§ 4.5. Абстрактный нейрон и абстрактные модели нейронных сетей

Изучение свойств нервных клеток (нейронов) и нервных тканей привело на определенном этапе к рассмотрению абстрактных (идеализированных) нейронов и абстрактных моделей нейронных сетей. Нервная сеть Мак-Каллока и Питтса — одна из наиболее известных абстракций такого рода).

Нейроном Мак-Каллока и Питтса называется воображаемый логический элемент, который может находиться лишь в одном из двух возможных состояний —

«возбужден» и «не возбужден». Нейрон имеет любое конечное число входов и один выход с любым конечным числом разветвлений (рис. 4.18). Каждый из входов может иметь окончание одного из двух видов: «тормозящее» (на рис. 4.18 обозначено черным кружком) и «простое» (на рис. 4.18 — стрелка). Окончания разветвлений выхода нейрона могут воздействовать на входы иных нейронов или на свой собственный вход. На некоторые из входов нейронов могут воздействовать внешние возмущения. Каждое внешнее возмущение также может иметь лишь одно из двух возможных состояний. Оно может возбуждать вход или не возбуждать его. Так образуются абстрактные нейронные сети — модели нервной ткани (пример на рис. 4.19).

Рис. 4.18.

Обозначим число возбужденных в момент t простых окончаний входа , воздействующих на рассматриваемый нейрон, -число возбужденны, тормозящих окончаний , воздействующих на него Функционирование одного нейрона (а следовательно и сети) определяется следующим условием возбужде : нейрон возбужден в момент , если в момент t удовлетворяются условия

где h — заданное конечное число, называемое порогом возбуждения, и нейрон не возбужден, если эти условия не выполняются. Таким образом, тормозящее окончание «обладает правом вето» — даже при выполнении неравенства (4.36) возбуждения выхода нет, если к рассматриваемому нейрону подходит хоть одно тормозящее ответвление, отходящее от возбужденного нейрона).

Рис. 4.19.

Если обозначить через состояния простых ниток входа , через состояние тормозящих ниток входа , а через состояние нейрона, то поведение нейрона Мак-Каллока и Питтса, например, в случае описывается формулой

На оси времени отметим точки и будем наблюдать нейроны и нейронные сети лишь в эти моменты, т. е. введем в рассмотрение такты. Обозначим моменты наступления этих тактов соответственно.

Тогда выражение (4.37) можно записать так:

Рассмотрим теперь произвольную абстрактную нейронную сеть Мак-Каллока и Питтса, состоящую из нейронов и имеющую s «свободных» входов, к которым могут быть подведены внешние воздействия. Перенумеровав нейроны, содержащиеся в сети, номерами , а свободные нитки входов — номерами и обозначив состояние нейрона, а — состояние и Нитки входа сети, можно выписать равенств вида (4.38). В сети на каждый вход нейрона воздействует окончание одного из нейронов или внешнее воздействие. Поэтому каждое из или отождествляется с или , т. е. в правых частях выражений вида (4.38) вместо вписываются соответственно .

Из изложенного следует, что абстрактная нейронная сеть Мак-Каллока и Питтса описывается системой соотношений

где — логические функции вида (4.38).

Таким образом, абстрактная нейронная сеть Мак-Каллока и Питтса представляет собой сеть в нашем понимании и, следовательно, является конечным автоматом. Но в связи с тем, что в правых частях выражений (4.39) находятся не произвольные логические функции, а функции специального вида (типа (4.38)), естественно возникает вопрос: можно ли для любого заданного конечного автомата, работающего в тактности , построить соответствующую нейронную сеть?

Чтобы ответить на этот вопрос заметим, прежде всего, что, замыкая на себя нейрон с , находящийся в возбужденном состоянии (рис. 4.20), мы получаем заблокированный, т. е. всегда возбужденный нейрон.

Мы можем поэтому считать, что к нейронам может быть подведен всегда возбужденный вход (рис. 4.21,а), обозначая это так, как показано на рис. . Условимся говорить в этом случае, что возбуждающая нитка входа закреплена.

Рассмотрим нейрон с (рис. 4.22). Такой нейрон описывается уравнением

Рис. 4.20.

т. е. одним нейроном будет осуществлена задержка на такт. Соединив любое число q таких нейронов последовательно (рис. 4.23), реализуем задержку на q тактов.

Рис. 4.21.

Рис. 4.22.

Рассмотрим теперь нейрон с и закрепим возбуждающий вход (рис. 4.24). Тогда нейрон реализует зависимость

т. е. в одном нейроне осуществляется операция отрицания с задержкой на такт.

Рис. 4.23.

Нейрон с и любым s (рис. 4.25) осуществляет дизъюнкцию s переменных с задержкой на такт

а нейрон с (при любом s) и с (рис. 4.26) осуществляет конъюнкцию s переменных с задержкой на такт.

Рис. 4.24

Рис. 4.25.

Если надо осуществить конъюнкцию s переменных, из которых часть отрицается, то отрицаемые переменные должны быть подведены к тормозящим входам, a h должно быть равно числу неотрицаемых переменных. Так, например, конъюнкция

Рис. 4.26.

Рис. 4.27.

осуществляется одним нейроном по схеме, показанной на рис. 4.27.

Рассмотрим какую-либо дизъюнктивную форму конъюнктивных групп. Пусть такая форма содержит групп. Тогда каждая конъюнктивная группа может быть реализована на одном нейроне по схеме, показанной на рис. 4.27. Выходы этих нейронов надо подвести к нейрону, реализующему дизъюнкцию по схеме, которая была показана на рис. 4.25. В связи с тем, что все нейроны, реализующие конъюнкцию, «срабатывают» за один такт и еще только один такт требуется для осуществления дизъюнкции, вся дизъюнктивная форма реализуется за два такта, т. е. за время 2%. Так, например, на рис. 4.28 показана сеть, составленная из нейронов Мак-Каллока и Питтса и реализующая форму

Любая логическая функция может быть представлена дизъюнктивной формой конъюнктивных групп и, следовательно, реализуется за два такта абстрактной нейронной сетью, составленной из нейронов Мак-Каллока и Питтса. Таким образом, из нейронов Мак-Каллока и Питтса может быть составлен любой логический преобразователь L, но, в отличие от наших обычных предположений, такой преобразователь не будет мгновенно действующим — на его работу расходуется два такта.

Рис. 4.28.

Предположим теперь, что входы изменяются и состояние сети наблюдается в моменты . При такой тактности из нейронов Мак-Каллокаи Питтса может быть составлена сеть, реализующая любой логический преобразователь за один такт.

С другой стороны, из нейронов может быть построен элемент задержки на такой «двойной» такт; для этого надо (см. рис. 4.23) соединить последовательно два элемента задержки. Располагая любым логическим преобразователем и элементом задержки, можно построить сеть, реализующую любой автомат, работающий в такой тактности.

Рис. 4.29.

Далее, в гл. X, будут рассмотрены методы построения автоматов, работающих в любой «медленной» тактности, из элементов, работающих в «быстрой» тактности, если сигнал о наступлении медленного такта подается на автомат извне. Будет показано, что для этого необходимо лишь располагать элементом задержки на любой, извне подведенный такт.

Чтобы более не возвращаться к нейронным цепям, покажем здесь же, как из нейронов Мак-Каллока и Питтса может быть реализован такой элемент задержки. С этой целью построим сеть (рис. 4.29), реализующую за время функцию

Две такие сети соединим в одну, имеющую два входа (и и ), так, как это показано на рис. 4.30. Вход — основной вход сети, используется для подачи сигнала о наступлении такта (считается, что очередной такт наступает в момент смены с 1 на 0).

Рис. 4.30.

На рис. 4.31 показано изменение при некоторых, взятых в качестве примера изменениях и и .

Рис. 4.31.

Значение совпадает со значением и с запаздыванием на один такт. Для правильного функционирования сети требуется лишь, чтобы сигналы следовали друг за другом не чаще, чем через . Стрелками на рис. 4.31 отмечены интервалы времени .

Располагая элементом задержки на любой извне поданный такт и любым преобразователем, срабатывающим за время , можно по методам, изложенным далее в гл. X, реализовать нейронной сетью Мак-Каллока и Питтса любой автомат (последовательностную машину) с произвольной тактностью, удовлетворяющей лишь одному условию: промежуток между тактами должен быть не менее чем .