3. ВРАЩЕНИЯ И МОМЕНТ

В последней лекции мы говорили об установке, которая создает объект в состоянии :

Это понятие требует дальнейшего разъяснения, так как до сих пор мы ввели лишь понятие амплитуды для полного события, состоящего из рождения и регистрации объекта. Эта амплитуда может быть получена следующим образом.

Допустим, что амплитуда соответствует тому, что объект рождается в условиях, описываемых индексом . Если он уже находится в этих условиях (в этом состоянии), то пусть обозначает амплитуду того, что он будет зарегистрирован детектором. Тогда амплитуда полного события (рождения и регистрации) равна произведению , просуммированному по всем промежуточным условиям .

Вернемся опять к опыту с электроном, проходящим через две щели (см. рис. 3-1). Если есть амплитуда того, что электрон достигнет верхней щели, амплитуда электрона, прошедшего эту щель и достигшего экрана в точке 2, то амплитуда полного события равна произведению .

Рис. 3-1

Пусть мы вращаем источник на ( - угол вращения, - ось вращения), так что объект (частица) рождается в условиях по отношению к неподвижному детектору:

Как было установлено, столбец может быть получен из соотношением , причем матрица не зависит от природы прибора. Пусть, например, в другом опыте (рис. 3-2) тот же самый объект рождается в условиях и . Тогда при том же самом .

Рис. 3-2

Почему связь величин и линейна? Как раз потому, что должна быть интерференция. Допустим, что у нас есть два устройства, одно из которых создает объект в условиях , а другое создает тот же самый объект в условиях . Взятые вместе, они создают объект в условиях . После вращения мы получим , , а также , для того, чтобы явления интерференции в повернутой системе выглядели по-старому.

Тогда

Поскольку , то

Установим еще одно свойство матрицы . Пусть после вращения на угол мы произведем еще одно вращение на угол , как показано на рис. 3-3. Согласно нашему правилу объект теперь рождается в условиях , причем .

Рис. 3-3

Поскольку , мы получаем , т. е.

Вращения образуют группу, а величины суть матричные представления этой группы. Совсем не очевидно, как найти их.

Примеры:

(1) Объект представляется единственным комплексным числом. суть матрицы, т. е. комплексное число может быть выбрано равным единице.

(2) Объект представляется вектором, т. е. тремя амплитудами, являющимися -, - и -компонентами этого вектора. Тогда суть знакомые всем матрицы поворотов координат трехмерного пространства.

Перейдем к общему анализу. Предположим, что нам известна матрица для бесконечно малого вращения, скажем, на угол 1° вокруг оси . Тогда вращение на вокруг оси представимо в виде

Вообще, если известно , то

При отсутствии вращения равно единице, поэтому в первом порядке по

Также

Используя теперь в соотношении биномиальное разложение и переходя к пределу , получаем

что может быть также представлено в виде . Биномиальное разложение работает, поскольку ведут себя как обычные числа при сложении и умножении (самих на себя).

Если мы хотим рассмотреть вращение на угол вокруг оси, направленной по единичному вектору , то найдем

а для конечного угла

Здесь, однако, следует соблюдать осторожность при установлении относительного порядка , и в матричных произведениях, которые появляются в высших членах разложения. Дело в том, что эти матрицы не перестановочны, как следствие того факта, что конечные вращения не коммутируют между собой.

Для иллюстрации этого свойства рассмотрим вращения ластика, изображенные на рис. 3-4, а и 3-4, б.

(1) Сначала вращаем на 90° вокруг оси , а затем на угол 90° вокруг оси (рис. 3-4, а).

Рис. 3-4

(2) Вращаем на 90° вокруг оси , а затем на угол 90° вокруг оси (рис. 3-4, б). Результаты двух вращений совершенно различны.

Рис. 3-5

Попробуем получить перестановочные соотношения между и . Для этого рассмотрим последовательность вращений: вращение вокруг оси , вращение вокруг оси у, затем вращение вокруг оси и вращение вокруг оси , как изображено на рис. 3-5.

Проследим за движением точки, расположенной вначале на оси . Очевидно, что окончательный сдвиг есть величина второго порядка малости. Точка смещается на величину к оси . Заметим также, что точка, которая располагалась на оси , вернулась в исходное положение.

Поэтому чистое смещение точки на сфере есть вращение на угол вокруг оси . Удерживая члены до второго порядка, получаем

Приравнивая коэффициенты при произведении , находим

Подобным образом

Таковы перестановочные правила для матриц , и . Все остальные необходимые соотношения могут быть получены из этих правил. Детали таких выкладок приведены во многих учебниках (см., например, книгу Шиффа). Здесь мы приведем только схематический набросок.

Сначала следует убедиться, что величина

коммутирует со всеми . Поэтому можно выбрать наши так, чтобы , где — некоторое число. Рассмотрим затем вспомогательную величину

и заметим, что

Допустим теперь, что столбец удовлетворяет соотношению

где — некоторое другое число. Обозначим . Тогда

Поэтому . Нормируем на единицу, т. е.

Следовательно,

где . Кроме того,

и . Поэтому

Пусть теперь самым нижним, «последним», состоянием будет состояние с . Как можно не получить другое, еще более низкое, под действием ? Только если . Поэтому для и, следовательно, , т.е.

Аналогичные рассуждения (использующие , оператор «повышающий» значение на единицу, вместо «понижающего» оператора ) показывают, что если наибольшее значение равно , то , так что . Поэтому число является целым. Полное число состояний равно .

Примеры:

(1) 1 состояние:

(2) 3 состояния: :

(3) 2 состояния: . Это очень интересный случай. Пусть

Используя общий результат, получаем

так как

а также

Поэтому

Подобным образом

Поэтому

Аналогично можно показать, что

и, следовательно,

Полученные формулы являются определениями трех важных матриц второго ранга — матриц Паули . Проверьте также, что

Следует отметить, что все полученные результаты "возникли из ничего" - они основываются только на отсутствии в природе выделенного направления и на принципе суперпозиции.

Однако мы высказали очень важную гипотезу: Мы предположили, что процессы рождения и детектирования достаточно отделены друг от друга и что можно говорить об амплитуде, характеризующей объект, в промежутке между этими событиями. Эта гипотеза всегда делается (особенно в теории поля) вне зависимости от того, как мало расстояние между прибором и детектором. Может статься, что она не справедлива, если они слишком близки друг к другу.

Рис. 3-6.

Другое важное предположение состоит в пренебрежении динамической интерференцией: нет сил, действующих между нашими приборами, рождающими частицы, и приборами, детектирующими частицы, во всяком случае, таких сил, которые не описывались бы переносом нашего объекта между ними. При этом условии амплитуда двух независимых событий равна произведению амплитуд для каждого отдельного события.

В качестве примера рассмотрим две звезды А и В и два счетчика X, Y (см. рис. 3-8). Если — амплитуда того, что фотон, испущенный звездой В, достигнет счетчика X, а — соответствующая амплитуда для фотона звезды А, зарегистрированного счетчиком Y, то

есть амплитуда для осуществления обоих событий.