20. ВИРТУАЛЬНЫЕ И РЕАЛЬНЫЕ ФОТОНЫ

Обсудим соответствие между реальным и виртуальным испусканием фотонов. Почему, в частности, для реального фотона достаточно рассмотреть только два поперечных состояния поляризации, тогда как в виртуальном процессе мы суммируем по всем четырем возможным состояниям?

Допустим, мы «послали» фотон на Луну. После того как процесс завершился, мы можем описать его диаграммой, изображенной на рис. 20-1.

Рис. 20-1.

В некотором смысле каждый реальный фотон в действительности оказывается виртуальным, если следить за ним в течение достаточно большого времени. В конце концов он всегда где-нибудь во Вселенной поглотится. Для реального фотона характерно условие (поскольку он не является реальным во все времена, то по принципу неопределенности не может тождественно равняться нулю), и поэтому пропагатор . Однако, прежде чем продолжить это обсуждение, нам следует рассмотреть закон сохранения заряда.

Сохранение заряда.

Действие для системы, состоящей из частицы плюс поле фотонов, согласно гипотезе минимального электромагнитного взаимодействия равно

Из требования исчезновения первых вариаций по и мы получаем уравнения движения для частицы

и для фотона

(мы использовали условие ). Вектор тока заряда поэтому равен

При любом изменении А вариация действия первого порядка должна обращаться в нуль. При специальном выборе и произвольном поля не меняются, поэтому изменение действия могло бы возникнуть только из члена взаимодействия:

Из-за произвольности и обращения в нуль этой вариации, мы получаем

Это и есть закон сохранения тока. Он является следствием калибровочной инвариантности и имеет место, даже если гипотеза минимального электромагнитного взаимодействия не выполняется.

Вернемся к соответствию между виртуальными и реальными фотонами. Рассмотрим рассеяние двух заряженных частиц и , токи которых соответственно равны .

Амплитуда испускания фотона с импульсом и поляризацией равна , где — фурье-образ . Вклад в амплитуду рассеяния, обязанный обмену одним фотоном с импульсом и поляризацией , согласно нашим правилам равен

Для четырех возможных направлений поляризации фотона мы возьмем пространственно-временные оси таким образом, чтобы третья ось совпадала с направлением распространения фотона. Суммируя по поляризациям, получаем

Два последних члена дают вклады поперечно поляризованных фотонов. Каков же смысл двух первых членов? Закон сохранения тока дает

или, с учетом выбора третьей оси,

Подставляя в , находим

Если фотон близок к реальному, , то суммарный вклад продольных и временных фотонов в (первый член) мал по сравнению с вкладом поперечных фотонов. Однако в общем случае виртуальными продольными и временными фотонами пренебрегать нельзя, так как они играют очень важную роль. Для того чтобы понять ее, выразим суммарный вклад первого члена в для всех импульсов Q и частот в терминах конфигурационного представления.

Подставляя

где — плотность заряда, находим

Интеграл по дает , а по Q — (так как ), так что мы получаем

Это есть не что иное, как мгновенное кулоновское взаимодействие между двумя заряженными частицами. Полное выражение, включающее обмен поперечными фотонами, приводит к запаздывающему взаимодействию.

Тормозное излучение.

Допустим, что -мезон рассеивается на тяжелой частице спина 0, например на К-мезоне. При этом возможно испускание света (ниже мы рассмотрим более важный с практической точки зрения случай спина . Существует несколько диаграмм низшего порядка (рис. 20-2) и аналогичных диаграмм, в которых фотон испускается -мезоном.

Рис. 20-2.

Однако мы рассмотрим случай очень тяжелого К, а тогда можно показать, что всеми этими последними диаграммами следует пренебречь. Амплитуды процессов и имеют вид

Некоторые упрощения являются очевидными:

Рассмотрим теперь случай, когда -мезон в начале покоится, а его масса . Сохранение энергии в фотон-каонной вершине приводит к тому, что энергия виртуального фотона

Далее, 4-импульс частиц и практически состоит только из временной компоненты, равной М. Получаем

Таким образом, тяжелый -мезон и пион обмениваются только времениподобными виртуальными фотонами нулевой энергии. Пропагатор фотона сводится к , что соответствует статическому кулоновскому взаимодействию. Покажите, что сумма градиентно инвариантна, установив, что она исчезает, если вектор направлен по , т. е. . Если мы выберем пространственно-подобным, то амплитуда обратится в нуль.

Рис 20-3.

Дифференциальное поперечное сечение рассеяния -мезона в телесный угол с испусканием фотона энергии в равна (при пространственно-подобном)

где — плотность конечных состояний (см. лекцию 16), равная

Подставляя полученные выражения для и D в , получаем

Сохранение полной энергии и импульса требует, чтобы

(см. рис. 20-3). Суммируя по поляризациям испущенных фотонов, находим

Это выражение является эквивалентом для частиц со спином 0 знаменитой формулы Бете—Гайтлера для частиц спина .