединяющий точку $(\sigma, \tau)$ одной траектории с соответствующей точкой $(\sigma, \tau+d \tau)$ близкой траектории. Равенства (3.19) могут быть теперь записаны так:
\[
\frac{\delta 2 \zeta l}{\delta \sigma^{2}}+R_{. j k l}^{t} \frac{\partial x^{f}}{\partial \sigma} \xi^{2} \frac{\partial x^{l}}{\partial \sigma}=d \tau \frac{\delta}{\delta \mathrm{t}} \frac{\delta^{2} x^{l}}{\delta \sigma^{2}} .
\]

При исследовании устойчивости динамической системы особыи интерес представляют два способа задания соответствия между точками траектории ${ }^{1}$ ):

1. „Изохронное соответствие\”.
2. „Соответствие по нормалі“.

Используя изохронное соответствие, мы полагаем $\sigma=t$. Тогда на основании (3.12) получим:
\[
\frac{\partial x^{j}}{d \sigma}=v^{j}=v^{j}, \quad \frac{\delta^{2} x^{j}}{\delta \sigma^{2}}=\frac{\delta^{2} x^{j}}{\partial t^{2}}=\lambda^{j},
\]

и (3.21) может быть записано так:
\[
\frac{\varepsilon^{2} \xi^{i}}{\delta t^{2}}+v^{2} R_{\cdot j k l}^{i} i^{j} \xi^{2} k l=X_{. j}^{i},
\]

где $X_{. j}^{i}$ ковариантная производная вектора $X^{t}$.
Интересно проследить за изменением длины
\[
\xi=\left(i_{i} ; i\right)^{\frac{1}{2}}
\]

вектора смещения. Введем в рассмотрение единичный вектор $\mu^{i}$ направления вектора $\xi^{i}$; тогда
\[
\xi^{i}=\hat{*} \mu^{i}, \quad \mu_{i} \mu^{l}=1
\]

из (3.23) получим:

Изучение \”соответствия по нормали“ несколько более сложно. Для решения этой задачи можно воспользоваться уже полученными результатами для „зохронного соответствия. Для этого положим
\[
\xi^{i}=\eta_{i}^{i}+\sigma^{i}, \quad \eta_{i} v^{i}=0,
\]

где $\xi^{t}$ – смещение при изохронном соответствии, $r^{l}$ – смещение ио нормали, $p$ – некоторая, еще не определенная, бесконечно малая величина. Подставляя это выражение в (3.23) и принимая во внимание (3.12), мы получим:
\[
\frac{\delta 2 \eta^{i}}{\partial t^{2}}+\frac{d^{2} \rho}{d t^{2}} v^{i}+2 \frac{d \rho}{d t} X^{i}+v^{2} R_{\cdot j k l}^{i} \lambda^{l} \eta^{k} \lambda^{l}=X_{\cdot j}^{i} \eta_{j}^{j} .
\]

Из равенств (3.28) и второго из равенств (3.27) мы получаем систему $N+1$ уравнений относительно $\gamma_{i}^{i}$, $\rho$. В том случае, когда система консервативна и ге потенциальная энергия есть $V$,

мы можем исключить р и получаем
\[
\begin{array}{r}
\frac{\delta^{2} r_{i} i}{\delta t^{2}}+R_{. j k l}^{i} v^{j} r_{i}^{k} v^{!}+V_{\cdot j}^{i} r_{j}^{j}+2 V^{i}\left(2 V_{j} r_{l}^{j}-\varepsilon\right) / v^{2}- \\
-v^{i} \frac{d}{d t}\left[\left(2 V_{j} r_{j}^{j}-\varepsilon\right)_{j} v^{2}\right]=0,
\end{array}
\]

где через в обозначено бесконечно малое приращение полной энергии при переходе из состояния невозмущенного двшжения к возмущенному.
Легко написать уравнение для определения длины вектора $r_{i}$ :
\[
\begin{array}{c}
\text { (3.30) } \frac{d^{2} \eta}{d t^{2}}+\eta_{i}\left[v^{2} R_{i j k l} n^{i} i^{i} n^{k_{i}{ }^{l}}-\frac{\delta n_{i}}{3 t} \frac{\delta n^{i}}{\partial t}+V_{i j} n^{l} n^{j}+4\left(V_{i} n^{i}\right)^{2} / v^{2}\right]= \\
=2 \varepsilon V_{i} n^{i} / v^{2},
\end{array}
\]

где $n^{i}$ – единичный вектор, имеющий направление вектора $\eta^{i}$.

d) Брахистохроны. Рассмотрим динамическую систему, переходящую из конфигурации $A$ в конфигурацию $B$. Пусть она находится под влиянием данного консереативного поля сил и пусть задана ее полная энергия. Требуется определить идеальные связи, при которых система перейдет из положения $A$ в положение $B$ в экстремальное время. Соответствующую траекторию называют брахистохроной. Эту классическую проб̈лему динамики точки Мак-Kоннель (McConnell) [1] перенес на динамику системы; применив тензорные иетоды, он пришел к обобщению результатов Эйлера.

е) Годографы. В динамике точки годографом называют геометрическое место концов векторов, параллельных и равных по длине векторам скорости точки, проведенных из фиксированного начала. Так как в римановом пространстве нет понятия абсолютного параллелизма, то становится трудным дать общее определение годографа. Мне все же удалось разрешить эту задачу, выбирая начало отсчета на траектории и используя параллельное перенесение вдоль нее. Я исследовал условия, при которых годограф является окружностью, и получил результаты, являющиеся обобщением хорошо известного закона Гамильтона о круговом годографе для движення точки под действием ньютоновского закона притяжения ${ }^{1}$.

f) Апсиды. В теории центральных орбит ancuдой называют точку, в которой длина радиус-вектора имеет стационарное значение. Следуя Адамару, я обобщил эту идею и разработал теорию апсид для многообразия конфигураций ${ }^{2}$ ).