Главная > Теория фундаментальных процессов
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

23. ОБОБЩЕНИЕ НА КОНЕЧНУЮ МАССУ

В лекции 22 мы убедились, что преобразуется как -вектор. Это означает, что для произвольного выражение

есть инвариант.

Поэтому

при лоренцевых преобразованиях преобразуется отлично от .

Поскольку , то

Таким образом, преобразуется как контравариантный спинор (если — коспинор); если же v — контраспинор, то — ковариантный спинор.

Обобщение на конечную массу.

Мы установили, что для частиц спина массы 0 уравнения движения суть

Заметим, что подобные уравнения не инвариантны относительно пространственных отражений, поскольку есть полярный вектор, а — аксиальный. (Несколько лет назад такой причины было достаточно для того, чтобы отвергнуть эти уравнения — как и поступил Паули 25 лет назад в книге «Общие принципы волновой механики», стр. 254) — но теперь мы знаем, что четность не сохраняется, поэтому нам не представится возможности отделаться от этих уравнений.)

Записывая первое уравнение в виде

заметим, что в левой части стоит контравариантная величина. Поэтому, если мы хотим добавить какой-либо член, описывающий массу или взаимодействие частицы, то следует позаботиться о том, чтобы он имел соответствующие трансформационные свойства. Например, выражение не годится, поскольку и есть ковариантный спинор.

С учетом этого простейший подходящий член типа источника (линейный по и) имеет вид

Так, например, как недавно установлено, связь, описывающая -распад, имеет как раз такой вид; взаимодействие равно

Для -распада представляет нейтрино, — мюон, электрон и — антинейтрино. Чтобы определить вклад в уравнение движения для , мы должны проварьировать по . Замечая, что есть -вектор , мы убеждаемся, что вклад в уравнение имеет нужную структуру: .

Вернемся, однако, к массе. Уравнение

ведет себя правильно при преобразованиях, но поскольку и имеет две компоненты, оно описывает две независимые частицы со спином 0. Реальная трудность проявляется при включении электромагнитного взаимодействия. Выписанное уравнение принимает вид

Член , характерный для частиц со спином не следует из этого уравнения.

Заметим также, что в отсутствие взаимодействия нет способа отличить

от

однако при наличии взаимодействия подстановки

приводят к различным следствиям в этих двух уравнениях.

Заметим, что и есть ковариантный спинор, оператор превращает его в контравариантный, а снова приводит к ковариантному спинору. Введем контравариантный спинор v соотношением

Тогда получим

Эти связанные уравнения преобразуются правильно. При они переходят в рассмотренные ранее (не связанные между собой) уравнения. Вместе они эквивалентны уравнению

Можно скомбинировать (23-1) и (23-2) в единое уравнение, введя четырехкомпонентный спинор

Определим матрицы

Действие на W сводится к перестановке и :

Подобным образом получаем

Уравнения (23-1) и (23-2) теперь складываются в одно:

или

Уравнение (23-4) (или сумма уравнений (23-1) и (23-2)) известно как уравнение Дирака. Оно содержит массу и обладает правильными трансформационными свойствами. Можно считать, что ведет себя как -вектор. (Уравнение Дирака иногда записывают в виде

При условии

это эквивалентно .)

Полезно знать свойства у-матриц. Нетрудно видеть, что

Полное правило имеет вид

В большей части задач нет нужды обращаться к явному виду матриц у, достаточно использовать перестановочные соотношения (23-5).

Ток.

Используя смесь состояний или, можно найти поток вероятности, который может также соответствовать покоящейся частице. Напомним, что выражения

являются -векторами.

Пусть имеется частица со спином, направленным вверх в покоящейся системе отсчета,

Мы можем обратить в нуль пространственную часть, определив новый -вектор как сумму двух рассмотренных:

Новый ток имеет то определяющее свойство, что его пространственные компоненты обращаются в нуль в системе покоя частицы. Выражая через , получаем дальнейшие упрощения. Легко видеть, что

где есть величина, эрмитово-сопряженная к . Для того чтобы привести это выражение к более удобному виду, введем по определению

Тогда принимает вид

Нетрудно проверить, что (23-6) удовлетворяет уравнению непрерывности

Для этого рассмотрим уравнение Дирака

и сопряженное ему уравнение

Умножая первое из них слева на , а второе — справа на и складывая, получаем

Однако из спиноров и по отдельности нельзя построить сохраняющегося тока. Так, например,

(Это следует из уравнения (23-1) для .)

Заметим, наконец, что уравнения (23-1) и (23-2) переходят друг в друга при преобразовании

не меняющем . Поэтому уравнения инвариантны относительно отражений (за исключением члена -связи).

Принцип действия.

Уравнения Дирака (23-4) и, следовательно, уравнения (23-1) и (23-2) могут быть получены из действия

Вводя полезное обозначение

(-вектор), запишем действие для частицы со спином в электромагнитном поле

Варьируя по , получаем уравнение движения

Из этого уравнения мы видим, что пропагатор для частицы со спином равен . В практических вычислениях мы часто будем использовать соотношение

Из члена взаимодействия в лагранжиане получаем фундаментальную амплитуду для взаимодействия спиноров и фотонов

1
Оглавление
email@scask.ru