18. ПРОПАГАТОР В КОНФИГУРАЦИОННОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Как мы убедились на примере -рассеяния, в обычной теории возмущений второго порядка отдельные вклады в амплитуду не инварианты, тогда как их сумма инвариантна. Рассмотрим две лоренцевы системы отсчета А и В, связанные лоренцевым вращением пространства-времени. Может статься, что порядок во времени двух событий в системах А и В различен, как это изображено на рис. 18-1. Для этого нужно, чтобы ни одна из вершин не лежала в световом конусе другой (в противном случае порядок времени не может быть изменен преобразованием Лоренца).

Рис. 18-1.

Можно было бы подумать, что если два события разделены в пространстве, но не во времени, то амплитуда равна нулю. Однако это не так. Все относительные положения дают вклады.

Для того чтобы уяснить смысл этого, рассмотрим некоторые свойства пропагатора в конфигурационном пространстве:

Как ведет себя в окрестности светового конуса? В конфигурационном пространстве пропагатор оказывается гораздо более сложной функцией, чем в импульсном.

В явном виде

где

а — функция Ганкеля второго рода [9]. При больших

В то же время при малых скоростях, используя разложение , получаем

где удовлетворяет уравнению Шредингера.

Вне светового конуса, при экспоненциально убывает:

В качестве физической иллюстрации представим себе, что мы измеряем положение электрона, например, с помощью затвора.

Рис. 18-2.

Рис. 18-3.

В одно и то же время, но в различных местах, мы делаем измерения с целью обнаружить местоположение электрона (см. рис. 18-2). Вероятность не равна нулю, поскольку в акте измерения может быть рождена пара, а затем позитрон может аннигилировать с первоначальным электроном.

Этот мысленный эксперимент был предложен Паули, который считал всю идею ошибочной.

Возьмем далее частицу с большой скоростью (см. рис. 18-3). Исследуем поведение амплитуды (рис. 18-4) при движении поперек светового конуса вдоль линии АР.

Рис. 18-4.

Соответствует ли, например, длина волны в точке А на рис. 18-3 классической скорости ? Рассмотрим фазу выражения

Когда меняется на фаза должна измениться на :

или

Поэтому

При мы приближаемся к -сингулярности на световом конусе.

Возможная физическая причина заключается в том, что все импульсы дают вклад, но для подавляющего числа импульсов v близко к , вследствие чего происходит значительное усиление амплитуды около светового конуса.

Мы записывали уравнение движения для бозонного поля со спином 0 в виде

Изучим теперь S, т. е. рассмотрим вопрос о природе источника частиц . Вернемся снова к примеру со связью

Полагая , запишем уравнения для и :

Эти уравнения можно получить из принципа наименьшего действия.

Рассмотрим для этого действие

Варьируя по , интегрируя по частям (с отбрасыванием поверхностного члена) и полагая , приходим к уравнению

Это есть уравнение движения свободного пиона.

В -примере мы должны добавить к подобный член для свободного поля и член взаимодействия:

Вариации относительно и приводят к выписанным выше уравнениям движения. (Здесь мы молчаливо предположили, что поля действительны и описывают нейтральные частицы — обобщение не составляет труда.)

Более общее выражение имеет вид

причем лагранжева плотность должна быть релятивистским инвариантом. Это требование существенно ограничивает количество допустимых выражений для . Отметим еще связь с обычной классической функцией Лагранжа

Мы рассматриваем действие как более фундаментальную величину. Из нее мы можем непосредственно получить правила для пропагаторов, связей и уравнений движения. Однако мы все еще не знаем происхождения правил для диаграмм и не понимаем, почему мы можем получать пропагаторы из .