§ 25. Гауссовы координаты

Аналитико-геометрический метод рассмотрения может быть, согласно Гауссу, описан следующим образом. Представим себе, что на поверхность стола нанесена система некоторых кривых (см. рис. 4), которые мы назовем -кривыми и пронумеруем их какими-либо числами. На рис. 4 изображены кривые Но между кривыми следует представить себе бесконечно много кривых, которые соответствуют всем вещественным числам между 1 и 2. Тогда получается система -кривых, которые бесконечно плотно покрывают всю поверхность стола. Ни одна кривая и не должна пересекать другую; через каждую точку поверхности стола проходит одна и только одна кривая. Тогда каждой точке поверхности стола соответствует совершенно определенное значение и. Начертим на той же поверхности систему -кривых, которые удовлетворяют тем же условиям и обозначены соответствующим образом числами, но также могут

Рис. 4

иметь произвольную форму. Тогда каждой точке поверхности стола соответствует одно значение и и одно значение эти два числа мы назовем координатами поверхности стола (гауссовы координаты). Например, точка Р на рис. 4 имеет гауссовы координаты Тогда две соседние точки Р и Р на поверхности соответственно имеют координаты и

где означают весьма малые числа. Расстояние между Р и , измеренное линейкой, также является весьма малым числом Тогда, согласно Гауссу, мы имеем

где — величины, которые вполне определенным образом зависят от и и Величины определяют поведение линеек по отношению к -кривым и -кривым, а следовательно, по отношению к поверхности стола. Только в том случае, когда точки рассматриваемой поверхности образуют евклидов континуум (по отношению к измерительным линейкам), можно начертить -кривые и -кривые и приписать им числа таким образом, что

В этом случае -кривые и -кривые становятся прямыми линиями в смысле евклидовой геометрии, причем перпендикулярными друг другу. Здесь гауссовы координаты являются просто декартовыми координатами. Гауссовы координаты, очевидно, и есть сопоставление точке рассматриваемой поверхности пары чисел, причем такое, что очень мало различающимся численным значениям однозначно соответствуют соседние точки в пространстве.

Это рассуждение применимо прежде всего к двумерному континууму. Но метод Гаусса может быть применен также к континууму трех, четырех и более измерений. Если, например, имеется четырехмерный континуум, мы можем представить его следующим образом. Каждой точке континуума мы произвольно ставим в соответствие четыре числа которые называются «координатами». Соседние точки соответствуют соседним значениям координат. Если соседним точкам Р и Р сопоставлено расстояние измеренное и вполне

определенное с физической точки зрения, то выполняется следующая формула:

где величины и т. д. имеют значения, которые изменяются от точки к точке в континууме. Лишь в том случае, когда континуум является евклидовым, координаты можно связать с точками континуума так, что мы получаем формулу

Тогда в четырехмерном континууме выполняются соотношения, которые аналогичны соотношениям, справедливым для измерений в трехмерном пространстве.

Правда, приведенная выше гауссовская трактовка не всегда возможна; она возможна лишь в том случае, когда достаточно малые области рассматриваемого континуума можно считать эвклидовыми континуумами. Например, это осуществляется, очевидно, в случае неравномерно нагретой доски стола, температура которой изменяется в зависимости от места. Температура малой части доски стола практически постоянна, и таким образом геометрические свойства линеек почти такие, какими они должны быть в соответствии с правилами эвклидовой геометрии. Следовательно, указанные в предыдущем параграфе затруднения в построении квадратов не проявятся четко до тех пор, пока это построение не распространено на значительную часть поверхности стола.

Резюмируя, мы можем сказать следующее: Гаусс предложил метод математического описания любого континуума, в котором определены метрические соотношения («расстояния» между соседними точками). Каждой точке континуума приписывается столько чисел (гауссовых координат), сколько измерений имеет континуум. Способ приписания выбран таким, чтобы он был однозначным и чтобы соседним точкам соответствовали числа (гауссовы координаты), отличающиеся на бесконечно малую величину. Гауссова система координат является логическим обобщением декартовой. Она применима также и к неевклидовым континуумам, но лишь тогда, когда малые по отношению к определенному размеру («расстоянию») части рассматриваемого континуума тем более похожи на эвклидов континуум, чем меньше рассматриваемая часть континуума.