§ 3. Преобразования координат и времени
Пусть и суть равноценные системы отсчета, т.е. пусть эти системы обладают единичными масштабами одинаковой длины и одинаково идущими часами при условии, что масштабы и часы сравниваются друг с другом в состоянии относительного покоя. Тогда очевидно, что любой закон природы, действующий в системе отсчета справедлив в точно такой же форме и в системе если и находятся в относительном покое. Принцип относительности требует, чтобы это полное совпадение законов распространялось также на случай, когда движется равномерно и прямолинейно относительно . В частности, скорость света в пустоте по отношению к обеим системам должна выражаться одним и тем же числом.
Пусть точечное событие определяется относительно переменными и относительно — переменными причем и движутся относительно друг друга без ускорения. Найдем уравнения, связывающие между собой указанные переменные.
Можно сразу сказать, что эти уравнения должны быть линейными по отношению к указанным переменным, поскольку этого требуют свойства однородности пространства и времени. Отсюда, в частности, следует, что координатные плоскости системы отнесенные к системе движутся равномерно; однако в общем случае эти плоскости не перпендикулярны друг другу. Если же выбрать положение оси так, чтобы ее направление относительно совпадало с направлением движения то из соображений симметрии следует, что координатные плоскости системы отнесенные к системе должны быть перпендикулярными друг другу. В частности, можно выбрать обе системы координат так, чтобы ось системы и ось системы совпадали и чтобы отнесенная к ось у системы была параллельна оси у системы Далее выберем за начало отсчета времени в обеих системах момент, когда начала координат совпадают; тогда искомые линейные уравнения преобразований будут однородными.
только что полученных формул получаем
Поскольку начала координат систем и всегда совпадают, оси одинаково ориентированы и системы «эквивалентны», это преобразование тождественно, так что
Далее, поскольку соотношение между у и у не может зависеть от знака
Следовательно и формулы преобразования приобретают
причем
Разрешая соотношения (1) относительно нетрудно получить соотношения, отличающиеся только тем, что в них «штрихованные» величины заменены одноименными «нештрихованными» и наоборот, а вместо стоит Это следует непосредственно из принципа относительности и из того, что система движется равномерно относительно в направлении оси со скоростью
Вообще, в соответствии с принципом относительности, из каждого правильного соотношения между «штрихованными» (определенными