§ 3.2. О динамических системах

Термином динамическая система обозначают обычно системы в технике, природе, жизни и т. д., в которых процессы развиваются во времени. Состояние динамической системы в каждый момент характеризуют некоторым числом (конечным или бесконечным) обобщенных координат.

Процессы в динамической системе характеризуются изменением обобщенных координат во времени и описываются уравнениями разных типов.

Динамические системы можно подразделять на несколько классов в зависимости от следующих факторов:

а) от того, считается ли время текущим непрерывно или дискретно, т. е. изменяется на континууме или на счетном множестве;

б) от того, имеет ли система конечное или бесконечное число обобщенных координат, и, наконец;

в) от мощности множества возможных значений каждой из обобщенных координат, т. е. от того, являются ли эти множества конечными, бесконечными счетными или же континуальными.

С понятием «динамическая система» мы связываем чаще всего системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями или уравнениями в частных производных. В системах такого рода число обобщенных координат конечно (обыкновенные дифференциальные уравнения) или бесконечно (уравнения в частных производных), но как координаты, так и время изменяются на континуумах.

В тех случаях, когда время дискретно, т. е. изменяется на счетном множестве, а каждая из конечного или бесконечного числа обобщенных координат может принимать значения из континуальных множеств, поведение системы описывается разностными уравнениями.

Особый класс динамических систем образуют системы, у которых время дискретно, т. е. изменяется на счетном множестве, а обобщенные координаты (число их может быть конечно или бесконечно) изменяются на конечных множествах.

Всякая динамическая система может быть подвержена внешним воздействиям. Эти воздействия также могут быть заданы на континууме, счетном множестве или на конечном множестве. В динамических системах, описываемых дифференциальными или разностными уравнениями, обычно рассматривается конечное число внешних воздействий, которые могут принимать любые значения из некоторого континуума. При рассмотрении же динамических систем, обобщенные координаты которых задаются на конечных множествах, естественно считать, что число внешних возмущений конечно и что каждое из них также задано на конечном множестве.

Динамические системы такого рода (время задается на счетном множестве; координаты и внешние воздействия задаются на конечных множествах; число внешних воздействий и координат конечно) условимся называть конечными динамическими системами.

Именно к динамическим системам такого класса принадлежат конечные автоматы и последовательностные машины, рассмотрению которых посвящена эта и последующие главы.

Системы, которые отличаются от конечных лишь тем, что число обобщенных координат может быть бесконечным, составляют более общий класс динамических систем. К нему принадлежат, в частности, машины Тьюринга и иные аналогичные идеализированные устройства.

Уравнения любых видов описывают не реальную систему, а ее идеализированную модель. В этом смысле динамическая система любого типа — абстракция, которой более или менее адекватны те или иные физические процессы или технические устройства. Конечные динамические системы и системы типа машины Тьюринга — не более чем абстракции, но абстракции эти интересны потому, что им адекватны многие технические ства и важные процессы в природе и в жизни.