4. Преобразование Фурье

Удобной формой записи и реализации ФП является его комплексное представление, которое для одномерного случая имеет вид

 - прямое ПФ,

 - обратное ПФ.

Преобразование Фурье является разделимым, поэтому для анализа двумерных сигналов будут справедливы следующие соотношения:

 - прямое ПФ,

- обратное ПФ.

Результатом прямого ПФ является амплитудный спектр, который показывает амплитуду синусоиды частоты . Можно заметить, что при , , комплексная синусоида превращается в плоскость, параллельную осям  и . Таким образом значение  - содержит среднее значение анализируемого сигнала. При увеличении  происходит увеличении частоты базисных функций, которые выделяют детали изображения. Типичный амплитудный спектр изображения выглядит следующим образом.

Частным случаем ПФ является анализ симметричных сигналов относительно некоторой точки . В этом случае комплексная синусоида заменяется на функцию косинуса. Допустим, что симметричный массив образован путем зеркального отражения исходного массива относительно его краев согласно соотношению:

Построенный таким образом массив  симметричен относительно точки . Преобразование Фурье для случая, когда начало координат находится в центре симметрии запишется как:

где . Так как массив  симметричен и состоит из действительных чисел, соотношение переписать в виде

.

Так как базисная функция при  представляет собой постоянную составляющую и энергию в два раза большую по отношению ко всем остальным базисным функциям четного косинусного преобразования, то при выполнении обратного преобразования необходимо ввести нормирующий коэффициент , определяемый как

Обратное преобразование имеет вид

.

Четное ПФ имеет быстрый алгоритм вычисления. Благодаря этому широко используется на практике при анализе сигналов.