2. СПИН И СТАТИСТИКА

Нам следует научиться рассуждать непосредственно на языке квантовой механики.

Наиболее важное, и в то же время отчасти таинственное, правило заключается в том, что следует складывать амплитуды, а вероятность данного процесса затем вычислять по формуле

Мы еще вернемся к правилам сложения амплитуд при рассмотрении процессов, которые могут идти разными способами, при каждом из которых происходит обмен двумя частицами.

Рассмотрим теперь процесс, который может идти двумя различными каналами. Один из каналов обозначим через , а соответствующую амплитуду — . Второй канал, «обменный» по отношению к первому (и неотличимый от него), назовем . Его амплитуду обозначим . В природе осуществляется следующее замечательное правило:

«Для одного класса частиц, называемых бозонами, полная амплитуда равна сумме ; для другого класса частиц — фермионов — полная амплитуда равна разности . При этом все частицы с полуцелым спином 1/2, оказываются фермионами, а частицы с целым спином 0, 1, 2, ... - бозонами».

Последнее свойство является очень общим следствием законов квантовой механики, специальной теории относительности, а также некоторых других. Оно обсуждалось Паули [4] и, недавно, Людерсом и Зумино [5].

Здесь важно отметить, что для того, чтобы воспользоваться описываемой схемой, нужно знать все состояния, в которых может находиться частица (или система). Например, если мы не учтем существования состояний с различной поляризацией, то не сможем понять отсутствие интерференции для различных поляризаций. Общее правило заключается в том, что если мы обнаружим нарушение одного из наших правил (например, для какой-либо новой частицы), то следует искать новую степень свободы (новое квантовое число) для того, чтобы полностью характеризовать физическое состояние.

Вырождение. Рассмотрим пучок света, поляризованный в заданном направлении. Пусть мы располагаем ось анализатора (например, поляроида, призмы Николя) последовательно в двух перпендикулярных друг к другу и к направлению пучка направлениях и для того, чтобы измерить число фотонов соответствующей поляризации. Обозначим амплитуды состояния фотонов, поляризованных по осям и , через и соответственно.

Если теперь мы повернем анализатор на угол 45° (по биссектрисе между осями и , то какова будет амплитуда для соответствующей поляризации? Мы найдем ); для произвольного угла (отсчитываемого от оси ) получим

Таким образом, для того, чтобы полностью описать амплитуду состояния произвольной поляризации, нужно задать только два числа ( и ). Можно показать, что этот результат тесно связан с тем фактом, что любой выбор осей одинаково хорош для описания фотона.

В самом деле, выберем оси координат () смещенными на угол по отношению к осям () (см. рис. 2-1). Для наблюдателя в этой системе отсчета

(как и должно быть !).

Мы можем поэтому представить состояние фотона вектором в некотором двумерном пространстве. Тогда амплитуда фотона, поляризованного в направлении , будет равна скалярному произведению .

Предположение о том, что поведение системы не может зависеть от ее ориентации в пространстве, накладывает существенные ограничения на свойства возможных состояний. Рассмотрим (см. рис. 2-2) ядро или атом, который испускает -лучи преимущественно вдоль оси . Повернем ядро вместе с прибором, регистрирующим излучение. Показания прибора не могут при этом измениться, т. е. -кванты будут теперь испускаться в новом направлении.

Если ядро характеризуется единственной характеристикой, например своей энергией, то -лучи должны испускаться во всех направлениях с равной вероятностью.

Почему? Потому, что в противном случае можно было бы, например, так сориентировать систему, чтобы -лучи испускались преимущественно в направлении оси (для этого достаточно повернуть всю систему; в то же время законы физики не зависят от выбора направления осей координат). Условие испускания вдоль оси отличается от условия испускания вдоль оси . Однако состояние системы не изменилось. Ясно, что одна амплитуда не может дать два различных предсказания. Поэтому система, описываемая одной амплитудой, должна излучать одинаково (симметрично) во всех направлениях.

Рис. 2-1.

Рис. 2-2.

Для описания несимметричного распределения нужно иметь больше амплитуд. Если угловое распределение сильно неизотропно, то для описания состояния ядра потребуется большое число амплитуд.

Предположим, что состояние системы характеризуется в точности амплитудами

Рассмотрим задачу: Пусть система находятся в состоянии . Каковы будут амплитуды, характеризующие систему в новых координатах после вращения ?

Определим эти амплитуды следующим образом:

Подобным образом, если мы начнем со случая , , то получим

Таким образом, нам нужна матрица .

В общем случае система первоначально находится в состоянии

Состояние после вращения описывается столбцом

причем

Поразмыслите-ка над этим.