19. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 1

В общем случае нас интересуют амплитуды, которые линейно преобразуются при преобразованиях Лоренца

где

Одним из решений является скаляр. Можно без труда указать другое — -векторы преобразуются линейно, поэтому, несомненно, -вектор также возможное решение. Напомним, что для обычных вращений 3-вектор, представляющий момент 1, был допустимым объектом. Поэтому частица может быть представлена амплитудой, являющейся 4-вектором. Мы ожидаем, что такая частица будет иметь спин 1. Здесь, однако, имеется одно осложнение: при вращениях пространственные компоненты преобразуются как вектор, тогда как временная — как скаляр. Дело выглядит так, как будто бы имеем дело с двумя частицами. Данную трудность можно обойти с помощью условия

которое в системе покоя частицы имеет вид

Фотоны.

Фотон является единственной известной экспериментально частицей со спином 1. Он имеет нулевую массу. Если нам известны законы распространения фотонов и их взаимодействия с другими частицами, то мы будем знать законы электродинамики. Очень полезным подспорьем при формулировании этих законов представляется требование соответствия теории в классическом пределе уравнениям Максвелла.

Амплитуда фотонов в квантовой электродинамике выбирается в виде -векторного потенциала , который в отсутствие источников удовлетворяет уравнениям

Свободный фотон представляется плоской волной

где есть вектор поляризации. Подставляя плоскую волну в (19-1), мы получаем , т. е. , а из (19-2) находим — вектор поляризации перпендикулярен к .

Теория должна быть также градиентно инвариантна. Если кто-то нашел решение , а другой — решение причем , то оба должны получить тот же самый физический результат. Для плоских волн это утверждение выглядит следующим образом. Пусть представляет фотон с -импульсом К и поляризацией , и пусть

Тогда

Поэтому, если два вектора поляризации отличаются на слагаемое, пропорциональное -импульсу, то они должны представлять один и тот же фотон.

Подходящим градиентным преобразованием мы всегда можем добиться того, чтобы . В самом деле, пусть . Положим

Тогда

и

Поэтому свободный фотон представляется только двумя состояниями поляризации. Мы можем выбрать для них два любых направления, перпендикулярных к импульсу, или разложить их в правые и левые (по часовой стрелке и против) круговые поляризации (см. лекцию 2). Правая (левая) круговая поляризация соответствует спину 1, направленному вдоль (навстречу) импульса фотона. В этом легко убедиться. Положим для этого

где и — два единичных вектора, нормальных к импульсу. Произведем поворот на угол вокруг оси :

где

Подставляя в , находим .

Подобным образом

Вспомним теперь, что матрица вращения есть . Поэтому

что и требовалось доказать.

Займемся теперь законами взаимодействия и распространения фотонов.

Принцип минимального электромагнитного взаимодействия.

Существует замечательный принцип, с помощью которого можно получить связь (т. е. взаимодействие) фотона с заряженной частицей в случае, если уравнение движения для этой частицы известно. Пусть, например, уравнение для свободной скалярной частицы будет

Тогда правило сводится к тому, чтобы заменить на . Мы получаем уравнение, в котором содержатся эффекты электромагнитного поля:

Важно то, что этот принцип обеспечивает градиентную инвариантность уравнения. Пусть

Тогда удовлетворяет тому же самому уравнению, что и , с заменой А на . Но и отличаются только на фазовый множитель (который, однако, может зависеть от пространства и времени) и, следовательно, представляют одно и то же физическое состояние.

Уравнение для можно переписать следующим образом:

Правая часть представляет источник скалярного поля. Мы можем получить отсюда правила построения амплитуд фундаментальных процессов в следующем виде. Амплитуда того, что частица с импульсом испустит фотон с импульсом q и поляризацией и продолжит движение с импульсом пропорциональна выражению

В окончательном выражении последний множитель обеспечивает сохранение энергии и импульса в акте взаимодействия: . Если фотон не испускается, а поглощается, то следует заменить на .

В любом случае амплитуда равна

Множитель введен для того, чтобы в системе единиц, где . Множитель —i существен только для того, чтобы обеспечить правильное фазовое соотношение с вкладами высших порядков по константе связи , в противном случае он может быть отброшен.

Член в источнике, квадратичный по , дает амплитуду одновременного испускания (поглощения) двух фотонов. Эта амплитуда пропорциональна выражению

Множитель появился два раза, поскольку любой из может представлять испущенный фотон или . Как и выше, последний множитель выражает закон сохранения 4-импульса: .

Амплитуда оказывается равной

Подчеркнем еще раз, что связь между правилами построения амплитуд и уравнениями движения носит чисто эвристический характер. Невозможно «вывести» квантовую электродинамику из уравнений Максвелла; последние могут служить лишь источником наводящих соображений.

Равным образом мы могли бы взять за исходный пункт рассуждений лагранжеву плотность свободного скалярного поля

Производя замену , получаем

или, после перегруппировки членов,

где

— вклад, отвечающий взаимодействию между частицами и фотонами. Правила получения амплитуд фундаментальных процессов могут быть теперь получены из .

Так, например, коэффициент при говорит нам, что осуществляется процесс, в котором частица с импульсом испускает реальный или виртуальный фотон с импульсом q и поляризацией и движется дальше с импульсом . Подстановка в дает

Последний множитель говорит нам, что . Амплитуда процесса оказывается равной

Значение множителей и —i обсуждалось ранее.

Коэффициент при соответствует одновременному испусканию двух фотонов. Один из А равен

а второй соответственно

Амплитуда процесса поэтому равна

Фотонный пропагатор.

Пропагатор фотона также может быть получен из уравнений движения. Амплитуда фотона удовлетворяет уравнению Максвелла

Поскольку , то из уравнения движения следует ; мы поговорим об этом соотношении позднее. Следуя процедуре, описанной в лекции 17, положим

Подстановка в дифференциальное уравнение дает

Следовательно, пропагатор виртуального фотона равен

Множитель напоминает нам о природе источника, ответственного за данную поляризацию, множитель i соответствует множителю —i во взаимодействии.

Для примера рассмотрим -рассеяние через обмен фотоном, изображенное на рис. 19-1. (Забудьте о прямом взаимодействии, которое мы вводили ранее.)

Рис. 19-1.

Полная амплитуда составляется из трех множителей:

(1) амплитуда того, что -мезон с импульсом испускает виртуальный фотон с импульсом и поляризацией :

(2) амплитуда распространения фотона ;

(3) амплитуда того, что -мезон с импульсом поглотит виртуальный фотон:

Суммируя по всем четырем направлениям поляризации виртуальных фотонов, получаем

Позднее мы вернемся к вопросу о том, почему для реальных фотонов следует рассматривать только два состояния поляризации.

Задачи:

19-1. Получите матрицу -рассеяния в .

19-2. То же самое для .

19-3. Рассчитайте эффект Комптона для в системе отсчета, где начальный покоится.

19-4. Вычислите аннигиляцию пары при покоящемся .