23. ОБОБЩЕНИЕ НА КОНЕЧНУЮ МАССУ

В лекции 22 мы убедились, что преобразуется как -вектор. Это означает, что для произвольного выражение

есть инвариант.

Поэтому

при лоренцевых преобразованиях преобразуется отлично от .

Поскольку , то

Таким образом, преобразуется как контравариантный спинор (если — коспинор); если же v — контраспинор, то — ковариантный спинор.

Обобщение на конечную массу.

Мы установили, что для частиц спина массы 0 уравнения движения суть

Заметим, что подобные уравнения не инвариантны относительно пространственных отражений, поскольку есть полярный вектор, а — аксиальный. (Несколько лет назад такой причины было достаточно для того, чтобы отвергнуть эти уравнения — как и поступил Паули 25 лет назад в книге «Общие принципы волновой механики», стр. 254) — но теперь мы знаем, что четность не сохраняется, поэтому нам не представится возможности отделаться от этих уравнений.)

Записывая первое уравнение в виде

заметим, что в левой части стоит контравариантная величина. Поэтому, если мы хотим добавить какой-либо член, описывающий массу или взаимодействие частицы, то следует позаботиться о том, чтобы он имел соответствующие трансформационные свойства. Например, выражение не годится, поскольку и есть ковариантный спинор.

С учетом этого простейший подходящий член типа источника (линейный по и) имеет вид

Так, например, как недавно установлено, связь, описывающая -распад, имеет как раз такой вид; взаимодействие равно

Для -распада представляет нейтрино, — мюон, — электрон и — антинейтрино. Чтобы определить вклад в уравнение движения для , мы должны проварьировать по . Замечая, что есть -вектор , мы убеждаемся, что вклад в уравнение имеет нужную структуру: .

Вернемся, однако, к массе. Уравнение

ведет себя правильно при преобразованиях, но поскольку и имеет две компоненты, оно описывает две независимые частицы со спином 0. Реальная трудность проявляется при включении электромагнитного взаимодействия. Выписанное уравнение принимает вид

Член , характерный для частиц со спином не следует из этого уравнения.

Заметим также, что в отсутствие взаимодействия нет способа отличить

от

однако при наличии взаимодействия подстановки

приводят к различным следствиям в этих двух уравнениях.

Заметим, что и есть ковариантный спинор, оператор превращает его в контравариантный, а снова приводит к ковариантному спинору. Введем контравариантный спинор v соотношением

Тогда получим

Эти связанные уравнения преобразуются правильно. При они переходят в рассмотренные ранее (не связанные между собой) уравнения. Вместе они эквивалентны уравнению

Можно скомбинировать (23-1) и (23-2) в единое уравнение, введя четырехкомпонентный спинор

Определим матрицы

Действие на W сводится к перестановке и :

Подобным образом получаем

Уравнения (23-1) и (23-2) теперь складываются в одно:

или

Уравнение (23-4) (или сумма уравнений (23-1) и (23-2)) известно как уравнение Дирака. Оно содержит массу и обладает правильными трансформационными свойствами. Можно считать, что ведет себя как -вектор. (Уравнение Дирака иногда записывают в виде

При условии

это эквивалентно .)

Полезно знать свойства у-матриц. Нетрудно видеть, что

Полное правило имеет вид

В большей части задач нет нужды обращаться к явному виду матриц у, достаточно использовать перестановочные соотношения (23-5).

Ток.

Используя смесь состояний или, можно найти поток вероятности, который может также соответствовать покоящейся частице. Напомним, что выражения

являются -векторами.

Пусть имеется частица со спином, направленным вверх в покоящейся системе отсчета,

Мы можем обратить в нуль пространственную часть, определив новый -вектор как сумму двух рассмотренных:

Новый ток имеет то определяющее свойство, что его пространственные компоненты обращаются в нуль в системе покоя частицы. Выражая через , получаем дальнейшие упрощения. Легко видеть, что

где есть величина, эрмитово-сопряженная к . Для того чтобы привести это выражение к более удобному виду, введем по определению

Тогда принимает вид

Нетрудно проверить, что (23-6) удовлетворяет уравнению непрерывности

Для этого рассмотрим уравнение Дирака

и сопряженное ему уравнение

Умножая первое из них слева на , а второе — справа на и складывая, получаем

Однако из спиноров и по отдельности нельзя построить сохраняющегося тока. Так, например,

(Это следует из уравнения (23-1) для .)

Заметим, наконец, что уравнения (23-1) и (23-2) переходят друг в друга при преобразовании

не меняющем . Поэтому уравнения инвариантны относительно отражений (за исключением члена -связи).

Принцип действия.

Уравнения Дирака (23-4) и, следовательно, уравнения (23-1) и (23-2) могут быть получены из действия

Вводя полезное обозначение

(-вектор), запишем действие для частицы со спином в электромагнитном поле

Варьируя по , получаем уравнение движения

Из этого уравнения мы видим, что пропагатор для частицы со спином равен . В практических вычислениях мы часто будем использовать соотношение

Из члена взаимодействия в лагранжиане получаем фундаментальную амплитуду для взаимодействия спиноров и фотонов