Для того чтобы проследить, откуда берут свое начало тензорные методы в динамике, иы должны обратиться к идеям Лагранжа об общих свойствах динамических систем, а также к идеям Римана в области многомерной геометрии. Лагранж был противником применения современных ему геометрических средств к динамике. В введении к его „Аналитической механике“ сказано: \”В этом сочинении нет чертежей. Методы, в нем излагаемые, не требуют ни геометрических построений, ни механических рассуждений; они требуют лишь алгебраических операций, подчиненных правильному и однообразному ходу. Любители анализа с удовольствием увидят, что механика становится новой его отраслью, и будут признательны мне за такое расширение его области“.

Нам неизвестно, как отнесся бы этот непримиримый аналитик к современной версии „Аналитической механики“, в которой геометрическими иллюстрациями служат не образы трехмерного пространства, которыми должен был довольствоваться Лагранж, а образы более просторного и гибкого риманова пространства $N$ измерений. Он имел бы, я полагаю, серьезные возражения. Переход от геометрических средств к аналитическим был долгим и трудным делом. Каждый прием должен был быть тщательно проверен перед включением его в новую схему: он должен был допускать непосредственное обобщение для случая $N$ измерений и должен был быть очицен от излишних ассоциаций с понятиями эвклидовой геометрии. Нам, вполне освоившимся с понятием $N$-мерного пространства, кажется странным то медленное развитие этих идей, которое исторически имело место. Первые идеи были довольно неотчетливо изложены Риманом (Riemann) [1] 1) в 1854 г. В 1869 г. Бельтрами (Beltrami) [1] \” в 1872 г. Ли п ш и (Lipschitz) [1] воспользовались геометрическим

языком с крайней осторожностью. Для иллюстрации медленного развития этих идей мы можем указать на тот факт, что лишь в 1917 г. Леви-Чивита (Levi-Civita) сделал понятие параллелизма достаточно гибким для того, чтобы оно нашло свое применение.

Тем не менее, идея многомерного риманова пространства постепенно завоевывала права, и к концу девятнадцатого столетия Дарбу (Darboux) [1] иГерц (Hertz) [1]’ рассматривали динамическую систему как точку, движущуюся в $N$-мерном пространстве, причем Герц делал это особенно последовательно. В 1894 г. Пенлев (Painlevé) [1] становится на точку зрения многомерного пространства, хотя и пользуется, главным образом, эвклидовой метрикой.

Развитие основных понятий римановой геометрии было все еще недостаточным. Только когда абсолютное диференциальное (или тензорное) исчисление получило определенную форму в работе Риччи (Ricci) и Леви-Чивита [1] в 1900 r., основные препятствия для развития тензорных методов в динамике можно было считать преодоленными. И действительно, в этой знаменитой статье Риччи и Лев и-Чив ита динамике посвящена целая глава.

Все же эти ранние усилия, направленные на создание союза между тензорным исчислением и динамикой, не были встречены с особым энтузиазмом. Тензорное исчисление можно было сравнить с маленьким ребенком, неизвестным вне узкого круга математиков-специалистов, тогда кяк динамика была зрелой трехсотлетней дамой, которая, по справедливости, могла оспаривать у любимиы Гаусса титул „Королевы наук“ *). Но когда в 1916 r. мир был потрясен общей теорией относительности, тензорное исчисление сразу становится ,героем дня “, в то время как репутация классической динамики и физики несколько тускнеет. Ничто не мешало теперь этому, неравному прежде, союзу. Но вряд ли надо специально оговаривать, что такой математический союз не предполагает \”верности“ от его членов, и, действительно, тензорное исчисление никогда не рассматривало связь с динамикой иначе, как приятный эпизод в своей деловой жизни.

Предмет настоящей статьи лежит между аналитической динамикой, с одной стороны, и чистой римановой геометрией с другой; вопрос о том, где проходит пограничная линия, зачастую бывает трудно решить. В качестве рабочего правила условимся не рассматривать сочинений по динамике, в которых не используются обозначения ковариантного и абсолютного

диференцирования, и сочинений по геометрии, слишком общих для того, чтобы получить применение при изучении конкретных динамических систем, встречающихся в природе. Я придерживаюсь, в основном, этого прави.а, указывая, впрочем, в библиографических ссылках некоторые работы, лежащие за указанными границами ${ }^{1}$ ).

Как было указано, тензорнше методы в динамике ведут свое начало от статьи Риччи и Леви-Чивита 1900 г. Далее мы отметим работу Райта (Wright) [1]*) 1908 г. После долroro перерыва работы вновь стали появляться около десяти лет тому назад **); первая из них принадлежит Гораку (Horak) [1], она вышла в Чехословакии в 1924 г. В 1926 г. я дал систематическое изложение вопроса ${ }^{2}$ ). В этом же году появились статьи Лев и-Чивита [1], [2] и Вранче ану (Vranceanu) [1], [2], [3]. Основными исследователями в этой области в то время были Горак, Вранчеану, Вундхейлер (Wundheiler) и я ${ }^{3}$ ). Крон (Kron) [1], [2], [3], [4] опубликовал в последнее время статьи и книги о приложениях тензорного исчисления к электротехнике, но, так как я до сих пор не был в состоянии понять его точку зрения, я принужден оставить эти работы без комментариев.

Прежде чем перейти к деталям, не лишнее будет сказать несколько слов о значении тензорных методов в динамике. Я ограничиваюсь здесь классической динамикой, оставляя в стороне релятивистскую и квантовую механику.

Тензорные методы прилагаются к динамике в первую очередь не для того, чтобы разрешать некоторые конкретные динамические задачи. Целью этих методов является скорее адэкватное изложение так называемых „оєщих проблем динамики“, делающееся возможным при проникновении в динамику идей римановой или даже еще более общей геометрии. В этом направлении получены неожиданно прекрасные результаты. Мы обнаруживаем, что поведение общей динамической системы в точности такое, какое естественно приписать точке в $N$-мерном про-

странстве. Таким образом, мы воскрешаем геометрический дух, столь тщательно изгнанный из работ Лагранжа и Гамильтона (Hamilton), и наглядно представляем себе движение системы, причем не как движение совокупности частиц в трехмерном эвклидовом пространстве, а как движение единственной точки риманова $N$-мерного пространства. Я старался не терять из вида, что предметом настоящей работы является в первую очередь динамика и лишь во вторую очередь – геометрия. Соблазн прочесть геометрическую проповедь на текст из динамики должен был быть преодолен. Вот почему наибольшее внимание я посвящу системам, наиважнейшим с динамической точки зрения. Менее важные в динамическом отношении системы, именно, неголономные системы и системы с подвижными связями, представляют особый интерес для геометров ${ }^{1}$ ). Я остановился на этих вопросах, но не входил в подробности.

Очень компактные обозначения Горака и Схоутена (Schouten) будут использованы лишь в § 9; например, они не будут введены при изучении неголономных систем в § 4 . Это сделано частично для разнообразия, частично же из-за того, что менее компактные обозначения выявляют иногда геометрический смысл с большой легкостью.

По оглавлению можно судить о круге вопросов, являющихся предметом нашего исследования. Вследствие недостатка места лишь некоторые из перечисленных там вопросов будут рассмотрены более или менее детально; остальные будут изложены более сжато.

В сносках указаны основные сочинения; излагаемые мною методы не всегда совпадают с методами оригинальных работ.