22. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 1/2

Вернемся к двухкомпонентному спинору, поведение которого при пространственном вращении на угол вокруг единичного вектора , как было установлено, описывается оператором , где . Обратимся теперь к изучению вопроса о поведении такого спинора при лоренцевых преобразованиях. Как и в случае пространственных вращений, достаточно рассмотреть бесконечно малое преобразование. Запишем соответствующий оператор в виде

где — бесконечно малая скорость (и положим ). Действуя как и ранее, получим для конечной скорости v в направлении z оператор , где .

Поэтому нам нужны шесть операторов, для того чтобы представить произвольное преобразование Лоренца,

соответствующие шести вращениям в четырехмерном пространстве. Эти величины образуют антисимметричный тензор с компонентами

причем и т. д.

Либо с помощью алгебраических выкладок (рассматривая последовательные преобразования Лоренца), либо с помощью рисунков находим коммутационные соотношения

и циклические перестановки.

Все остальные пары коммутируют, т. е., например,

Эти правила объединяются в следующую формулу:

Теперь найдем представление операторов N, действующих на двухкомпонентный спинор . Ясно, что N должна быть матрицей ,

Мы могли бы заменить вопросительные знаки некоторыми неизвестными и получить для них уравнения, используя коммутационные соотношения и равенство . Более простой путь основан на том, что любая матрица может быть представлена линейной комбинацией матриц . Запишем поэтому

Заметим, что и коммутируют. Поэтому . Итак,

Подставим эти выражения в коммутационное соотношение

Имеем

Поэтому

С помощью циклической перестановки находим также

Итак,

Для того чтобы определить , подставим эту формулу в коммутационное соотношение . Получим

Мы можем выбрать здесь любой знак. Допустим, что мы выбрали . Тогда

Рассмотрим, однако, трансформационные свойства спинора, полученного отсюда с помощью зеркального отражения. При отражении , поскольку и есть скаляр; также . Таким образом, двухкомпонентный спинор и его зеркальное изображение не преобразуются одинаково при лоренцевых преобразованиях. Для того чтобы получить инвариантность относительно отражений, нужен четырехкомпонентный спинор.

Вводя обозначение , запишем оператор, преобразующий спинор и при преобразовании Лоренца, в виде

где w — быстрота.

Рассмотрим, например, состояние плоской волны . Для преобразования Лоренца вдоль оси

Мы можем построить формулу для общего случая, рассмотрев преобразования для и . Получаем

Поскольку оператор не эрмитов, то произведение не является скаляром. Рассмотрим преобразование :

Так как

то

и, следовательно,

а также

Сразу видно, что пара и преобразуется при преобразовании Лоренца в точности как :

Для того чтобы заключить, что набор величин образует -вектор, следует проверить аналогию для :

Таким образом, мы обнаружили новый -вектор, который обозначим символом :

Оказывается, что может служить удовлетворительным выражением для тока вероятности. Как и ранее, используем нормировку . Имеем тогда

Пусть спин частицы направлен вверх по оси ,

Здесь возникает трудность, поскольку ток вероятности и всегда устремляется по оси z. Это означает, что такой ток вероятности не может представлять покоящуюся частицу.

Заметим, что для данного случая имеет место соотношение , инвариантное относительно вращений. Поскольку спинор представляет частицу со спином, направленным вдоль некоторой оси, скажем z, заключаем, что это соотношение верно в общем случае. Таким образом, всегда

и если , то должно быть

Следовательно, данное рассмотрение справедливо лишь для частиц с массой и спином . Нам известна только одна такая частица — нейтрино. Можно доказать в общем случае соотношение

(Докажите его сначала для , а затем найдите аргументы в пользу того, что оно верно для любого .) Если мы положим — то должны иметь

или

Последнее соотношение можно взять в качестве закона, описывающего нейтрино. Оно справедливо для каждой плоской волны и, следовательно, для суперпозиции таких волн,

где — некоторая функция импульса. Мы можем также превратить его в уравнение в координатном пространстве. Такое уравнение есть просто

или

где

Расписанное в полном виде общее уравнение будет

Обозначим . Поскольку , то уравнение эквивалентно соотношению

означающему, что частица всегда вращается по часовой стрелке относительно направления движения. В действительности из эксперимента мы знаем, что нейтрино вращается против часовой стрелки. Напомним, однако, что для этого есть вторая возможность в выборе знака для N. Для получим, что величина

преобразуется подобно -вектору.

В этом случае получаем уравнение

Частица, описываемая спинором , вращается против часовой стрелки,

Существенно отметить, что и преобразуются разными способами:

Мы будем называть и коспинором и контраспинором. Соответствующие преобразования называются ковариантными и контравариантными.