13. Восстановление изображений по отдельным отсчетам
При восстановлении изображений
необходимо выбрать некоторый критерий качества, в соответствии с которым можно
говорить о лучших и худших результатах восстановления. При этом обычно выбирают
величину
,
где
-
восстановленное значение
-ого элемента. Для данного критерия
известен алгоритм оптимального оценивания.
Пусть дан вектор
пораженный белым гауссовским
шумом
с
и
:
,
где
- исходный вектор. Выполним синтез
оптимального фильтра по критерию минимума дисперсии ошибок оценивания:
, (40)
где
-
вектор коэффициентов фильтра для восстановления
-ого элемента. Целью синтеза является
определение вектора
,
обеспечивающего минимум
. Для этого продифференцируем выражение (40)
по
и
приравняем результат нулю:
.
Вычислим оптимальные коэффициенты, учитывая, что шум
наблюдения
не
коррелирован с элементами вектора
:
, (41)
где
-
взаимная корреляция вектора элемента
с вектором
;
- корреляционная матрица вектора
;
- диагональная матрица дисперсий
шума наблюдений.
Таким образом, при построении
оптимальной линейной оценки необходимо знать корреляционную матрицу случайного
процесса или случайного поля (изображения). Рассмотрим задачу восстановления
элементов вектора
по
наблюдениям
,
,
, которые в дальнейшем будем
называть множеством неполных наблюдений. При этом выражения (40) и (41) перепишутся
в виде:
,
, (42)
где
-
- матрица
выделения множества неполных наблюдений:
,
. Например, для выделения нечетных
элементов вектора
,
матрица
имеет
вид:
Вектор весовых коэффициентов
размером
элементов, вычисленный
по формуле (42), позволяет строить оптимальный прогноз неизвестных элементов вектора
в виде
линейной комбинации
.
Обобщим приведенные выражения
восстановления последовательности по множеству неполных наблюдений на двумерный
случай для восстановления изображений. Пусть дано случайное поле
размером
отсчетов и известна его
корреляционная матрица
. Рассмотрим алгоритм построения
оптимального линейного прогноза неизвестных элементов по известным наблюдениям
,
,
. Не теряя общности, наблюдаемый двумерный
сигнал
можно представить
в виде одномерного
,
где
-
-й вектор столбец матрицы
.
Корреляционную функцию такого одномерного сигнала можно записать в виде
В приведенных обозначениях выражение (42) можно переписать в
виде
, (43)
где
- взаимная корреляция элемента
с вектором
;
-
матрица выделения
элементов наблюдений вектора
. Вектор коэффициентов
позволяет строить прогноз
элемента
изображения
:
, при
,
, (44)
где
-
оператор отбрасывания дробной части.
Подставляя вычисленные коэффициенты
в выражение (40) можно
найти дисперсию ошибок оценивания неизвестных элементов. После возведения в
квадрат и вычисления математического ожидания получаем
. (45)
Таким образом, выражения (43)-(45)
позволяют восстанавливать изображения по множеству неполных наблюдений
,
,
и вычислять дисперсию ошибок оценивания.
Рассмотрим пример восстановления изображения
размером 3х3 отсчета по наблюдениям,
расположение которых представлено на рис. 19, с корреляционной функцией
.
Рис. 19. Расположение наблюдений
и оцениваемых элементов
Корреляционная функция
случайного процесса
имеет вид
где
- 3х3 - корреляционная матрица строк
вектора
.
Матрица выделения наблюдений
где
- матрица выделения наблюдений для первой
и третьей строк изображения. Вектор
оптимальных коэффициентов для построения
прогноза
-го
отсчета находится по формуле (43). Например, при
получаем вектор
. Тогда прогноз элемента
в соответствии с
выражением (44) имеет вид
.
Таким образом, при разделимой
экспоненциальной корреляционной функции и коэффициентах корреляции близких к
единице, оптимальный линейный прогноз строится как среднее арифметическое двух
ближайших наблюдений от оцениваемого элемента. При других корреляционных
матрицах и коэффициентах корреляции будут получаться другие коэффициенты
оптимального фильтра
и
другие значения оценок неизвестных элементов.