§ 3.3. Спектр пространственных частот изображения

При определении спектра пространственных частот будем исходить из условия, что передаваемое изображение неподвижно. Тогда распределение освещенности в изображении можно разложить в ряд Фурье. Вдоль прямой, параллельной оси х и проходящей через точку с координатами х и у (рис. 3.6), распределение освещенности может быть представлено в виде ряда [10]

где — число периодов, укладывающихся на ширине изображения период изменения яркости; - амплитуда; — начальная фаза компонента.

Рис. 3.6. Распределение освещенности по осям х и у

Рис. 3.7. Компоненты пространственных частот изображения

Поскольку амплитуда компонента зависит от координаты у, она также может быть представлена в виде ряда

где — период изменения яркости; — число периодов, укладывающихся на высоте изображения — амплитуда компонента по ширине и компонента по высоте изображения; - начальная фаза.

Подставив соотношение (3.10) в (3.9), представим распределение освещенности в виде двойного ряда

где

Так как при фиксированном слагаемые, содержащие в аргументе первой косинусоидальной зависимости ряда (3.11), изменяются от 0 до а в аргументе второй — от 0 до то оба компонента можно объединить, изменив соответственно пределы суммирования по и обозначая

Тогда можно записать

или в комплексной форме

где

В качестве примера на рис. 3.7 показано распределение косинусоидальной пространственной волны с числом периодов изменения яркости по ширине изображения и по высоте изображения, при этом отрицательные полуволны отмечены штриховкой. Видно, что есть проекции периода пространственной волны на оси координат. Из подобия треугольников следует

откуда период пространственной волны

и угол наклона

Таким образом, любое изображение может быть представлено в виде суммы бесконечного числа пространственных косинусоидальных волн с Содержанием передаваемого изображения определяются амплитуды и начальные фазы компонентов ряда.