25. ЭФФЕКТ КОМПТОНА

Для того чтобы познакомиться с техникой вычисления шпуров, мы проведем детальное вычисление сечения эффекта Комптона, т. е. процесса рассеяния фотона на свободном электроне. В этот процесс дают вклад две диаграммы. Амплитуда первой из них имеет вид

Когда поляризации комплексны, то уходящая волна связана с (подобно волновой функции уходящей частицы).

Двигаясь вдоль диаграммы слева направо, мы имеем:

В каждой вершине энергия и импульс должны сохраняться. Полная амплитуда есть их произведение, умноженное на спинорные амплитуды электронов в начальном и конечном состояниях. Добавляя к рассмотренной диаграмму с обратным порядком испускания и поглощения фотонов, мы получаем

где

В этом выражении сконцентрирована вся физика задачи — все остальное есть чистая алгебра. Прежде всего преобразуем матричные знаменатели

Кроме того,

вследствие чего

Поскольку М стоит между и и

можно получить дальнейшие упрощения, двигая направо. С учетом того, что

получаем

Наконец, выберем систему отсчета, в которой начальный электрон покоится. Тогда

поскольку векторы и пространственно-подобны, и

Для вычисления эффективного поперечного сечения рассеяния нам нужна величина (см. лекцию 24)

Пусть

Тогда

Рассмотрим выражение А. Поскольку , следует стремиться к тому, чтобы и оказались рядом. С учетом того, что , находим

Используя формулы

получаем окончательно

Переставляя в этом выражении и , имеем также

В нашей системе , где

выражения упрощаются:

Далее рассмотрим член В. Передвинем сначала направо,

Двигая в и множитель направо и подставляя в находим

Вычисляя шпуры, получаем

Последний член можно упростить с помощью подстановки:

Получаем окончательно

Аналогичные вычисления для С дают (так что два последних члена из В в сумму вклада не дают). Заметим, что этот результат не может быть получен простой перестановкой и в окончательном выражении для В, поскольку он получен в частной системе отсчета . (Можно получить его, обращая порядок всех сомножителей в В.)

Собирая результаты, получаем

Эффективное поперечное сечение рассеяния будет равно (см. лекцию 16)

где D — плотность конечных состояний,

Заметим, что

и

где — угол между направлениями движения начального и конечного фотонов. Подставляя в , получаем окончательно

В нерелятивистском пределе , когда , полученное выражение сводится к поперечному сечению для скалярной частицы

тогда как в крайнем релятивистском случае , когда (исключая окрестность ),

Физически это означает, что в нерелятивистском пределе взаимодействие в основном идет через электрический заряд, тогда как в ультрафиолетовом случае за него ответствен магнитный момент электрона.