16. ПЛОТНОСТЬ КОНЕЧНЫХ СОСТОЯНИЙ

Как правило, приходится рассматривать начальные состояния только двух типов:

(1) распад частицы:

(2) столкновение двух частиц:

где — эффективное поперечное сечение, а — относительная скорость.

Запишем вероятность перехода в секунду в виде

где

— плотность состояний на единичный интервал.

Имеются и другие полезные выражения для :

(1) Две частицы в конечном состоянии:

В пределе :

В системе центра масс:

(2) Три частицы в конечном состоянии:

При :

Рассмотрим теперь задачу распада каона на два пиона, которую я предложил на прошлой лекции. Для того чтобы продемонстрировать технику вычислений, я предположу, что имеется прямая связь (в действительности мы не считаем, что в природе существует такое фундаментальное взаимодействие).

Несколько слов о системе единиц. Мы положим . Тогда

Для электрона

Эти числа следует запомнить. Для протона все числа следует умножить на 1836, а для любой частицы массы на .

В конце вычислений всегда оказывается ясным, какие именно единицы представляет . Бывает нелишне проверить размерности, например, время жизни должно быть обратно пропорционально . Однако удержание в вычислениях констант и является пустой тратой времени!

На первый раз мы проведем выкладки детально. Имеем

Полагая мы можем вычеркнуть факторы и .Пусть (в системе покоя -мезона). Тогда

и

Далее

так что

Главная цель физических теорий — найти число и притом с достаточной точностью! В противном случае вы ничего не добились. Находим

Экспериментальное время жизни -мезона сек. Лишь 78% распадов идет на два пиона. Поэтому

и . Это очень маленькая безразмерная константа, и поэтому мы имеем здесь дело со слабой связью. Я хочу еще раз подчеркнуть, что это несколько искусственный пример; в действительности мы не думаем, что механизм этого распада является фундаментальным, скорее всего он представляет косвенное следствие некоторых других механизмов. Однако давайте на время примем эту идею.

Задача 16-1. -мезон также распадается на три пиона. Предположив взаимодействие

получите спектральное распределение, сравните его с экспериментальными данными и определите .

Рассмотрим теперь немного более сложную задачу -рассеяния. Отвлекаясь от электрического заряда К- и -мезонов, можно изобразить процесс рассеяния диаграммой рис. 16-1. Это — непрямой процесс, содержащий виртуальный -мезон. Я дам вам сейчас правила для построения амплитуды этого процесса (позднее я объясню их более подробно).

Следуйте вдоль линии частицы и пишите (справа налево):

(1) для каждой вершины амплитуду ;

(2) для распространения тс-мезона между двумя вершинами амплитуду , где - 4-импульс, а — масса -мезона (это и есть уравнение движения).

(3) Энергия и импульс должны сохраняться в каждой вершине.

Произведение всех этих амплитуд дает — амплитуду процесса.

Для рис. 16-1 получаем

Однако имеется другой способ осуществления того же самого перехода, показанный на рис. 16-2, топологически отличный от первой диаграммы (вершины этой диаграммы невозможно расположить в пространстве-времени так, чтобы свести ее к первой).

Рис. 16-1.

Рис. 16-2.

Амплитуда этого процесса будет

а полная амплитуда для данного перехода является суммой двух слагаемых